人教版数学九年级上册教案第二十四章圆

第二十四章圆

单元要点分析

教学内容

1.本单元数学的主要内容.

(1)圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周

角.

(2)与圆有关的位置关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位

置关系，圆与圆的位置关系.

(3)正多边形与圆.

(4)弧长与扇形面积：弧长与扇形面积，圆锥的侧面积与全面

积.

2.本单元在教材中的地位与作用.

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明

等方式相识了很多图形的性质，积累了大量的空间与图形的阅历.本

章是在学习了这些直线型图形的有关性质的根底上,进一步来探究一

种特别的曲线——圆的有关性质.通过本章的学习，对学生今后接着

学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起

着良好的铺垫作用.本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线

的学习的根底性工程.

教学目的

1.学问与技能

(1)理解圆的有关概念，探究并理解垂径定理，探究并相识圆

心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探究并理解圆周角与圆心角

的关系定理.

(2)探究并理解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：理

解切线的概念，探究切线与过切点的直径之间的关系，能断定一条

直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.

(3)进一步相识与理解正多边形与圆的关系与正多边的有关计

算.

(4)娴熟驾驭弧长与扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥

的侧面绽开图并娴熟驾驭圆锥的侧面积与全面积的计算.

2.过程与方法

(1)主动引导学生从事视察、测量、平移、旋转、推理证明等

活动.理解概念，理解等量关系，驾驭定理及公式.

(2)在教学过程中，激励学生动手、动口、动脑，并进展同伴

之间的沟通.

(3)在探究圆周角与圆心角之间的关系的过程中，让学生形成

分类讨论的数学思想与归纳的数学思想.

(4)通过平移、旋转等方式，相识直线与圆、圆与圆的位置关

系，使学生明确图形在运动改变中的特点与规律，进一步开展学生

的推理实力.

(5)探究弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积与全面积的计算公

式并理解公式的意义、理解算法的意义.

3.情感、看法与价值观

经验探究圆及其相关结论的过程，开展学生的数学思索实力；通

过主动引导，扶植学生有意识地积累活动阅历，获得胜利的体验；利

用现实生活与数学中的素材，设计具有挑战性的情景,激发学生求知、

探究的欲望.

教学重点

1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两

条弧及其运用.

2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也

相等及其运用.

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

条弧所对的圆心角的一半及其运用.

4.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对

的弦是直径及其运用.

5.不在同始终线上的三个点确定一个圆.

6.直线L与。。相交od<r;直线L与圆相切od=r;直线L

与OO相离od>r•及其运用.

7.圆的切线垂直于过切点的半径及其运用.

8.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利

用它解决一些详细问题.

9.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一

点与圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用.

10.两圆的位置关系：d与门与n之间的关系：外离。4口+口;

外切odf+Q；相交oIr2rli（水门+心；内切od=|rx-r2|;

内含od<|r2-ri|.

11.正多边形与圆中的半径R、边心距r、中心角6之间的等量

关系并应用这个等量关系解决详细题目.

12.n°的圆心角所对的弧长为1=黑，n°的圆心角的扇形面

积是S扇形=嚼及其运用这两个公式进展计算.

13.圆锥的侧面积与全面积的计算.

教学难点

1.垂径定理的探究与推导及利用它解决一些实际问题.

2.弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探究与推导并运用

它解决一些实际问题.

3.有关圆周角的定理的探究及推导及其它的运用.

4.点与圆的位置关系的应用.

5.三点确定一个圆的探究及应用.

6.直线与圆的位置关系的断定及其应用.

7.切线的断定定理与性质定理的运用.

8.切线长定理的探究与运用.

9.圆与圆的位置关系的断定及其运用.

io.正多边形与圆中的半径R、边心距八中心角e的关系的应

用.

11.n的圆心角所对的弧长L=鬻及S扇形=嚼的公式的应

180360

用・

12.圆锥侧面绽开图的理解.

教学关键

1.主动引导学生通过视察、测量、折叠、平移、旋转等数学活

动探究定理、性质、“三个”位置关系并推理证明等活动.

2.关注学生思索方式的多样化，留意学生计算实力的培育与进

步.

3.在视察、操作与推导活动中，使学生有意识地反思其中的数

学思想方法，开展学生有条理的思索实力及语言表达实力.

