同济大学-高等数学微积分教案

第一章：函数与极限

1.1初等函数图象及性质

l.lo1累函数

函数(m是常数)叫做塞函数。幕函数的定义域，要看m是什么数而定。例如，当m

=3时，y=x3的定义域是(一8,+8)；当m=1/2时,y=xl/2的定义域是LO,+°°)；当m=—1/2

时,y=x—1/2的定义域是(0,+8).但不论m取什么值，幕函数在(0,+8)内总有定义.最常

见的幕函数图象如下图所示：［如图］］二。2指数函数与对数函数

1.指数函数

函数y=ax(a是常数且a>O,axl)叫做指数函数，它的定义域是区间(-8,+8).

因为对于任何实数值x,总有ax〉0,又aO=l,所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通

过点(0,1).

若a〉1,指数函数ax是单调增加的。若0<a<1,指数函数ax是单调减少的。

由于y=(1/a)—x=a—x,所以y=ax的图形与y=(l/a)x的图形是关于y轴对称的(图

［如图］2.对数函数

指数函数y=ax的反函数，记作y=logax(a是常数且a>0,aHl),叫做对数函数.

它的定义域是区间(0,+8).对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y=x对称(图1-22)o

y=logax的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)0

若a〉1,对数函数logax是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+8)内函

数值为正。

若0<a<L对数函数logax是单调减少的，在开区间(0,1)内函数值为正，而在区间(1,+8)

内函数值为负。［如图］1.1。3三角函数与反三角函数

1.三角函数

正弦函数和余弦函数都是以2n为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(一8,+8),值域

都是必区间［-1,1］。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正切函数和余切函数都是以n为周期的周期函数，它们都是奇函数.

2.反三角函数

反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一

般规则作出。

这四个反三角函数都是多值函数.但是，我们可以选取这些函数的单值支。

例如，把Arcsinx的值限制在闭区间［-,］上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinx。

这样，函数v=arcsinx就是定义在闭区间11,1］上的单值函数，且有。

1.2数列极限的概念

设｛｝是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的，总存在一个正整数N,当n)N时都有,

我们就称a是数列｛｝的极限，或者称数列｛)收敛，且收敛于a,记为，a即为的极限。

数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全部落

在这个区间内。

1,3函数极限的概念

设函数f(x)在点附近(但可能除掉点本身)有定义，设A为一个定数，如果对任意各定，

一定存在，使得当时，总有，我们就称A是函数f(x)在点的极限，记作，这时称f(x)在点极

限存在，这里我们不要求f(x)在点有定义，所以才有。例如：，当x=l时，函数是没有定

义的，但在x=l点函数的极限存在，为2。

1.4单调有界数列必有极限

单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下：如果数列满足条

件，就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的.

在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这

个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。

对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能

情形：或者无限趋近某一定点;或者沿数轴移向无穷远(因为不趋向于任何定点且递增，已符

合趋向无穷的定义).但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必

有极限。

从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列，易证它是单调增加且有界(小于3),

故可知这个数列极限存在，通常用字母e来表示它，即。可以证明，当x取实数而趋于或

时，函数的极限存在且都等于e,这个e是无理数，它的值是e=2o718281828459045...

1.5柯西(Cauchy)极限存在准则

我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的,因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收

敛的充分条件，而不是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的.下面叙述的柯西极限存

在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件。柯西(Cauchy)极限存在准则数列收敛的充分必

要条件是：

对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N,使得当m〉N,n)N时，就有。

必要性的证明设，若任意给定正数，则也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数

N,当n>N时，有；同样，当m〉N时，也有.

因此，当m〉N,n>N时，有

所以条件是必要的。充分性的证明从略。

这准则的几何意义表示，数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数，在数轴上一切具

有足够大号码的点，任意两点间的距离小于。柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理.

lo6连续函数

1.6o1定义：若函数f(x)在xO点的附近包括xO点本身有定义，并且，

则称f(x)在xO点连续,x0为f(x)的连续点。［如图］1.6.2充要条件:f(x)在xO点既是左连

续又是右连续.

