第21章 一元二次方程（解析版）

2022-2023学年人教版数学九年级上册章节考点精讲精练第21章《一元二次方程》知识互联网知识互联网知识导航知识导航知识点1：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

细节剖析：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点2：一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．细节剖析：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.细节剖析：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.细节剖析：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.考点提优练考点提优练考点01：一元二次方程的解1．（2022•南岸区校级模拟）若m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，则3﹣2m2+2m的值是（）A．2 B．1 C．4 D．5解：∵m是关于x的二元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1．∴3﹣2m2+2m＝3﹣2（m2﹣m）＝3﹣2×1＝3﹣2＝1．故选：B．2．（2022春•岚山区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：k2﹣4＝0，解得k1＝2，k2＝﹣2，而k﹣2≠0，所以k＝﹣2．故选：A．3．（2022春•沙坪坝区校级期末）关于x的多项式N＝x﹣1，M＝2x2﹣ax﹣2，a为任意实数，则下列结论中正确的有（）个．①若M•N中不含x2项，则a＝﹣2；②不论x取何值，总有M≥N；③若关于x的方程M＝0的两个解分别为x1＝t2，x2＝2t﹣3，则实数a的最小值为﹣8；④不论a取何值，关于x的方程（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解．A．1 B．2 C．3 D．4解：M•N＝（x﹣1）（2x2﹣ax﹣2）＝2x3﹣（a+2）x2+（a﹣2）x+2，若M•N中不含x2项，则a+2＝0，∴a＝﹣2，故①正确；当x＝0时，N＝﹣1，M＝﹣2，此时M＜N，故②错误；若关于x的方程2x2﹣ax﹣2＝0的两个解分别为x1＝t2，x2＝2t﹣3，则t2+2t﹣3＝，∴a＝2（t+1）2﹣8，∴当t＝﹣1时，a的最小值是﹣8，故③正确；由（M+N）2﹣（M+N）＝6得（M+N﹣3）（M+N+2）＝0，∴M+N﹣3＝0或M+N+2＝0，由M+N﹣3＝0得2x2+（1﹣a）x﹣6＝0，Δ＝（1﹣a）2+48＞0，∴M+N﹣3＝0有两个不相同的实数根，由M+N+2＝0得2x2+（1﹣a）x﹣1＝0，Δ＝（1﹣a）2+8＞0，∴M+N+2＝0有两个不同的实数根，∴（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解，故④正确，∴正确的有①③④，共3个，故选：C．4．（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝﹣2和2．解：∵关于x的一元二次方程的两个根为±3，∴关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，解得y＝﹣2和2．故答案为：﹣2和2．5．（2022春•兰考县期中）x＝1是（填“是”或“不是”）方程4x2﹣9＝2x﹣7的解．解：把x＝1分别代入方程4x2﹣9＝2x﹣7的左右两边，得：左边＝4×12﹣9＝﹣5，右边＝2×1﹣7＝﹣5，左边＝右边，则x＝1是方程4x2﹣9＝2x﹣7的解．故答案为：是．6．（2022春•丰城市校级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代数式a2﹣2019a+的值．解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+＝a+﹣1＝﹣1＝﹣1＝2020﹣1＝2019．7．（2022•海淀区校级一模）已知x＝1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2＝0的一个根，求m（2m+1）的值．解：∵x＝1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2＝0的一个根，∴1﹣m﹣2m2＝0．∴2m2+m＝1．∴m（2m+1）＝2m2+m＝1．考点02：解一元二次方程8．（2022春•江阴市校级月考）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0；（2）解不等式组：．解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，移项，得x2﹣4x＝3，配方，得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，开方，得x﹣2＝，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2），解不等式①，得x≥，解不等式②，得x＜2，所以不等式组的解集是≤x＜2．9．（2022•蒙阴县校级开学）用配方法解方程：（2x﹣1）2＝4x+9．解：整理，得4x2﹣8x﹣8＝0，移项，得4x2﹣8x＝8，二次项系数化为1得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1即（x﹣1）2＝3，开方，得x﹣1＝，x1＝1+，x2＝1﹣．解：（2x﹣1）2＝4x+9，整理，得4x2﹣8x﹣8＝0，移项，得4x2﹣8x＝8，二次项系数化为1，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，开方，得x﹣1＝，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，故答案为：4x2﹣8x﹣8＝0，4x2﹣8x＝8，x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝2+1，x﹣1，3，x﹣1＝，1+，1﹣．10．（2022春•下城区校级期中）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为3．解：分两种情况：当x≥﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，当x＜﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），综上所述：x＝3，故答案为：3．