单元课时划分

本单元教学时间约需13课时，详细安排如下：

24.1圆3课时

24.2与圆有关的位置关系4课时

24.3正多边形与圆1课时

24.4弧长与扇形面积2课时

教学活动、习题课、小结3课时

24.1圆

第一课时

教学内容

1.圆的有关概念.

2.垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分

弦所对的两条弧及其它们的应用.

教学目的

理解圆的有关概念，理解垂径定理并敏捷运用垂径定理及圆的概

念解决一些实际问题.

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有

关概念.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线

都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方法得出猜测垂径定理，并辅

以逻辑证明加予理解.

重难点、关键

1.重点：垂径定理及其运用.

2.难点与关键：探究并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些

实际问题.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）

1.举诞生活中的圆三、四个.

2.你能讲出形成圆的方法有多少种？

老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等.（2）圆规：固

定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆.

二、探究新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另

一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA

叫做半径.

以点。为圆心的圆，记作读作“圆O”.

学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心O）的间隔有什么规律？

问题2:到定点的间隔等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结.

（1）图上各点到定点（圆心。）的间隔都等于定长（半径r）;

（2）到定点的间隔等于定长的点都在同一个圆上.

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为。，半径为r的圆可以

看成是全部到定点O的间隔等于定长r的点组成的图形.

同时，我们又把

①连接圆上随意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB;

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB;

③圆上随意两点间的局部叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点

的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧（如图

所示ABC叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧.

④圆的随意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫

做半圆.

（学生活动）请同学们答复下面两个问题.

1.圆是轴对称图形吗？假如是，它的对称轴是什么？你能找到

多少条对称轴？

2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进展沟通.

(老师点评)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找

到多数多条直径.

3.我是利用沿着圆的随意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴

问题的.

因此，我们可以得到：|圆是轴对称图形，其对称轴是随意一条过

圆心的直线.

(学生活动)请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是。O的一条弦，作直径CD,使CD1AB,垂足为

M.

(1)如图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？

(2)你能发觉图中有哪些等量关系？说一说你理由.

(老师点评)

(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.

(2)AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直径CD平分弦AB,并

且平分AB及AOB.

这样，我们就得到下面的定理：|垂直于弦的直径平分弦，并且下

分弦所对的两秦豕厂

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD、弦AB且CD1AB垂足为M

求证：AM=BM,AC^BC,AD=BD.

分析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.

因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可.

证明：如图，连结OA、OB,贝iJOA=OB

在RtAOAM与RtAOBM中

=/.RtAOAM^RtAOBM/.AM=BM.♦.点A与

OM=0M

点B关于CD对称

关于直径CD对称

「•当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合,

AO与8。重合.

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条疣

(本题的证明作为课后练习)

例1.如图，一条马路的转弯处是一段圆弦(即图中C。，点O

是的圆心，其中CD=600m,E为C。上一点，且OE1CD,垂

足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中运用了列方程的方法,

这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法确定要

驾驭.

解：如图，连接OC设弯路的半径为R,则OF=(R-90)m

•/OE1CD.\CF=-CD=1X600=300(m)

22

依据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2

解得R=545这段弯路的半径为545m.

三、稳固练习

教材P86练习P88练习.

四、应用拓展

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位

下水面宽AB=60m,水面到拱顶间隔CD=18m,当洪水泛滥时，

水面宽MN=32m时是否须要实行紧急措施？请说明理由.

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否须要实行紧

急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R,然后运用几何代

数解求R.

解：不须要实行紧急措施

设OA=R,在RtaAOC中，AC=30,CD=18

R2=302+(R-18)2R2=900+R2-36R+324解得R=34

连接OM,设DE=x,在RtaMOE中，ME=16

342=162+(34-x)2162+342-68X+X2=342

x2-68x+256=0

解得X]=4,X2=64(不合设)/.DE=4不需实行紧急

措施.

五、归纳小结(学生归纳，老师点评)

本节课应驾驭：

1.圆的有关概念；

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.

3.垂径定理及其推论以及它们的应用.

六、布置作业

1.教材P94复习稳固1、2、3.

2.车轮为什么是圆的呢？

3.垂径定理推论的证明.

4.选用课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题.

