2023-2024学年江西省部分学校高一下学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江西省部分学校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，，得．故选：C．2.下列命题为真命题的是（）A.大于的角都是钝角 B.锐角一定是第一象限角C.第二象限角大于第一象限角 D.若，则是第二或第三象限的角〖答案〗B〖解析〗对A，∵，但180°不是钝角，∴A是假命题，故A错误；对B，∵锐角的范围是，是第一象限角，∴B是真命题，故B正确；对C，是第二象限角，是第一象限角，，∴C是假命题，故C错误；对D，当时，，不是第二或第三象限的角，∴D是假命题，故D错误.故选：B.3.德国著名数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗．故选：D．4.2023年10月26日神舟十七号载人飞船成功发射，某校举办航天知识竞赛，竞赛设置了，，三道必答题目.已知某同学能正确回答，，题目的概率分别为0.8，0.7，0.5，且回答各题是否正确相互独立，则该同学最多有两道题目回答正确的概率为（）A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92〖答案〗B〖解析〗，，三道必答题目，该同学都回答正确的概率为，该同学最多有两道题目回答正确的概率为.故选：B.5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（）A. B.3 C. D.1〖答案〗A〖解析〗因为，角终边上一点，所以，由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）.故选：A.6.现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（）A.乙与丁相互独立 B.甲与丙相互独立C.丙与丁相互独立 D.甲与乙相互独立〖答案〗D〖解析〗设事件甲、乙、丙、丁分别记为、、、，由题意可得，有放回的抽取卡片两次的基本事件数为，两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为、、、、、、、，共个，两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件为个，则，，显然丙与丁为对立事件，C错误；对于A，乙与丁同时发生的基本事件为、、，有个，则，所以乙与丁不相互独立，A错误；对于B，甲与丙同时发生的基本事件、，有个，则，所以甲与丙不相互独立，B错误；对于D，甲与乙同时发生的基本事件为，只有个，则，所以甲与乙相互独立，D正确.故选：D.7.若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（）A.有最小值 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值〖答案〗A〖解析〗设，因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称，又，所以是奇函数，因为在上有最大值，所以在上有最大值为，所以在上有最小值，所以在上有最小值．故选：A．8.已知，且，则的最小值为（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，当且仅当，即，时取得等号．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知：，则成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，解得，设：，成立的一个充分不必要条件为集合，则且，所以和都是的充分不必要条件.故选：BD.10.下图统计了第10～19届亚运会中国队获得的金牌数，则关于这10届中国队获得金牌数的结论正确的是（）A.中国队获得金牌数的极差为105 B.中国队获得金牌数的平均数小于155C.中国队获得金牌数的75%分位数为183 D.中国队获得金牌数的60%分位数为151〖答案〗BC〖解析〗这10届中国队获得金牌数的极差为，A错误；这10届中国队获得金牌数的平均数为：，B正确；这10届中国队获得金牌数从小到大排列为：94，125，129，132，150，151，165，183，199，201，因为，所以中国队获得金牌数的75%分位数是183，C正确；因为，所以中国队获得金牌数的60%分位数为，D错误.故选：BC.11.已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，，都有，则（）A.的图象关于点中心对称 B.C.在区间上单调递增 D.在处取得最大值〖答案〗BCD〖解析〗对A：由，得的图象关于直线对称；又是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；由对称性可知，函数的图象关于点中心对称，再根据是奇函数可得，函数的图象关于点中心对称，A错误；对B：由与，得，所以，B正确；对C：因为对于任意的，，都有，所以在上单调递减，又函数的图象关于点中心对称，则在上单调递减，因为的图像关于直线对称，则在区间上单调递增，C正确；对D：由C可知，在处取得最大值，，则在处取得最大值，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若扇形的半径为4，弧长为16，则扇形圆心角的弧度数为______.〖答案〗4〖解析〗设扇形的圆心角为，易知.故〖答案〗为：4.13.