初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数。

lo6。3三类不连续点：

(1)第一类不连续点:f(xO+O)/(xO-O)存在但不相等.遢图二(2)第二类不连续点：f(xO+O),

f(xO—0)中至少有一个不存在。［如图］(3)第三类不连续点由x0+0),f(xO—0)存在且相

等,但它不等于f(xO)或f(x)在xO点无定义。［如图］1.7一致连续性的概念及它与连续

的不同

lo7.1定义:对，可找到只与有关而与x无关的，使得对区间内任意两点xl,x2,当时总有，

就称f(x)在区间内一致连续。

1.7o2与连续的比较：

(1)连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象.

(2)连续函数对于某一点xO,取决于xO和，而一致连续函数的只取决于，与x值无关。

(3)一致连续的函数必定连续。［例：函数y=1/x,当艰(0,1)时非一致连续，当烟(C,1)

时一致连续］

(4)康托定理：闭区间［a,b］上的连续函数f(x)一定在［a,b］上一致连续。

第二章:导数与微分

微分学是微积分的重要组成部分,他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化

快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少.

2«1导数的概念

2.1o1导数的定义:设函数y=f（x）在点xO的某个邻域内有定义，当自变量x在xO处取得增

量x（点xO+x仍在该领域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则

称函数在处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，

即，也可记作.

导数的定义式也可取不同的形式，常见的有和

导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述.

2,1o2求导举例

例求函数（n为正整数）在处的导数

解

把以上结果中的换成得，即

更一般地，对于幕函数（为常数），有这就是幕函数的导数公式。

例求函数的导数

解即这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。用类似的方法，可求得

就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数.

例求函数的导数.

解=

即这就是指数函数的导数公式，特殊地,当时，因，故有

例求函数的导数。

解

=作代换即得

这就是对数函数的导数公式，特殊地，当时，由上式得自然对数函数的导数公式：

2.1o3导数的几何意义

由导数的定义可知：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即，其中是切

线的倾角。如下图：

例求等边双曲线y=l/x,在点(1/2,2)处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方

程。

解根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为

由于，于是从而所求切线方程为即4x+y—4=0.

所求法线的斜率为k2-l/kl=l/4,于是所求法线方程为2x-8y+15=0.

2。2微分的概念

2。2。1微分的定义设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果函数的增量

可表示为

其中A是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小,那末称函数在点是可微的，

而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即

例求函数y=x2在x=l和x=3处的微分.

解函数在处的微分为在处的微分为

函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作或，即

例如，函数的微分为函数的微分为

通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作dx,即.于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=「

(x)dx,从而有x=3就是说，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.因

此，导数也叫做"微商”。

2。2.2微分的几何意义

设国y是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量，dy是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量，

当国取回很小时，EHy-dy回比回取回小得多，因此在M点的邻近，我们可以用切线段来近似代

替曲线段。

第三章：中值定理与导数的应用

上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引出了导数的概念，并

讨论了导数的计算方法.本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用

这些知识解决一些实际问题。我们将介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基

础

3«1三个中值定理

3.1.1罗尔定理

罗尔定理如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区

间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点，使得函数f(x)

在该点的导数等于零：.

3.1o2拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在

(a,b)内至少有一点

，使等式(1)成立。

3。1。3柯西中值定理

柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可

导，且尸(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点，使等式(2)成

立.

3.2洛必达法则

321.洛必达法则的概念。

定义：求待定型的方法(与此同时)淀理：若f(x)与g(x)在(a,a+)上有定义，且f(x)

=g(x)=0；

并且f1(x)与g'(x)在(a,a+)上存在。0且=人则==人，(A可以是)。

证明思路：补充定义x=a处f(x)=g(x)=0,则［a,a+)上==

即x时,x,于是=

3。2。2定理推广:由证明过程显然定理条件x可推广到x,x,X。所以对于待定型，

可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。

注意事项:1.对于同一算式的计算中，定理可以重复多次使用。2。当算式中出现Sin或Cos

形式时，应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中f'(x)与g，(x)的存在性。向其他待定型的

推广。(下转化过程中描述引用的仅为记号。)

1.可化为=，事实上可直接套用定理。

2o0=03o-=一,通分以后=。

4。、、取对数OLnO、Lnl、OLnO、0、0.