1.如图1,假如AB为。。的直径，弦CDJ_AB,垂足为E,那么

下列结论中错误的是()

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBAD

D.AC>AD

2.如图2,。。的直径为10,圆心。到弦AB的间隔OM的长为

3,则弦AB的长是()

A.4B.6C.7D.8

3.如图3,在。。中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，

下列结论中不正确的是

A.AB1CDB.ZAOB=4ZACDC.AD=BD

D.PO=PD()

(1)(2)(3)

二、填空题

1.如图4,AB为。O直径，E是中点，OE交BC于点D,BD=3,

AB=10,贝!JAC=.

2.P为。。内一点，OP=3cm,。。半径为5cm,则经过P点的最

短弦长为；最长弦长为.

3.如图5,OE、OF分别为。O的弦AB、CD的弦心距，假如OE=OF,

那么_____(只需写一个正确的结论)

(4)(5)

三、综合进步题

1.如图，AB为。O的直径，CD为弦，过C、D分别作CNJ_CD、

DM1CD,分别交AB于N、M,图中的AN与BM相等吗？

说明理由.

2.如图，在。O中，直径AB与弦CD相交于点E,AE=2,

EB=6,ZDEB=30°,求弦CD长.

3.(开放题)AB是。。的直径，AC、AD是。。的两弦，

已知AB=16,AC=8,AD=8,求/DAC的度数.

答案：

-*、1.D2.D3.D

二、1.82.8103.AB=CD

三、1.AN=BM理由：过点。作OE1CD于点E,贝(JCE=DE,

JLCN//OE//DM.

/.ON=OM,/.OA-ON=OB-OM,/.AN=BM.

2.过O作OF1CD于F,如右图所示

•/AE=2,EB=6,/.OE=2,/.EF=V3,OF=1,连结OD,

在RtaODF中，42=12+DF2,DF=V15,」.CD=2厉.

3.(1)AC、AD在AB的同旁，如右图所示：

•/AB=16,AC=8,AD=8V3,：.-AC=-(-AB),

222

/.ZCAB=60°,同理可得NDAB=30°,/.ZDAC=30°.

(2)AC、AD在AB的异旁，同理可得：NDAC=60°+30°=90°.

24.1圆(第2课时)

教学内容

1.圆心角的概念.

2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的

圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

3.定理的推论：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们

所对的圆心角相等，所对的弦相等.

在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等,

所对的弧也相等.

教学目的

理解圆心角的概念：驾驭在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有

一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，

及其它们在解题中的应用.

通过复习旋转的学问，产生圆心角的概念，然后用圆心角与旋转

的学问探究在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有

一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最终应用它

解决一些详细问题.

重难点、关键

1.重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,

所对弦也相等及其两个推论与它们的应用.

2.难点与关键：探究定理与推导及其应用.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下题.

已知△OAB,如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的

图形.

老师点评：绕。点旋转，O点就是固定点，旋转30°,就是旋

转角/BOB，=30°.

二、探究新知

如图，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

（学生活动）请同学们按下列要求作图并答复问题：

如图，在。。中，分别作相等的圆心角NAOB与NA'OB'

将圆心角NAOB绕圆心O旋转到NA'OB'的位置，你能发觉

哪些等量关系？为什么？

AB=A'B',AB=A'B'理由如下：

..•半径OA与O'Az重合，KZAOB=ZA,OB'

二.半径OB与OB'重合

...点A与点A'重合，点B与点B'重合

AB与A©重合，弦AB与弦A'B'重合

/.AB=A'B',AB=A，B'

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相

等

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等

呢？请同学们如今动手作一作.

(学生活动)老师点评：如图1,在。。与。O'中，分别作相

等的圆心角NAOB与/A'O'B'得到如图2,滚动一个圆，使O

与O'重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与

O'A，重合.

(1)(2)

你能发觉哪些等量关系？说一说你的理由？

我能发觉：AB=A'B',AB=AZBZ.

如今它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们

的数学思想上的化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面

的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等二

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等,

所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等,

所对的弧也相等.

(学生活动)请同学们如今赐予说明一下.

请三位同学到黑板板书，老师点评.

例1.如图，在OO中，AB、CD是两条弦，OE1AB,OF1

CD,垂足分别为EF.

