2018全国卷Ⅲ高考理科数学真题【含答案】

2018全国卷ni高考理科数学真题试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合4={%|%-1》0},B={0,1,2},则4口8=

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.（1+讥2-i）=

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

3.中国古建筑借助樽卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫桦头，凹进部分叫卯眼，图

中木构件右边的小长方体是梯头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长

方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

俯

视

方

>向

4.若sina=L则COS2Q=

3

A.§B.-C.--D

999-4

5

5.x2+-I的展开式中/的系数为

X

A.10B.20C.40D.80

6.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,3两点，点尸在圆+y?=2上，则

AA3P面积的取值范围是

A.[2,6]B.[4,8]C.[0,3回D.[2后，3回

7.函数y=-Y+f+2的图像大致为

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为

该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P（X=4）＜P（X=6）,贝Up=

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

2

/+Z72―c

9.AA3C的内角A,B,C的对边分别为%b,c,若△ABC的面积为,则。=

4

A.-B.-C.-D.-

2346

10.设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点,△AfiC为等边三角形且其面积

为9小，则三棱锥ABC体积的最大值为

A.12A/3B.18豆C.2473D.5473

22

11.设片，工是双曲线C：1-2=1（。＞0,6＞0）的左，右焦点，O是坐标原点.过八

ab

作C的一条渐近线的垂线，垂足为尸.若「用=木|。可，则C的离心率为

A.y/5B.2C.色D.72

12.设a=logo20.3,6=log,0.3,贝。

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<Q

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量0=(1,2),8=(2,-2),c=(l,2).//(2a+b),则；1=.

14.曲线y=(ax+l)e'在点(0,1)处的切线的斜率为-2,贝Ua=.

15.函数/(x)=cos］3x+野在［0,兀］的零点个数为.

16.已知点/(-1,1)和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为％的直线与C交于A,B两

点.若NAMB=90。，贝1」左=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

等比数列｛%｝中，4=1,a5=4%.

(1)求｛4“｝的通项公式；

(2)记S”为｛对｝的前"项和.若S,“=63,求机.

18.(12分)

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的

生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组

20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成

生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数〃？，并将完成生产任务所需时间超

过加和不超过机的工人数填入下面的列联表:

超过加不超过机

第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

-bc)"

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2叫0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)

如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧8所在平面垂直，股是CD上异

于C,。的点.

(1)证明：平面AMD_L平面BMC；

(2)当三棱锥ABC体积最大时，求面与面MCD所成二面角的正弦值.

20.(12分)

22

已知斜率为左的直线/与椭圆G土+工=1交于A,5两点，线段AB的中点为

43

M(l,m)(m>0).

(i)证明：k<-\

2

(2)设尸为C的右焦点，尸为C上一点，且丽+丽+丽=0.证明：|丽|而卜|而］

成等差数列，并求该数列的公差.

21.(12分)

已知函数/(x)=(2+x+ov2)ln(l+x)-2x.

(1)若〃=0,证明：当一IvxvO时，/(x)<0；当无>0时，/(%)>0；

(2)若％=0是“X)的极大值点，求〃.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系尤Oy中，。。的参数方程为卜=cos,为参数)，过点

［y=sin〃

(0,-0)且倾斜角为C的直线/与。。交于A,8两点.

(1)求a的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)

设函数/(x)=|2x+l|+|x-l|.

(1)画出y=〃x)的图像;

(2)当尤—［0,+oo),〃尤)Wax+b,求a+b的最小值.

答案:

123456789101112

CDABCADBCBCB

13.-14.-315.316.2

2

17.（12分）

解：(1)设｛4｝的公比为分由题设得

由已知得/二的二解得q=0(舍去)，4=—2或4=2.

故4=(—2)1或%=2〃一1

(2)若q=(—2)3,则S“=匕y由S„,=63得(―2)加=—188,此方程没有正

整数解.

若a“=2"T,则S"=2"—1.由鼠=63得2"'=64,解得右=6.

综上，m-6.

18.(12分)

解：(1)第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时

间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至

多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5

分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二

种生产方式的效率更高.

(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80

分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种

生产方式的效率更高.

(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的

最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布

在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所

需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第

一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

(2)由茎叶图知/=79+81=80.

2

列联表如下：

超过m不超过加

第一种生产方式155

第二种生产方式515

(3)由于K?=竺空空a2-=10〉6.635,所以有99%的把握认为两种生产方

20x20x20x20

式的效率有差异.

