专题10 阿氏圆与相似的融合（原卷版）

专题10阿氏圆与相似的融合“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。阿氏圆：阿氏圆钥匙：构造母子相似三角形模型建立：PA+k∙PB的最小值。第一步：确动点的运动轨迹（圆），以点0为圆心、r为半径画圆；（若圆已经画出则可省略这一步）第二步：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接），即连接OP,OB。第三步：计算这两条线段长度的比k;第五步：在0B上取点C,使得OC=k∙OP;OCOP=OPOB=k,∠可得△POC∽△BOP可得：OCOP=PCPB=k,PC=k第六步：则PA+k∙PB≥PA+PC≥AC,即当A，P,C三点共线时可得最小值。［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成1k，再构造△相似进行计算.典例如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是17典例思路引领：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出PTPB=APAB=12，推出PT=12PB，推出12PB+CP＝CP+答案详解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT•AB，∴PAAT∵∠PAT＝∠PAB，∴△PAT∽△BAP，∴PTPB∴PT=12∴12PB+CP＝CP+PT∵PC+PT≥TC，在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT=A∴12PB+PC≥∴12PB+PC的最小值为17故答案为17．实战训练实战训练1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+22PC的最小值是2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BPA．7 B．52 C．4+10 D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14PB的最小值为4．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是5．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为．6．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2-32x﹣4与x轴交于A、B两点，与（1）求点A、B、C的坐标；（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB＝∠ABC，求点D的坐标；（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出12CP+BP8．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+12（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CDCP=CPCB=12，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PDBP=12，∴PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP+BP的最小值为（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值．9．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+12，yQ）在抛物线上，当2AM+2QM的最小值为33210．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=-12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM二．典例11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，