(1)若NAOB=/COD,则OE与OF的大小有什么关系?

为什么？

(2)若OE=OF,则AB与CO的大小有什么关系？

AB与CD的大小有什么关系？为什么？

NAOB与NCOD呢？

分析：(D要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE与直角三

角形COF中说明AE=CF,即说明AB=CD,因此，只要运用前面所

讲的定理即可.

(2)-/OE=OF,.•.在RtZkAOE与RtZkCOF中,

又有AO=CO是半径，.•.RSAOE&RtACOF,/.AE=CF,/.

AB=CD,

又可运用上面的定理得到AB=CD

解：(1)假如NAOB=/COD,那么OE=OF理由是：

•/ZAOB=ZCOD/.AB=CD

,/OE1AB,OF1CD，AE=；AB,CF=|CD

AE=CF

%VOA=OC/.RtAOAE^RtAOCF/.OE=OF

(2)假如OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,ZAOB=/COD

理由是：

•/OA=OC,OE=OF/.RtAOAE^RtAOCF/.

AE=CF

X-/OEIAB,OF1CD/.AE=|AB,CF=；CD/.

AB=2AE,CD=2CF

/.AB=CD/.AB=CD,ZAOB=/COD

三、稳固练习

教材P89练习1教材P90练习2.

四、应用拓展

例2.如图3与图4,MN是。(3的直径，弦AB、CD相交于

MN上的一点P,ZAPM=/CPM.

(1)由以上条件，你认为AB与CD大小关系是什么，请说明

理由.

(2)若交点P在。O的外部，上述结论是否成立？若成立，加

以证明；若不成立，请说明理由.

(3)(4)

分析：(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角

相等，只要说明它们的一半相等.(2)上述结论仍旧成立，它的证明

思路与上面的题目是一模一样的.

解：⑴AB=CD

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、

F

VZAPM=ZCPM/.Z1=Z2OE=OF

连结OD、OB且OB=OD/.RtAOFD^RtAOEB

DF=BE

依据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE_LAB,OF1CD,垂足为E、F

v/APM=ZCPNKOP=OP,ZPEO=ZPFO=90°.'.RtA

OPE^RtAOPF/.OE=OF

连接OA>OB、OC、OD易证RtAOBE^RtAODF,Rt

△OAE^RtAOCF

•••Z1+Z2=Z3+Z4.\AB=CD

五、归纳总结（学生归纳，老师点评）

本节课应驾驭：

1.圆心角概念.

2.在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一

组量相等，那么它们所对应的其余各组量都局部相等，及其它们的

应用.

六、布置作业

1.教材P94-95复习稳固4、5、6、7、8.

2.选用课时作业设计.

第二课时作业设计

一、选择题.

1.假如两个圆心角相等，那么（）

A.这两个圆心角所对的弦相等；B.这两个圆心

角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等；D.以上说法都

不对

2.在同圆中，圆心角/AOB=2/COD,则两条弧AB与CD

关系是()

A.AB=2CDB.AB>CDC.AB<2CDD.不能

确定

3.如图5,。。中，假如AB=2AC,那么().

A.AB=ACB.AB=ACC.AB<2ACD.AB>2AC

(5)(6)

二、填空题

1.交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的

2.一条弦长恰好为半径长,则此弦所对的弧是半圆的.

3.如图6,AB与DE是。。的直径，弦AC//DE,若弦BE=3,

贝弦CE=.

三、解答题

1.如图，在。。中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD,

MC1AB,ND1AB,M、N在。O上.

(1)求证：AM=BN;

(2)若C、D分别为OA、OB中点，贝口用=政7=皿成立吗？

2.如图，以口ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别

交BC、AD于E、F,若ND=50°,求0的度数与政的度数.

3.如图，NAOB=90°,C、D是AB三等分点，AB分别交

OC、OD于点E、F,

求证：AE=BF=CD.

第1题图第2题图第3题图

答案：

一、1.D2.A3.C

二、1.圆的旋转不变形2.g或|3.3

三、1.(1)连结OM、ON,在RtAOCM与RtAODN中OM=ON,

OA=OB,

•/AC=DB,/.OC=OD,/.Rt△OCMRt△ODN,Z

AOM=/BON,AM=NB

(2)AM=MN=NB

2.BE的度数为80°,EF的度数为50°.