19.(12分)

解：(1)由题设知,平面CW_L平面ABCD,交线为CD.因为BCLCD,BCu平面ABCD,所以

况上平面CMD,故BCLDM.

因为〃为上异于G。的点，且加为直径，所以ZWL以

又BC^\CM=C,所以加_平面BMC.

而DMu平面AMD,故平面4M_L平面BMC.

(2)以2为坐标原点，方日的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系上

xyz.

当三棱锥区716c体积最大时，〃为C。的中点.

由题设得£>(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),M(0,l,l),

AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),ZM=(2,0,0)

设忆=(%,y,z)是平面例8的法向量,则

n•AM=0,f—2x+y+z=0,

<_k即<

n-AB=0.12y=0.

可取/z=(l,0,2).

D4是平面加刀的法向量,因此

cos/„nl\_〃必_6

cob\rfi-..»一，

\/|n||DA|5

sin_DA）=~~~，

2/s

所以面例6与面JO所成二面角的正弦值是二一.

20.（12分）

2222

解：（1）设A（X[,%）,8（%2,丁2），则」=1,——F-2=1.

4343

两式相减，并由上二三=左得

%—%2

i±AA±A.^.

4+3=0

,m，n,X+X1X+%-rH

由题设知」——2^=1,—~2=m,于是

22

k=——.①

4m

31

由题设得0＜根＜—,故左＜——.

22

(2)由题意得歹(1,0)，设「(£,%)，则

（七一L%）+&-L%）+（々一1,%）=（°，°）-

由（1）及题设得退=3-（%+*2）=1,%=一（%+%）=-2根＜0.

33—­3

又点尸在，上，所以〃z=a，从而m—］）,IFPI=-.

于是

IFA1=«x「iy+y：=,—1）2+3（14=2—•

同理|丽1=2—

—•--1

所以|E4|+|FB|=4—Q（XI+X2）=3.

故2|而|=|雨|+|而即|而|,|而|,|而|成等差数列.

设该数列的公差为4则

一%2।=;+々)2-4%]%2•②

21dl=II而i-1西irgix

3

将冽=—代入①得左=—l.

4

71

所以/的方程为y=—%+[,代入。的方程，并整理得7d9—14%+1=().

故%1+%2=2,玉%2=，-，代入②解得|"|=3包.

2828

所以该数列的公差为之叵或-上包.

2828

21.(12分)

X

解：⑴当a=0时,/(x)=(2+x)ln(l+x)-2x,f\x)=ln(l+x)-----.

1+x

xX

设函数g(x)=f'(x)=ln(l+x)———，贝！1g'(x)=~.

1+x(1+x)

当一1<尤<0时，g'(x)<0；当无>0时，g'(x)>0.故当x>-L时,g(x)»g(0)=0,

且仅当尤=0时，g(x)=0,从而/'(x)20,且仅当无=0时，f'(x)=Q.

所以/(x)在(—1,+oo)单调递增.

又y(0)=0,故当一1<X<O时，f(x)<0；当x>0时，/(x)>0.

(2)(i)若aNO,由(1)知，当尤>0时,/(%)>(2+x)ln(l+x)-2x>0=/(0),

这与％=0是/(x)的极大值点矛盾.

(ii)若。<0,设函数/z(x)=八),=ln(l+%)----------

2+x+ax2+x+ax

由于当|x|<min{l,J,}时，2+x+ax2>0,故/z(x)与/(x)符号相同.

\1«1

又/z(0)=/(0)=0,故％=0是/(x)的极大值点当且仅当x=0是A(x)的极大值点.

如果6a+l>0,则当0<x<-竺担,且|x|<min{l，4p-M，h'(x)>0,故x=0

4〃vl«l

不是以%）的极大值点.

如果6a+lv0,则。2%2+4依+6〃+1=0存在根不＜0,故当x£（%i，O）,且

|x|<min{l,/—}Bt,hr(x)<0,所以％=。不是/z(%)的极大值点.

r3fr-24)

如果6a+l=0,则1(％)=---------------y.则当xw(—1,0)时，/i\x)>0；当

(x+l)(x—6x—12)

%£（0,1）时，"（x）＜0.所以％=0是%（尤）的极大值点，从而％=0是/（%）的极大值

点

综上，u~—.

6

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）

（1）。0的直角坐标方程为一+丁2=1.

7T

当。=—时，/与O。交于两点.

2

当aw