已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为_______________.〖答案〗〖解析〗作出函数的图象，如图所示，由图象可知，且，所以，则，所以，故的取值范围为．故〖答案〗为：．14.已知样本的平均数为，方差为，样本，，，的平均数为，方差为，则新样本，，，，，，，的方差为______.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，，，，故新样本的平均数为，其方差为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，角的终边经过点.（1）求，的值（2）求的值.解：（1）由于角的终边经过点，则，所以，.（2）由诱导公式化简得：.16.已知幂函数的图象过点．（1）求实数m的值；（2）设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．解：（1）由幂函数的定义可知，解得，当时，，又的图象不过点，显然不满足题意；当时，，将点代入得，综上所述，．（2）由（1）可知，，则，任取，且，则，因为，所以，，则，，所以，则，所以，则，即，故在上单调递增．17.某地区打造特色干果产业，助力乡村振兴．该地区某一干果加工厂，打算对干果精加工包装后通过直播平台销售干果，每月需要投入固定成本5万元，月加工包装x万斤需要流动成本万元．当月加工包装量不超过10万斤时，；当月加工包装量超过10万斤时，．通过市场分析，加工包装后的干果每斤售价为12元，当月加工包装的干果能全部售完．（1）求月利润关于月加工包装量x的〖解析〗式；（利润＝销售收入－流动成本－固定成本）（2）月加工包装量为多少万斤时，该广获得的月利润最大？最大月利润是多少？（参考数据：）解：（1）当时，，当时，，所以．（2）当时，和在上均单调递增，所以在上单调递增，此时，；当时，，当且仅当，即时，取得等号，因为，所以月加工包装量为15万斤时，该厂获得最大月利润为69万元．18.比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，某比亚迪新能源汽车销售部为了了解广大客户对新能源性能的需求，随机抽取200名用户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了频率分布直方图如图所示．（1）估计样本数据中用户年龄的中位数；（2）销售部从年龄在，内的样本中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，年龄小于40岁的用户所占比例为，年龄小于50岁的用户所占比例为，所以中位数一定在内，由，所以估计用户年龄的样本数据的中位数为45．（2）由分层抽样的方法可知，抽取的8人中，年龄在内的有3人，分别记为，，；年龄在内有5人，分别记为，，，，；则从这8人中随机抽取2人的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种；记这2人取自不同年龄区间为事件，其包含样本点有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，故这2人取自不同年龄区间的概率为．19.已知（且）是指数函数.（1）求关于的不等式的解集；（2）求函数在区间上零点的个数.解：（1）由指数函数定义，得，而且，解得，则，不等式，而函数在R上递增，因此，则，解得，所以原不等式的解集为.（2）由（1）知，，由，得，令，由，得，则，设函数，显然该函数在上单调递增，在上单调递减，且，作出直线与函数的图象，如图，观察图形知，当或时，直线与函数的图象没有公共点；当或时，直线与函数的图象只有一个公共点；当时，直线与函数图象有两个公共点，函数在区间上零点的个数等价于方程在区间上解的个数，即直线与函数的图象的交点的个数，所以当或时，函数在区间上没有零点；当或时，函数在区间上只有一个零点；当时，函数在区间上有两个零点.江西省部分学校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，，得．故选：C．2.下列命题为真命题的是（）A.大于的角都是钝角 B.锐角一定是第一象限角C.第二象限角大于第一象限角 D.若，则是第二或第三象限的角〖答案〗B〖解析〗对A，∵，但180°不是钝角，∴A是假命题，故A错误；对B，∵锐角的范围是，是第一象限角，∴B是真命题，故B正确；对C，是第二象限角，是第一象限角，，∴C是假命题，故C错误；对D，当时，，不是第二或第三象限的角，∴D是假命题，故D错误.故选：B.3.德国著名数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗．故选：D．4.2023年10月26日神舟十七号载人飞船成功发射，某校举办航天知识竞赛，竞赛设置了，，三道必答题目.已知某同学能正确回答，，题目的概率分别为0.8，0.7，0.5，且回答各题是否正确相互独立，则该同学最多有两道题目回答正确的概率为（）A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92〖答案〗B〖解析〗，，三道必答题目，该同学都回答正确的概率为，该同学最多有两道题目回答正确的概率为.故选：B.5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（）A. B.3 C. D.1〖答案〗A〖解析〗因为，角终边上一点，所以，由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）.故选：A.6.现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（）A.