3.连结AC、BD,VC>D是AB三等分点，「.AC=CD=DB且

ZAOC=-X9O°=30

3

•/OA=OC,/.ZOAC=ZOCA=75°,又/AEC=/OAE+N

AOE=450+30°=75°,

/.AE=AC,同理可证BF=BD,/.AE=BF=CD

24.1圆(第3课时)

教学内容

1.圆周角的概念.

2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等，都等于这条弦所对的圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所

对的弦是直径及其它们的应用.

教学目的

1.理解圆周角的概念.

2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆

周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直

角，90°的圆周角所对的弦是直径.

4.娴熟驾驭圆周角的定理及其推理的敏捷运用.

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，

运用数学分类思想赐予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定

理推论的正确性，最终运用定理及其推导解决一些实际问题.

重难点、关键

1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.

3.关键：探究圆周角的定理的存在.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫圆心角？

2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联络呢？

老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

（2）在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有

一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.

刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，假如顶点不

在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关

系呢？这就是我们今日要讨论，要讨论，要解决的问题.

二、探究新知

问题：如图所示的OO,我们在射门嬉戏中，设E、F是球门，

设球员们只能在〃所在的。O其它位置射门，如图所示的

A、B、C点.通过视察，我们可以发觉像NEAF、ZEBF>ZECF

这样的角，它们的顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

如今通过圆周角的概念与度量的方法答复下面的问题.

1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？

2.同弧所对的圆周角的度数是否发生改变？

3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

(学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.

老师点评：

1.一个弧上所对的圆周角的个数有多数多个.

2.通过度量，我们可以发觉，同弧所对的圆周角是没有改变的.

3.通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有

改变，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半

(1)设圆周角/ABC的一边BC是。。的直径，如图所示

•/ZAOC是△ABO的夕卜角/.ZAOC=ZABO+ZBAO

•「OA=OBZABO=ZBAO/.ZAOC=ZABOZ

ABC=-ZAOC

2

（2）如图，圆周角/ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两

侧，

那么NABC=；/AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过

程.

老师点评：连结BO交。。于D,

同理NAOD是△ABO的外角，NCOD是△BOC的外角，

那么就有NAOD=2/ABO,ZDOC=2ZCBO,因此/AOC=2

ZABC.

（3）如图，圆周角/ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同

侧，

那么/ABC=；/AOC吗？请同学们独立完成证明.

老师点评：连结OA、OC,连结BO并延长交。。于D,

那么NAOD=2/ABD,ZCOD=2/CBO,

而ZABC=ZABD-ZCBO=-ZAOD-1ZCOD=-ZAOC

222

如今，我假如在画一个随意的圆周角NAB'C,同样可证得它

等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的.

从（1）、（2）、（3）,我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.

进一步，我们还可以得到下面的推导:

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦

是直径.

下面，我们通过这个定理与推论来解一些题目.

例1.如图，AB是。。的直径，BD是。O的弦，延长BD到

C,

使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD,因为AB=AC,所以这个aABC是等腰，

要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是NBAC

的平分线即可.

解：BD=CD理由是：如图24-30,连接AD

VAB是。O的直径/.ZADB=90°即AD1BC又7

AC=AB/.BD=CD

三、稳固练习

1.教材P92思索题.

2.教材P93练习.

四、应用拓展

例2.如图，已知aABC内接于OO,NA、/B、NC的对边分

别设为a,b,c,。。半径为R,求证：^L-=-^-=-£-=2R.

sinAsinBsinC

分析：WW-£-=-^-=-£-=2R,

sinAsinBsinC

只要证明‘'=2R,2）=2R,-£-=2R,

sinAsinBsinC

BpsinA=—,sinB=—,sinC=—,

2R2R2R

因此，特别明显要在直角三角形中进展.

证明：连接co并延长交。。于D,连接DB

VCD是直径「.ZDBC=90°

%VZA=ZD在RtaDBC中，sinD=—,即2R=-^-

DCsinA

同理可证：上=2R,，一=2R.•.，_=上=工.=2区

sinBsinCsinAsinBsinC

五、妇纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应驾驭：

1.圆周角的概念；

2.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；

3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的

弦是直径.