11．（2022春•琅琊区校级月考）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）；（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x1＝﹣5，x2＝2（舍去）；综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5．问题：仿照上面的方法，解方程：x2﹣2|2x+3|+9＝0．解：（1）当2x+3≥0，即x≥﹣时，原方程化为x2﹣2（2x+3）+9＝0，整理，得：x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3；（2）当2x+3＜0，即x＜﹣时，原方程化为x2+2（2x+3）+9＝0，整理，得：x2+4x+15＝0，∵Δ＝42﹣4×1×15＝﹣44＜0，此一元二次方程无实数根，综上所述，原方程的解是x1＝1，x2＝3．考点03：根的判别式12．（2022秋•岳麓区校级月考）一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定解：∵Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．13．（2022秋•通州区校级月考）关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m≤﹣1 C．m＞﹣1 D．m＞1解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＞0，解得：m＞﹣1，故选：C．14．（2022•西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥且m≠1．故选：D．15．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝2．解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．∴m＝2．故答案为：2．16．（2022春•洞头区期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是10．解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．17．（2022春•百色期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0有两个相等的实数根．（1）请判断△ABC的形状；（2）当a＝5，b＝3时，求一元二次方程的解．解：（1）∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵a＝5，b＝3，∴c＝＝4，∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0可整理为9x2+6x+1＝0，解得：x1＝x2＝﹣．18．（2022春•湖南期中）某班“数学兴趣小组”对函数y＝|x﹣1|的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…4m2101234…其中，m＝3；（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）进一步探究函数图象发现：①方程|x﹣1|＝0的解是x＝1；②方程|x﹣1|＝1.5的解是2.5或﹣0.5；③关于x的方程|x﹣1|＝k有两个实数根，则k的取值范围是k＞0．解：（1）x＝﹣2时，y＝|x﹣1|＝3，故m＝3，故答案为：3；（2）函数图象如图所示：（3）①方程|x﹣1|＝0，∴x﹣1＝0，解得：x＝1．故答案为：x＝1；②方程|x﹣1|＝1.5，此时x﹣1＝1.5或x﹣1＝﹣1.5，解得：x＝2.5或﹣0.5．故答案为：x＝2.5或﹣0.5；③设函数y＝k，由|x﹣1|＝k有两个实数根得，直线y＝k与函数y＝|x﹣1|的图象有两个交点，由图象可知，k＞0，故答案为：k＞0．19．（2022春•东台市期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值．（1）证明：Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，所以对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：将x＝2代入原方程中，得4﹣4m+m2﹣1＝0，即m2﹣4m＝﹣3，∴﹣3m2+12m+2021＝﹣3（m2﹣4m）+2021＝﹣3×（﹣3）+2021＝2030．考点04：根与系数的关系20．（2022•三水区开学）若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（）A．2 B．﹣2 C． D．解：＝＝＝2．故选：A．21．（2022•松山区模拟）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，∴m3﹣4n2+17＝4m﹣3﹣12+4n+17＝4（m+n）+2＝4×（﹣1）+2＝﹣4+2＝﹣2，故选：A．22．（2022•肥西县模拟）设a、b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两实数根，则a3+2022b﹣2021＝2022．解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两实数根，∴a2＝a+2021，a+b＝1，∴a3+2022b﹣2021＝a（a+2021）+2022b﹣2021＝a2+2021a+2022b﹣2021＝a+2021+2021a+2022b﹣2021＝2022（a+b）＝2022×1＝2022．故答案为：2022．23．（2022春•绍兴期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有②③（填序号）．①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，得x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正确；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，当x2＝1时，m+n＝0，当x2＝4时，4m+n＝0，∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正确；③∵pq＝2，∴px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣q，∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，因此是倍根方程，故③正确．