函数的增减性曲线的凹凸性与拐点

26.04.20241关于函数的增减性曲线的凹凸性与拐点26.04.20242一、函数增减性图1图2第2页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202431.利用导数来判定函数的单调性解

第3页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.20244

解

经验第4页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.20245解：经验:从例2、例3可以看到在讨论函数的单调性或单调区间时，函数的驻点或函数有定义、但一阶导数不存在的点都可能成为单调区间的分界点.第5页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.20246求单调区间的基本步骤：（1）确定定义区间；（2）求函数f(x)的导数；（3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；（4）以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符号，进而确定单调区间。第6页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202472.利用导数来证明不等式所以第7页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.20248二、函数的极值第8页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202492.函数取得极值的充要条件

说明：第9页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202410下面给出判断极值点的两种不同方法.第10页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.2024113.第一充分条件（TheFirstSufficientCondition）（极小值）第11页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202412（是极值点情形）（不是极值点情形）第12页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202413第13页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202414根据上述讨论，第14页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202415解所以第15页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202416解所以第16页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.2024174.第二充分条件（TheSecondSufficientCondition）第17页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202418解题步骤：第18页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202419解第19页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202420函数的最大值最小值（ExtremeProblems）在很多学科领域与实际问题中，经常遇到在一定条件下如何用料最省、成本最低、时间最短、效益最高等问题，这类问题我们称为最优化问题.在数学上，它们常归结为求某一个函数（称为目标函数）在某个范围内的最大值、最小值问题（简称为最值问题）．第20页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202421我们来看一下下面的几幅图：第21页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202422解第22页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202423求最大值与最小值思路：第23页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202424（解答见下页）（补充题）第24页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202425第25页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202426三、曲线的凹凸性及拐点（InflectionPoint）1、曲线凹凸的定义显然，曲线AB与BC都是单调增加的，但它们单调增加的变化方式却有所不同。这说明：仅靠单调性来描述曲线的性态是不够的。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。第26页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202427定义:

如果在某区间内曲线位于每一点处切线的上方，则称此曲线在该区间内是凹的（或称上凹）(concave)；如果在某区间内曲线位于每一点处切线的下方，则称此曲线在该区间内是凸的（或称下凹）(convex)。连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点(inflectionpoint)。高等数学第二章第四节06-04第27页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202428x1x2xyo

1

2凹(concave)高等数学第二章第四节06-05第28页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202429xyo

1

2x2x1凸(convex)高等数学第二章第四节06-06第29页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202430直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．第30页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.2024312、曲线凹凸性的判定（证明略）第31页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202432解

第32页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202433解：凹的凸的凹的拐点拐点第33页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.2024341.函数单调性的判别法（定理1）内容小结（1）会利用导数来判定函数的单调性（2）会利用导数来证明一些不等式（3）利用导数来证明方程根的唯一性2.函数凹凸性的定义3.函数凹凸性的判别定理（定理2）（1）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）（2）会利用凹凸性来证明一些不等式第34页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202435解

第35页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202436四、函数图形的描绘第36页,共40页，2024年2月25日，星期天26.04.202437第37页,共40页，