4.应用圆周角的定理及其推导解决一些详细问题.

六、布置作业

1.教材P95综合运用9、10、11拓广探究12、13.

2.选用课时作业设计.

第三课时作业设计

一、选择题

1.如图1,A、B、C三点在0O上，ZAOC=100°,贝IJ/ABC

等于（）.

A.140°B.110°C.120°D.130°

2.如图2,/I、/2、/3、N4的大小关系是（）

A.N4<N1<N2<N3B.Z4<Z1=/3<Z2

C.Z4<z1<Z3Z2D.Z4<Z1<Z3=Z2

3.如图3,AD是。O的直径，AC是弦，OB_LAD,若OB=5,

且/CAD=30°,贝IJBC等于

A.3B.3+百C.5--D.5

2

()

(1)(2)

⑶

二、填空题

1.半径为2a的。。中，弦AB的长为2ga,则弦AB所对的

圆周角的度数是_______.

2.如图4,A、B是。O的直径，C、D、E都是圆上的点，则

Zl+Z2=.

3.如图5,已知4ABC为OO内接三角形，BC=1,Z

A=60°,则。O半径为.

三、综合进步题⑷⑸

1.如图，弦AB把圆周分成1：2的两局部，已知。。半径为1,

求弦长AB.

2.如图，已知AB=AC,ZAPC=60°

(1)求证：4ABC是等边三角形.(2)若BC=4cm,求。O

的面积.

3.如图，0c经过坐标原点且与两坐标轴分别交于点A与点B,

点A的坐标为(0,4),M是圆上一点，ZBMO=120°.

(1)求证：AB为。C直径.(2)求。C的半径及圆心C的

坐标.

第1题图第2题图第3题图

答案:

—1.D2.B3.D

二、1.120°或60。2.90°3,与

三、1.百

2.(1)•/ZABC=ZAPC=60°,又=AC,

/.ZACB=ZABC=60°,Z\ABC为等边三角形.

(2)连结OC,过点。作OD_LBC,垂足为D,

在RtAODC中，DC=2,ZOCD=30°,设OD=x,则

OC=2x,.'.4X2-X2=4,.\OC=-73

3

3.(1)略⑵4,(-273,2)

点与圆的位置关系

教学目的

(一)教学学问点

理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条

直线上的三个点作圆的方法，理解三角形的外接圆、三角形的外心等

概念.

(二)实力训练要求

1.经验不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探究过程，培

育学生的探究实力.

2.通过探究不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进

一步体会解决数学问题的策略.

（三）情感与价值观要求

1.形成解决问题的一些根本策略，体验解决问题策略的多样性,

开展理论实力与创新精神.

2.学会与人合作，并能与别人沟通思维的过程与结果.

教学重点

1.经验不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探究过程，并

能驾驭这个结论.

2.驾驭过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

3.理解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

教学难点

经验不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探究过程，并能过

不在同一条直线上的三个点作圆.

教学方法

老师指导学生自主探究沟通法.

教具打算

投影片三张

第一张：（记作§3.4A）

第二张：（记作§3.4B）

第三张：（记作§3.4C）

AAAL.XE1

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道经过一点可以作多数条直线，经过两点只能作一条

直线.那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课

我们将进展有关探究.

n.新课讲解

i.回忆及思索

投影片（§3.4A）

1.线段垂直平分线的性质及作法.

2.作圆的关键是什么？

［生］1.线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段

两端点的间隔相等.

作法：如下图，分别以45为圆心，以大于;长为半径画弧,

在的两侧找出两交点GD,作直线CD,则直线8就是线段

4s的垂直平分线，直线8上的任一点到力与B的间隔相等.

［师］我们知道圆的定义是：平面上到定点的间隔等于定长的全部

点组成的图形叫做圆.定点即为圆心，定长即为半径.依据定义大家

觉得作圆的关键是什么？

［生］由定义可知，作圆的问题本质上就是圆心与半径的问题.因

此作圆的关键是确定圆心与半径的大小.确定了圆心与半径，圆就随

之确定.