3。3泰勒公式及其误差图示来源：实践，常用导数进行近似运算.

由于时所以，因此

范围:在直接求f(x)困难，而在x附近x0处f(x0)与f'(xO)较易时应用。条件是x与x0充

分接近，可达到一定的精度.

利用当为不同函数时。有常用近似公式如下:(|x|很小时)

Sinxx,tgxx,,,,Ln(1+x)x.

泰勒公式来源:上述公式在IxI很小时，于是即,pl=f(0)+f，(0)x与f(x)在x=0处函数值相等,

且一阶导数相等.为进一步提高精度欲使与

在二阶导数处也相等。于是，，。

得依此类推：

对于误差，有定理：在x=0处有n+1阶连续导数，则上式误差(在x与0之间)

由定理：此式为在x=0处的关于x的泰勒展开公式.即：

公式推广:一般地在x=X0附近关于X0点的泰勒公式

注意:虽然泰勒公式是在x="附近"展开，但是事实上x可以取f(x)定义域内任意值，只不

过若|x-|过大(即x离过远)时，相应变大。即使用代替f(x)的误差变大。可是，无论如何

泰勒公式总是成立的，当固定后，不同的x将使发生变化，并使变化，从而影响对f(x)的近

似精度。

3.4函数图形描绘示例

定理：若f(x)在［a,b］上连续，(a,b)可导.则f(x)在［a,b］单调上升(或单调下降)

的充分必要条件为(a,b)内

(或),推论:若f(x)在［a,b］连续，(a,b)可导，且不变号，则(或(0)严格单调上升(下

降)。

定理(极值的必要条件)：若x0为f(x)的极值点，那么x0只可能是f(x)的零点或f(x)

的不可导点。

定理(极值判别法)：则,f()为极大值，，f()为极小值

若不存在，但f(x)在与上可导

则若内，内则为极小点,反之为极大点

定义:若曲线在一点的一边为上凸，另一边为下凸，则称此点为拐点，显然拐点处

定义：若则称ax+b为f(x)的一条渐进线.

定义：若则称x=c为f(x)的一条垂直渐进线。

定理:若f(x)的一条渐进线为ax+b贝lj,

证明：由定义知即

所以即带回定义得

函数图象描述的基本步骤：

1.确定y=f(x)的定义域并讨论函数的基本性质，如奇偶性，对称性\周期性等.

2。求出与及与不存在的各点。

3。由2的结果函数的上升，下降区间，及图形的上凸，下凸区间以及各极值点.

4。定出函数的渐近线。5.描点作用。

3,5曲率的概念及计算公式

3.5.1概念：来源：为了平衡曲线的弯曲程度。

平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的

角度，13s为AB弧长。

例：对于圆，。所以：圆周的曲率为1/R,是常数。而直线上，所以，即直线“不弯曲”。

对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义，为了方便使用，一

般令曲率为正数，即：.

3.5。2计算公式的推导：

由于,所以要推导与ds的表示法,ds称为曲线弧长的微分(T5—28,P218)

因为，所以。令,同时用代替得

所以或

具体表示;

1、时，2、时，

3、时,(令)

再推导，因为,所以，两边对x求导，得，推出.