乙与丁相互独立 B.甲与丙相互独立C.丙与丁相互独立 D.甲与乙相互独立〖答案〗D〖解析〗设事件甲、乙、丙、丁分别记为、、、，由题意可得，有放回的抽取卡片两次的基本事件数为，两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为、、、、、、、，共个，两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件为个，则，，显然丙与丁为对立事件，C错误；对于A，乙与丁同时发生的基本事件为、、，有个，则，所以乙与丁不相互独立，A错误；对于B，甲与丙同时发生的基本事件、，有个，则，所以甲与丙不相互独立，B错误；对于D，甲与乙同时发生的基本事件为，只有个，则，所以甲与乙相互独立，D正确.故选：D.7.若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（）A.有最小值 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值〖答案〗A〖解析〗设，因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称，又，所以是奇函数，因为在上有最大值，所以在上有最大值为，所以在上有最小值，所以在上有最小值．故选：A．8.已知，且，则的最小值为（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，当且仅当，即，时取得等号．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知：，则成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，解得，设：，成立的一个充分不必要条件为集合，则且，所以和都是的充分不必要条件.故选：BD.10.下图统计了第10～19届亚运会中国队获得的金牌数，则关于这10届中国队获得金牌数的结论正确的是（）A.中国队获得金牌数的极差为105 B.中国队获得金牌数的平均数小于155C.中国队获得金牌数的75%分位数为183 D.中国队获得金牌数的60%分位数为151〖答案〗BC〖解析〗这10届中国队获得金牌数的极差为，A错误；这10届中国队获得金牌数的平均数为：，B正确；这10届中国队获得金牌数从小到大排列为：94，125，129，132，150，151，165，183，199，201，因为，所以中国队获得金牌数的75%分位数是183，C正确；因为，所以中国队获得金牌数的60%分位数为，D错误.故选：BC.11.已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，，都有，则（）A.的图象关于点中心对称 B.C.在区间上单调递增 D.在处取得最大值〖答案〗BCD〖解析〗对A：由，得的图象关于直线对称；又是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；由对称性可知，函数的图象关于点中心对称，再根据是奇函数可得，函数的图象关于点中心对称，A错误；对B：由与，得，所以，B正确；对C：因为对于任意的，，都有，所以在上单调递减，又函数的图象关于点中心对称，则在上单调递减，因为的图像关于直线对称，则在区间上单调递增，C正确；对D：由C可知，在处取得最大值，，则在处取得最大值，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若扇形的半径为4，弧长为16，则扇形圆心角的弧度数为______.〖答案〗4〖解析〗设扇形的圆心角为，易知.故〖答案〗为：4.13.已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为_______________.〖答案〗〖解析〗作出函数的图象，如图所示，由图象可知，且，所以，则，所以，故的取值范围为．故〖答案〗为：．14.已知样本的平均数为，方差为，样本，，，的平均数为，方差为，则新样本，，，，，，，的方差为______.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，，，，故新样本的平均数为，其方差为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，角的终边经过点.（1）求，的值（2）求的值.解：（1）由于角的终边经过点，则，所以，.（2）由诱导公式化简得：.16.已知幂函数的图象过点．（1）求实数m的值；（2）设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．解：（1）由幂函数的定义可知，解得，当时，，又的图象不过点，显然不满足题意；当时，，将点代入得，综上所述，．（2）由（1）可知，，则，任取，且，则，因为，所以，，则，，所以，则，所以，则，即，故在上单调递增．17.某地区打造特色干果产业，助力乡村振兴．该地区某一干果加工厂，打算对干果精加工包装后通过直播平台销售干果，每月需要投入固定成本5万元，月加工包装x万斤需要流动成本万元．当月加工包装量不超过10万斤时，；当月加工包装量超过10万斤时，．通过市场分析，加工包装后的干果每斤售价为12元，当月加工包装的干果能全部售完．（1）求月利润关于月加工包装量x的〖解析〗式；（利润＝销售收入－流动成本－固定成本）（2）月加工包装量为多少万斤时，该广获得的月利润最大？最大月利润是多少？（参考数据：）解：（1）当时，，当时，，所以．（2）当时，和在上均单调递增，所以在上单调递增，此时，；当时，，当且仅当，即时，取得等号，因为，所以月加工包装量为15万斤