2.做一做(投影片§3.4B)

(1)作圆，使它经过已知点4,你能作出几个这样的圆？

(2)作圆，使它经过已知点4、8.你是如何作的？你能作出几个

这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为

什么？

(3)作圆，使它经过已知点4、B、(%4、B、。三点不在同一条直

线上).你是如何作的？你能作出几个这样的圆？

［师］依据刚刚我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心与半径，

下面请大家互相交换意见并作出解答.

［生］(1)因为作圆本质上是确定圆心与半径，要经过已知点Z作圆,

只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来.所以以点A以外的随

意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个

圆.由于圆心是随意的.因此这样的圆有多数个.如图(1).

(2)已知点4、B都在圆上，它们到圆心的间隔都等于半径.因

此圆心到2、B的间隔相等.依据前面提到过的线段的垂直平分线

的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的间隔相等，

则圆心应在线段AB的垂直平分线上.在AB的垂直平分线上随意取

一点，都能满意到力、B两点的间隔相等，所以在的垂直平分

线上任取一点都可以作为圆心，这点到，的间隔即为半径.圆就确

定下来了.由于线段的垂直平分线上有多数点，因此有多数个圆

心，作出的圆有多数个.如图(2).

(3)要作一个圆经过4B、C三点，就是要确定一个点作为圆心,

使它到三点的间隔相等.因为到4、8两点间隔相等的点的集合是

线段的垂直平分线，到A。两点间隔相等的点的集合是线段

的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满意到4B、。三点

的间隔相等，就是所作圆的圆心.

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出

一个满意条件的圆.

［师］大家的分析很有道理，原委应当怎样找圆心呢？

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

投影片(§3.4C)

作法图示

1.连结40、BC

2.分别作2氏的

垂直

平分线DE与FG,DE

与

户G相交于点O

3.以。为圆心，OA

为半径作圆

。。就是所要求作的圆

他作的圆符合要求吗？与同伴沟通.

［生］符合要求.

因为连结AE,作AB的垂直平分线ED,则ED上随意一点到4

石的间隔相等；连结8G作石。的垂直平分线尸G,则bG上的任

一点到A。的间隔相等.即与产G的满意条件.

［师］由上可知，过已知一点可作多数个圆.过已知两点也可作多

数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个

圆.

不在同始终线上的三个点确定一个圆.

4.有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三

角形的外接圆(circumcircleoftriangle),这个三角形叫这个圆的内

接三角形.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外

(circumcenter).

m.课堂练习

已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外

接圆，它们外心的位置有怎样的特点？

解：如下图.。为外接圆的圆心，即外心.

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边

上，钝角三角形的外心在三角形的外部.

iv.课时小结

本节课所学内容如下：

1.经验不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探究过程.

方法.

3.理解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.

V.课后作业

习题3.6

VI.活动与探究

如下图，8所在的直线垂直平分线段AB.怎样运用这样的工

具找到圆形工件的圆心？

解：因为4、8两点在圆上，所以圆心必与4、石两点的间隔相

等，又因为与一条线段的两个端点间隔相等的点在这条线段的垂直

平分线上，所以圆心在8所在的直线上.因此运用这样的工具可以

作出圆形工件的随意两条直径.它们的交点就是圆心.

板书设计

§3.4确定圆的条件

一、1.回忆及思索（投影片§3.4A）

2.做一做（投影片§3.4B）

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

4.有关定义

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

直线与圆的位置关系

教学目的

（一）教学学问点

1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.

2.理解切线的概念，探究切线与过切点的直径之间的关系.

（二）实力训练要求

1.经验探究直线与圆位置关系的过程，培育学生的探究实力.

2.通过视察得出“圆心到直线的间隔d与半径r的数量关系”

与“直线与圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量

关系的互相转化.

（三）情感与价值观要求

通过探究直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充溢着探究

与创建，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性.

在数学学习活动中获得胜利的体验，熬炼克制困难的意志，建立

自信念.

教学重点

经验探究直线与圆位置关系的过程.

理解直线与圆的三种位置关系.

理解切线的概念以及切线的性质.

教学难点

经验探究直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三

种位置关系.

探究圆的切线的性质.

教学方法

老师指导学生探究法.