下面将与ds代入公式中:，即为曲率的计算公式。

3o5。3曲率半径：一般称为曲线在某一点的曲率半径。

几何意义(T5-29)如图为在该点做曲线的法线(在凹的一侧),在法线上取圆心，以p为半径

做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。

应用举例:求上任一点的曲率及曲率半径(T5-30)

解：由于:所以:，

3。6方程的近似解法

3.6.1应用前提：

方程f(x)=O,则f(x)应满足：(l)f(x)在［a,b］连续，f(a)与f(b)不同号。

(2)在(a,b)内连续且不变号。(3)在(a,b)内连续且不变号。

3.6.2应用步骤：

首先：判断方程是否满足应用前提，先对端点a,b求f(a)、f(b),取与fn(x)同号的一

点为起点。

过起点做f(X)的切线，交X轴与.然后:过(,)做的切线，交X轴与.

以次类推,直到满足精度要求。

3o6o3应用举例：

求：在［1,2］内的根，误差

解：令，有：

所以可应用上述方法，求得：

由于，所以误差范围内的近似解为

3。6.4两点说明：

1.前提条件的作用:第一个条件显然是为了保证区间上解的存在性。

第二、第三个条件是为了保证各步迭代后，得到的交点仍落在区间上的

2.迭代公式:设第n步后的交点为，所以下一步过(,)做f(x)的切线，写出其方程就是：，它

与X轴交点为，这就是迭代公式。

第四章：不定积分

在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论他的反问题，即要求一

个导函数的原函数，也就是求一个可导函数，使他的导函数等于已知函数.这是积分学的基本

问题之一

4。1不定积分的概念与性质

4。lo1原函数与不定积分的概念

定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xEII,都有F,(x)=f(x)或dF(x)

=f(x)dx,那末函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.

例如，因(sinx)'=cosx,,故sinx是cosx的原函数。

那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢?简单的说就是，连续的函数一

定有原函数.

下面还要说明两点。

第一，如果有，那么，对任意常数C,显然也有，即如果是的原函数，那F(x)+C也是f(x)的原

函数。

第二，当C为任意常数时，表达式F(x)+C,就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是

说,f(x)的全体原函数所组成的集合，就是函数族.由以上两点说明，我们引入如下定义。

定义2在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为(或)在区间上的不定积分，记作.其

中记号称为积分号,称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。

由此定义及前面的说明可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是

f(x)的不定积分，

即。因而不定积分可以表示的任意一个原函数.

例1求。解由于=,所以是的一个原函数。因此。

例2求。

解当时，由于=,所以是在内的一个原函数。因此,在内，当时，由于==,由上同理，在内，

将结果合并起来，可写作

4.1.2不定积分的性质

根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质：

性质1函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即.

性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面来，即（k是常数，

Q0）.

例3求.解===

注意检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数,相等时结果是

正确的，否是错误的。

4.2两类换元法及举例

利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的。因此，有必要进一步来

研究不定积分的求法。

把复合函数的微分法反过来求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称

为换元积分法，简换元法.

换元法通常分成两类.

4。2.1第一类换元法

定理1设f（U）具有原函数，U=巾（X）可导，则有换元公式

例1求J2cos2xdx。

解作变换u=2x,便有J2cos2xdx=Jcos2x-2dx=Jcos2x-（2x）'dx=Jcosudu=sinu+C,

再以u=2x代入，即得J2cos2xdx=sin2x+C。

例2求Jtanxdxo

解Jtanxdx=Jsinx/cosxdx.因为一sinxdx=dcosx,所以如果设u=cosx,那么du=—sinxdx,即

—du=sinxdx,

因此.

类似地可得Jcotxdx=lnIsinx|+C。在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u。

例3求Jch(x/a)dxo解.

例4求Ca>0)o解.

下面求积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数，在计算这种积分的过程中，往往要用

到一些三角恒等式。

例5求Jsin3xdx.解Jsin3xdx=Jsin2xsinxdx=—J(l-cos2x)d(cosx)=—fd(cosx)

+J'cos2xd(cosx)=—cosx+(1/3)cos3x+C。

例6求Jcos2xdxo

解.

类似地可得Jsin2xdx=x/2—(sin2x)/4+C。

利用定理1来求不定积分，一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难，因

为其中需要一定的技巧，而且如何适当的选择变量代换u=6(X)没有一般途径可循，因此要

掌握换元法，除熟悉一些典型的例子，需多练习.

