2024届河北省多校联考高三下学期适应性测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河北省多校联考2024届高三下学期适应性测试数学试题一､选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式，得，则，由，得，所以.故选：D.2.平面向量满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，在方向上的投影向量为.故选：D.3.若，则（）A. B.C.或 D.〖答案〗A〖解析〗显然，依题意，是正实数，因此，所以.故选：A4.1941年在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，，所以，，，又，所以，所以，同理可得，所以丝线缠一圈长度为.故选：C.5.定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（）A.为偶函数 B.为偶函数C.为奇函数 D.为奇函数〖答案〗D〖解析〗定义在上的函数周期为，所以，又为奇函数，所以，即，所以为奇函数，故B错误；所以，则，所以，则为奇函数，故D正确；由，所以，则关于对称，令，则，满足函数周期为，且满足为奇函数，但是为奇函数，故A错误；令，则，满足函数周期为，又满足为奇函数，但是为偶函数，故C错误.故选：D6.现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）A.216 B.432 C.864 D.1080〖答案〗B〖解析〗求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有种方法，再把4名语文教师按分成3组，并分配到三所学校，有种方法，最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有种方法，由分步乘法计数原理得不同的安排种数为.故选：B7.函数在区间内所有零点的和为（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，，由，得或或（不符合题意，舍去），函数是偶函数，在上的所有零点关于数0对称，它们的和为0，正弦函数的周期为，方程在的两根和为，在上的两根和为，因此在上的两根和构成首项为，末项为的等差数列，共有项，所有根的和为.故选：B.8.过抛物线焦点且斜率为的直线与交于两点，若为的内角平分线，则面积最大值为（）A. B. C. D.16〖答案〗B〖解析〗抛物线焦点，直线的方程为，由，解得，，不妨令，则，由为内角平分线，得，设点，于是，整理得，显然点在以点为圆心，2为半径的圆上，因此点到直线距离的最大值为2，所以面积最大值为.故选：B二､多选题9.要得到函数的图象，可将函数的图象（）A.向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B.向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的C.纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度D.纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度〖答案〗BC〖解析〗对于A，所得〖解析〗式为，A错误；对于B，所得〖解析〗式为，B正确；对于C，所得〖解析〗式为，C正确；对于D，所得〖解析〗式为，D错误.故选：BC.10.质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（）A.事件、、两两互斥B.事件与事件对立C.D.事件、、两两独立〖答案〗ABC〖解析〗依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，显然不对立，故B错误；又事件包含的基本事件有，所以，所以，故C错误；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；即事件、、两两独立，故D正确.故选：ABC11.已知数列，，满足，，当时，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，，所以，又，显然，所以，所以单调递增，则单调递减，即，所以①，由，设，即、为关于的方程的两根，所以，即，则，代入①得，故B正确；当时，所以，所以，所以，，，，所以，则，所以，所以，故A正确；因为单调递增，所以，又因为函数在上单调递增，所以，所以，所以，故C错误；因为，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ABD.三､填空题12.的展开式中常数项为__________．〖答案〗16〖解析〗依题意，展开式的常数项为，含的项为，所以的展开式中常数项为.故〖答案〗为：1613.若，则的大小关系为__________（用“<”号连接）．〖答案〗〖解析〗令函数，求导得，即函数上单调递增，，则，即，令函数，求导得，即函数在上单调递减，，则，即，所以的大小关系为.故〖答案〗为：14.数学家GeminadDandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗令两个球分别与截面相切于点，在截口曲线上任取一点，过点作圆锥的母线，分别与两个球相切于，均为球的切线，则，同理，因此，由切点的产生方式知，长为定值，于是截口曲线上任意点到定点的距离和为定值，该曲线是以点为焦点的椭圆，作出几何体的轴截面，如图，设，依题意，，则，椭圆的长轴长，半焦距为c，则，因此，所以离心率.故〖答案〗为：四､解答题15.已知函数在处的切线为轴．（1）求的值；（2）求的单调区间．解：（1）因为，所以，依题意且，所以，解得.（2）由（1）可得函数的定义域为，又，令，则，所以（）在定义域上单调递增，又，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.16.如图所示，五面体中，，四边形为平行四边形，点在面内的投影恰为线段的中点，．