教具打算

投影片三张：

第一张：（记作§3.5.1A）

第二张：（记作§3.5.1B）

第三张：（记作§3.5.1C）

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们在前面学过点与圆的位置关系，请大家回忆它们的位置

关系有哪些？

［生］圆是平面上到定点的间隔等于定长的全部点组成的图形.即

圆上的点到圆心的间隔等于半径；圆的内部到圆心的间隔小于半

径；圆的外部到圆心的间隔大于半径.因此点与圆的位置关系有三

种，即点在圆上、点在圆内与点在圆外.也可以把点与圆心的间隔与

半径作比拟，若间隔大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径

在圆内.

［师］本节课我们将类比地学习直线与圆的位置关系.

n.新课讲解

1.复习点到直线的间隔的定义

［生］从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长

度叫做这个点到这条直线的间隔.

如下图，。为直线48外一点，从。向48引垂线，。为垂足，

则线段即为点。到直线力石的间隔.

2.探究直线与圆的三种位置关系

［师］直线与圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大

家留意视察，这样的例子是很多的.如大家请看课本113页，视察

图中的三幅照片，地平线与太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺

的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线与圆有几种位置关系？

［生】把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线与圆有三种位置关

系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线与圆有三种位置关系.

［师］从上面的举例中，大家能否得出结论，直线与圆的位置关系

有几种呢？

［生］有三种位置关系：

［师］直线与圆有三种位置关系，如下图：

它们分别是相交、相切、相离.

当直线与圆相切时（即直线与圆有唯一公共点），这条直线叫做圆

的切线.

当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交.

当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.

因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，

你能总结吗?

［生］当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；

当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；

当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离.

［师］能否依据点与圆的位置关系，点到圆心的间隔d与半径r作

比拟，类似地推导出如何用点到直线的间隔d与半径r之间的关系

来确定三种位置关系呢？

［生］如上图中，圆心。到直线/的间隔为d,圆的半径为r,当

直线与圆相交时，d<r,当直线与圆相切时，d=r,当直线与圆相离

时,d>r,因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系.

［师］由此可知：推断直线与圆的位置关系有两种方法.一种是从

直线与圆的公共点的个数来断定;一种是用d与「的大小关系来断定.

投影片(§3.5.1A)

(1)从公共点的个数来推断：

直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共

点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.

(2)从点到直线的间隔d与半径r的大小关系来推断：

dvr时，直线与圆相交；d=r时，直线与圆相切；时，直

线与圆相离.

投影片(§3.5.1B)

［例1］已知母△26。的斜边A0=8cm,ZC=4cm.

⑴以点。为圆心作圆，当半径为多长时，与。。相切?

⑵以点。为圆心，分别以2cm与4cm的长为半径作两个圆，

这两个圆与分别有怎样的位置关系？

分析：依据d与门间的数量关系可知：d=r时相切；dvr时相

交；时相离.

解：(1)如上图，过点。作月8的垂线段8.

AC=4cm,AB=8cm;.,.cosZ=任^=,，ZA=60°.

AB2

CZ?=^4C^in^4=4sin60°=273(cm).

因此，当半径长为2gcm时，45与。。相切.

⑵由⑴可知，圆心。到的间隔d=26cm,

.♦.当r=2cm时，d>r,。。与40相离；当r=4cm时，d<ry

。。与48相交.

3.议一议(投影片§3.5.1C)

(1)你能举诞生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？

(2)上图⑴中的三个图形是轴对称图形吗？

假如是，你能画出它们的对称轴吗？

(3)如图(2),直线8与。。相切于点力，直径与直线8

有怎样的位置关系？说一说你的理由.

对于(3),小颖与小亮都认为直径40垂直于8.你同意他们的

观点吗？

［师］请大家发表自己的想法.

［生］(1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时

直线与圆相交;

自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直

线与圆相切；

杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，

这时直线与圆相离.

(2)图⑴中的三个图形是轴对称图形.因为沿着d所在的直线折

叠，直线两旁的局部都能完全重合.对称轴是d所在的直线，即过圆

心。且与直线/垂直的直线.

(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直与

斜交，直线8与0。相切于点直径45与直线8垂直，因为

图⑵是轴对称图形，是对称轴，所以沿4石对折图形时，与

力。重合，因此NA4C=N期。=90°.

［师］因为直线8与。。相切于点4,直径48与直线8垂直，

直线8是。。的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径.

这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论.

在图⑵中，AB与8要么垂直，