4。2.2第二类换元法

定理2设x=。(x)是单调的、可导的函数，并且V(x)血。又设f(t)］VG)具

有原函数，则有换元公式

,其中(X)是x=lp(t)的反函数.

例7求(a>0)

解求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=l来化去根式.

设x=asint,—兀/2<t<n/2,那么，于是根式化为了三角式，所求积分化为。

利用例6的结果得.

由于x=asint,一兀/2(t<n/2,所以，

于是所求积分为。具体解题时要分析具体情况，选简捷的代换。

第五章：定积分

本章将讨论积分学的另一个基本问题一定积分问题。我们先从几何与力学问题出发引进定

积分的概念,再讨论他的性质和计算方法，关于定积分的应用，将在下一章讨论。

5。1定积分概念

定义设函数f(x)在［a,b］上有界，在［a,b］中任意插入若干个分点,

把区间［a,b］分成n个小区间，设有常数I,如果对于任意给定的正数e,总存在一个正数d,

使得对于区间［a,b］的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区

间［a,b］上的定积分，记作。

接下来的问题是：函数f(x)在［a,b］上满足怎样的条件，f(x)在［a,b］上一定可积？以下

给出两个充分条件.

定理1设f(x)在区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上可积.

定理2设f(x)在区间［a,b］上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在［a,b］上可积。

对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则

在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x

=b之间的各部分面积的代数和。

5。2牛顿一莱步尼兹公式及实例

定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间［a,b］上的一个原函数，则。(1)

证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数(第四章第一节)，

即。⑵在上式中令x=a，得。又由F(x)的定义式及上节定积分的补充规定知F(a)=0,

因此,C=F(a)o以F(a)代入(2)式中的C,

以代入(2)式中的F(x),可得，在上式中令x=b，就得到所要证明的公式(1).n

由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立.为方便起见，以后把F(b)-F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)—莱步尼兹(Leibniz)公式,给定积分提供了一种简便的计算方

法，也称为微积分基本公式.

例1计算定积分。解。

例2计算。解。

例3计算.解。

例4计算正弦曲线y=sinx在［0,p］上与x轴所围成的平面图形的面积。解。

例5求解易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。

因此.

5。3定积分的近似计算

在应用问题中常遇到要求定积分的数值，但f(X)的原函数根本不能普通的初等函数表示出

来.例如等，所以提出了积分的近似计算问题.

定积分近似计算公式的原理:求定积分就是求面积，近似计算公式是对面积的近似求法。此

处介绍抛物线法

原理:实质上是用抛物线逼近曲线段，如图由此可推出

o此公式称为辛卜生公式。

近似计算方法很多，但实质上多是曲线逼近(见数值分析).

5.4广义积分的概念

5.4.1无穷限的广义积分

定义1设函数f(x)在区间［a,+¥)上连续，取b〉a,若极限存在，则称此极限为函数f

(x)在无穷区间［a,+¥)上的广义积分，记作，即.(1)

这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在,称为广义积分发散。

类似地，若极限存在，则称广义积分收敛.

设函数f(x)在区间卜¥,+¥)上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)

在无穷区间(一¥,+¥)上的广义积分，记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。

上述广义积分统称为无穷限的广义积分。

例1证明广义积分(a>0)当p>l时收敛，当p£1时发散。

证当p=1时，，当p1时，

因此，当p〉1时，这广义积分收敛，其值为;当p£1时，这广义积分发散.

5。4。2无界函数的广义积分

现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

定义2设函数f(x)在(a,b］上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限存在，则

称此极限为函数f(x)在(a,b］上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛.

类似地，设函数f(x)在［a,b］上除点c(a(c<b)外连续，而在点c的领域内无界，如果

两个广义积分与都收敛，则定义；(2)

否则,就称广义积分发散。

例2证明广义积分当q〈1时收敛，当傥1时发散。

证当q=1时，，

当q*l时，

因止匕，当q〈1时，这广义积分收敛，其值为(b—a)l-q/(1-q)；当*1时，这广义积分

发散.