故答案为：②③．24．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝1．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）＝（0+α）（0+β）＝αβ＝1．故答案是：1．25．（2022秋•江岸区校级月考）关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于12？若存在，求k；若不存在，请说明理由．解：（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴k≠0，Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4k•＝k2﹣4k+4﹣k2＞0，∴k＜1且k≠0，∴实数k的取值范围为k＜1且k≠0；（2）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（a≠0，Δ＞0），它们对应的根是倒数关系，即若ax2+bx+c＝0的两根为x1.x2，则cx2+bx+a＝0的两根为，，∵方程的两个实数根的倒数和等于12，∴关于x的方程kx2﹣（k﹣2）x+k＝0，根据题意有，﹣＝12，∴，∴k＝﹣1，显然k＜1且k≠0，∴存在实数k，k＝﹣1．26．（2022春•安庆期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，则k＝8；（2）若一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求的值；解：（1）设一元二次方程x2﹣6x+k＝0两根为α和2α，则，解得，故答案为：8；（2）由一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0得（nx﹣m）（x﹣2）＝0，∴x＝或x＝2，∵一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，∴＝4或＝1，当＝4时，m＝4n，∴＝＝，当＝1时，m＝n，∴＝＝2，综上所述，的值为或2．27．（2022•南充）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．（1）求实数k的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，解得k≤，即k的取值范围是k≤；（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，解得k＝3，即k的值是3．考点05：一元二次方程的应用28．（2022•安国市一模）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长解：∵AD＝AC＝，∴AB＝AD+BD＝+BD，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（）2+b2＝（+BD）2，∴+b2＝+aBD+BD2，∴BD2+aBD＝b2，∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，故选：B．29．（2022春•福州期末）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（）A．20% B．25% C．30% D．35%解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，依题意得：2000（1+x）2＝3380，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．故选：C．30．（2021秋•岳池县期末）我县某村从2018年开始大力发展文旅产业，打造农家生态文化旅游．据统计，该村2018年农家生态文化旅游收入约为200万元，2020年该村农家生态文化旅游收入达到288万元．据此估计该村从2018年到2020年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%解：设该村从2018年到2020年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为x，依题意得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故选：C．31．（2022春•福山区期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有1728人感染德尔塔病毒．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：1+x+x（1+x）＝144，整理得：x2+2x﹣143＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．144+11×144＝1728（人）．答：经过三轮传染后，一共有1728人感染德尔塔病毒．故答案为：1728．32．（2022春•蜀山区期末）如图，某生物兴趣小组要在长40米、宽30米的矩形园地种植蔬菜，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为1008平方米，则小路的宽为2米．解：小路的宽为x米．由题意可得：（40﹣2x）（30﹣x）＝1008，解得：x1＝2，x2＝48（不合题意，舍去），答：小路的宽为2米，故答案为：2．33．（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为2．解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，整理，得：x2﹣8x+6＝0，解得：x1＝4+，x2＝4﹣，当x＝4+时，2×（3+1）﹣x＝4﹣＜4+，符合题意；当x＝4﹣时，2×（3+1）﹣x＝4+＞4﹣，符不符合题意，舍去．∴“加倍矩形”的对角线长为＝2．故答案为：2．34．（2021秋•尧都区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是9cm2．解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，根据题意得：（x+2×x）•x＝135，解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），则x＝3．所以3×3＝9（cm2）．故答案为：9．35．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）