（1）求五面体体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）因为点在面内的投影恰为线段的中点，作垂足为，则平面，因为，所以为等边三角形，所以，又，所以，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，又四边形为平行四边形，所以为三棱柱，则，又三棱锥的体积是三棱柱的体积的，所以五面体的体积是三棱柱的体积的，所以五面体的体积.（2）由（1）知平面，在平面内过点作交于点，如图建立空间直角坐标系，则，，，，又，所以，所以，，又平面的法向量可以为，设平面的法向量为，则，取，设平面与平面夹角为，则.17.过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若、相交于点．（1）求证：点为定点；（2）设的中点为的中点为，当四边形的面积等于时，求四边形的周长．（1）证明：易知双曲线的右焦点，由与的右支交与、两点，与的右支交、两点，设直线的斜率为，则直线：，由，得，设，，不妨设，则，解得或，又与斜率相反，即与关于轴对称，又、相交于点，则点与点对称，点与点对称，则与也关于轴对称，根据对称性可知点一定在轴上，设，又，所以，所以，即，解得，所以直线、相交于点.（2）解：依题意四边形为等腰梯形，为梯形的中位线，设、与轴的交点分别为、，则，且与互相平分，所以，所以，则四边形为正方形，所以且斜率为，所以直线：，则，得，解得或，则，，所以，，则，，所以，，，所以四边形的周长为.18.2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮．某地游乐园一迷宫票价为8元，游客从处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从号出口走出，且从号出口走出，返现金元．（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：

男性女性总计喜欢走迷宫121830不喜欢走迷宫13720总计252550判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.635787910.828（2）走迷宫“路过路口”记为事件，从“号走出”记为事件，求和的值；（3）设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？解：（1）根据列联表中的数据可得，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关.（2）依题意当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，所以向北与向东走的概率均为，由到路口需向北走个，向东走个路口，则不同路线有条，所以，事件表示从出发经过路口最后从号路口走出，则，所以，表示从出发最后从号路口走出条件下经过路口的概率，又，，所以.（3）依题意从号出口走出，返现金元，所以每名游客游玩一次游乐园收入可能取值为，所以，，，，，，，所以每名游客游玩一次游乐园收入的期望为：，每天走迷宫的游客为人，则迷宫项目每天收入约为元.19.已知平面内定点是以为直径的圆上一动点（为坐标原点）．直线与点处的切线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．（1）求点的轨迹方程；（2）求矩形面积的最大值；（3）设的轨迹，直线与轴围成面积为，甲同学认为随的增大，也会达到无穷大，乙同学认为随的增大不会超过4，你同意哪个观点，说明理由．解：（1）设点，依题意，直线的方程为，，显然点与不重合，当点与点不重合时，连接，由是以为直径的圆上一点，则，由轴，得∽∽，则，，而，则，于是，即，当点与点重合时，点与点重合，点与点重合，而满足，所以点的轨迹方程：.（2）由（1）知，点的轨迹方程，显然，即点的轨迹关于轴对称，不妨令点在第一象限，显然∽，，，因此，设矩形的面积为，则，求导得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此，所以当时，矩形面积的最大值为.（3）同意乙同学的观点，随的增大不会超过4.由（1）知点的轨迹方程为，设，显然是偶函数，求导得，当时，，函数在上单调递减，且恒有，则有，即，当增大时，面积的值也在增大，过点分别作轴的垂线交函数的图象于点，由在上单调递减，得当时，的图象与轴之间部分的面积小于，当时，的图象与轴之间部分的面积小于，当时，的图象与轴之间部分的面积小于，当时，的图象与轴之间部分的面积小于，当时，的图象与轴之间部分的面积小于，当时，的图象与轴之间部分的面积小于，则的轨迹，直线与轴围成面积为，，当时，，因此所以随的增大不会超过4.河北省多校联考2024届高三下学期适应性测试数学试题一､选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式，得，则，由，得，所以.故选：D.2.平面向量满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，在方向上的投影向量为.故选：D.3.若，则（）A. B.C.或 D.〖答案〗A〖解析〗显然，依题意，是正实数，因此，所以.故选：A4.1941年在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，，所以，，，又，所以，所以，同理可得，所以丝线缠一圈长度为.故选：C.5.定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（）A.为偶函数 B.为偶函数C.为奇函数 D.为奇函数〖答案〗D〖解析〗定义在上的函数周期为，所以，又为奇函数，所以，即，所以为奇函数，故B错误；所以，则，所以，则为奇函数，故D正确；由，所以，则关于对称，令，则，满足函数周期为，且满足为奇函数，但是为奇函数，故A错误；令，则，满足函数周期为，又满足为奇函数，但是为偶函数，故C错误.故选：D6.现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）A.216 B.432 C.864 D.1080〖答案〗B〖解析〗求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有种方法，再把4名语文教师按分成3组，并分配到三所学校，有种方法，最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有种方法，由分步乘法计数原理得不同的安排种数为.故选：B7.