第七章：空间解析几何与向量微分

在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方

程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立

起来的。

7。1几种常见曲线：

7。2曲面方程

7o2o1曲面方程的概念及一般方程如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0(1),有下

述关系：

1.曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)；不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),

那末，方程⑴就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。

7o2.2平面方程的几种形式

一般形式:Ax+By+Cy+D=0,其中｛A,B,C｝是平面法向，A2+B2+C2H0。

点法式方程：.截距式方程：。

三点式方程：已知平面过空间三点，，，则平面方程为

1.几种特殊的曲面方程

1.旋转曲面方程设平面曲线I：绕z轴旋转，则旋转曲线方程为

2.柱面方程母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程用口F(y,z)=0就表示母线

平行与x轴，准线为的柱面。二次曲面方程(见第七章知识点3)

7.3空间曲线

7o3。1空间曲线一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线。设F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是两个曲面的方

程，它们的交线为C［如图因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程,

所以应满足方程组(1)

反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足

方程组(1)。因此，曲线C可以用方程组(1)来表示。方程组(1)叫做空间曲线C的一般

方程.

1.为空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程为t为参数。

1.方程组表示怎样的曲线？

方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，其准线是xOy面上的圆，圆心在原点0,

半径为lo方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面，由于它的准线是zOx面上

的直线，因此它是一个平面。方程组就表示上述平面与圆柱面的交线，［如图

2.方程组表示怎样的曲线？

方程组中第一个方程表示球心在坐标原点0,半径为a的上半球面.第二个方程表示母线平

行于z轴的圆柱面，它的准线是xOy面上的圆，这圆的圆心在点(a/2,0)，半径为a/2。方

程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.

7。3o2空间曲线在坐标上的投影

设空间曲线C的一般方程为由上述方程组消去变量z,x,y后所得的方程分别为：

H(x,y)=0R(y,z)=0T(x,z)=O,表示曲线C在xOy面上的投影，

表示曲线C在yOz面上的投影，表示曲线C在xOz面上的投影。

例已知两球面的方程为(a)和(b)

求它们的交线C在xOy面上的投影方程.

解先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程。因此要由方程(a),(b)消去z,为此

可先从(a)式减去(b)式并化简，得到y+z=l,再以z=l-y代入方程(a)或(b)即得所求

的柱面方程为x2+2y2-2y=0

易看出，这是交线C关于xOy面的投影柱面方程，于是两球面的交线在xOy面上的投影方

程是注:在重积分和曲线积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这

时要利用投影柱面和投影曲线.

7„4二次曲面

我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.为了了解三元方程F(x,y,z)=O所表

示得的曲面的形状，我们通常采用截痕法.即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，

考察其交线(即截痕)的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考

察下面的二次曲面。

7.4.1椭球面方程所表示的曲面叫做椭球面，［截痕法演示］.

7.4o2抛物面方程(p和q同号)所表示的曲面叫做抛物面，［截痕法演示］。

7o4o3双曲抛物面方程(p和q同号)所表示的曲面叫做双曲抛物面，［截痕法演示

7。4o4双曲面方程所表示的曲面叫做单叶双曲面，［截痕法演示］。

方程所表示的曲面叫做双叶双曲面，［截痕法演示］.

第八章：多元函数微分

在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于几个变

量的情形，这就提出了多元函数微分和积分的问题，本章将在一元微分的基础上，讨论二元

及二元以上的多元函数的微分.

8.1多元函数的极限与连续性

8.1.1定义设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,PO(xO,yO)是D的内点或

边界点。如果对于任意给定的正数£,总存在正数6,使得对于适合不等式的一切点P(x,y)回D,

都有If(x,y)-AI〈£成立，则称常数A为函数f(x,y)当xfxO,y玲yO时的极限,记作

或f(x,y)-A(p玲0),这里p=|PPOI.