函数在区间内所有零点的和为（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，，由，得或或（不符合题意，舍去），函数是偶函数，在上的所有零点关于数0对称，它们的和为0，正弦函数的周期为，方程在的两根和为，在上的两根和为，因此在上的两根和构成首项为，末项为的等差数列，共有项，所有根的和为.故选：B.8.过抛物线焦点且斜率为的直线与交于两点，若为的内角平分线，则面积最大值为（）A. B. C. D.16〖答案〗B〖解析〗抛物线焦点，直线的方程为，由，解得，，不妨令，则，由为内角平分线，得，设点，于是，整理得，显然点在以点为圆心，2为半径的圆上，因此点到直线距离的最大值为2，所以面积最大值为.故选：B二､多选题9.要得到函数的图象，可将函数的图象（）A.向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B.向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的C.纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度D.纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度〖答案〗BC〖解析〗对于A，所得〖解析〗式为，A错误；对于B，所得〖解析〗式为，B正确；对于C，所得〖解析〗式为，C正确；对于D，所得〖解析〗式为，D错误.故选：BC.10.质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（）A.事件、、两两互斥B.事件与事件对立C.D.事件、、两两独立〖答案〗ABC〖解析〗依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，显然不对立，故B错误；又事件包含的基本事件有，所以，所以，故C错误；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；即事件、、两两独立，故D正确.故选：ABC11.已知数列，，满足，，当时，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，，所以，又，显然，所以，所以单调递增，则单调递减，即，所以①，由，设，即、为关于的方程的两根，所以，即，则，代入①得，故B正确；当时，所以，所以，所以，，，，所以，则，所以，所以，故A正确；因为单调递增，所以，又因为函数在上单调递增，所以，所以，所以，故C错误；因为，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ABD.三､填空题12.的展开式中常数项为__________．〖答案〗16〖解析〗依题意，展开式的常数项为，含的项为，所以的展开式中常数项为.故〖答案〗为：1613.若，则的大小关系为__________（用“<”号连接）．〖答案〗〖解析〗令函数，求导得，即函数上单调递增，，则，即，令函数，求导得，即函数在上单调递减，，则，即，所以的大小关系为.故〖答案〗为：14.数学家GeminadDandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗令两个球分别与截面相切于点，在截口曲线上任取一点，过点作圆锥的母线，分别与两个球相切于，均为球的切线，则，同理，因此，由切点的产生方式知，长为定值，于是截口曲线上任意点到定点的距离和为定值，该曲线是以点为焦点的椭圆，作出几何体的轴截面，如图，设，依题意，，则，椭圆的长轴长，半焦距为c，则，因此，所以离心率.故〖答案〗为：四､解答题15.已知函数在处的切线为轴．（1）求的值；（2）求的单调区间．解：（1）因为，所以，依题意且，所以，解得.（2）由（1）可得函数的定义域为，又，令，则，所以（）在定义域上单调递增，又，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.16.如图所示，五面体中，，四边形为平行四边形，点在面内的投影恰为线段的中点，．（1）求五面体体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）因为点在面内的投影恰为线段的中点，作垂足为，则平面，因为，所以为等边三角形，所以，又，所以，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，又四边形为平行四边形，所以为三棱柱，则，又三棱锥的体积是三棱柱的体积的，所以五面体的体积是三棱柱的体积的，所以五面体的体积.（2）由（1）知平面，在平面内过点作交于点，如图建立空间直角坐标系，则，，，，又，所以，所以，，又平面的法向量可以为，设平面的法向量为，则，取，设平面与平面夹角为，则.17.过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若、相交于点．（1）求证：点为定点；（2）设的中点为的中点为，当四边形的面积等于时，求四边形的周长．（1）证明：易知双曲线的右焦点，由与的右支交与、两点，与的右支交、两点，设直线的斜率为，则直线：，由，得，设，，不妨设，则，解得或，又与斜率相反，即与关于轴对称，又、相交于点，则点与点对称，点与点对称，则与也关于轴对称，根据对称性可知点一定在轴上，设，又，所以，所以，即，解得，所以直线、相交于点.（2）解：依题意四边形为等腰梯形，为梯形的中位线，设、与轴的交点分别为、，则，且与互相平分，所以，所以，则四边形为正方形，所以且斜率为，所以直线：，则，得，解得或，则，，所以，，则，，所以，，，所以四边形的周长为.18.2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮．某地游乐园一迷宫票价为8元，游客从处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从号出口走出，且从号出口走出，返现金元．（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：

男性女性总计喜欢走迷宫121830不喜欢走迷宫13720总计252550判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.635787910.828（2）走迷宫“路过路口”记为事件，从“号走出”