例设(x2+y2K0),求证。

因为，可见，对任何£〉0,取，

则当时，总有成立，所以.

我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P(x,y)以任何方式趋于PO(xO,yO)时，函数都无限

接近于A.

定义设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义，PO(xO,yO)是D的内点或边界点且

PO0D„

如果则称函数f(x,y)在点PO(x0,yO)连续.

8。1。2性质

性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和

最大值。

性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值,

则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或

闭区域。

由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限,而该点又在此函数的定义区域内,

则极限值就是函数在该点的函数值，即.

8。2偏导数的定义及计算法

8o2。1定义设函数z=f(x,y)在点(xO,yO)的某一邻域内有定义，当y固定在yO而x在

xO处有增量Ax时湘应的函数有增量f(xO+Ax,yO)—f(xO,yO),如果存在，则称此极限为

函数z=f(x,y)在点(xO,yO)处对x的偏导数，记作或fx(xO,yO)o

对于函数z=f(x,y),求时,只要把y暂时看作常量而对y求导。

例求z=x2sin2y的偏导数.解。

8。2o2高阶偏导数定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那末在

该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

8。3多元复合函数求导法则及实例

定理如果函数u=6(t)及。(t)都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏

导数，则复合函数z=f［巾(t)(t)］在点t可导，且其导数可用下列公式计算：.

例设z=eusinv,而u=xy,v=x+y.求。

解

8。4隐函数的求导公式

8.4.1一个方程的情形

隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(xO,yO)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(xO,yO)=O,

Fy(xO,yO)■0,则方程F(x,y)=0在点(xO,yO)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连

续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件yO=f(xO),并有.上面公式就是隐函数的求导

公式。

隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(xO,yO,zO)的某一邻域内具有连续的偏导数，且

F(xO,yO,zO)=0,Fz(xO,yO,zO)30,则方程F(x,y,z)=0在点(xO,yO,zO)的某一邻域

内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数Z=f(x,y),它满足条件zO=f(xO,yO),

并有。

例设x2+y2+z2—4z=0,求，

解设F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,则Fx=2x,Fz=2z—4。应同上面公式，得。

再一次对X求偏导数，得.

二、方程组的情形

隐函数存在定理3设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(xO,yO,uO,vO)的某一邻域内

具有对各个变量的连续偏导数，又F(xO,yO,uO,vO)=O,G(xO,yO,uO,vO)=0,且偏导

数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式)：

在点P(xO,y0,uO,vO)不等于零，则方程组Hx,y,u,v)=O,G(x,y,u,v)=0在点(xO,yO,uO,

vO)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续导数的函数口=u(x,y),v=v

(x,y),

它们满足条件uO=u(xO,yO),vO=v(x0,yO),并有

8。5微分法在几何上的应用

8.5.1空间曲线的切线与法平面

设空间曲线「的参数方称为x=4>(t),y=ip(t),z=3(t),这里假定上式的三个函数都可导.］>

图1］在曲线「上取对应于t=tO的一点M(x0,yO,z0)。根据解析几何，可得曲线在点M处

的切线方程为

切线的方向向量称为曲线的切向量。向量T=｛巾'(t0)(t0),3,(t0)｝就是曲线「在点M

处的一个切向量。

通过点而与切线垂直的平面称为曲线「在点M处的法平面，它是通过点M(x0,yO,z0)而

以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为4),(tO)(x-xO)+ip,(tO)(y-yO)+w'(tO)(z-zO)

=0o

8。5o2曲面的切平面与法线［插图2］设曲面Z由方程F(x,y,z)=0给出,M(x0,yO,

z0)是曲面2上的一点，并设函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零。则根据

解析几何，可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。这个平面称

为曲面2在点M的切平面.这切平面的方程是

Fx(x0,yO,z0)(x-xO)+Fy(xO,yO,zO)(y-yO)+Fz(xO,yO,zO)(z-zO)=0

通过点M(xO,yO,zO)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.

法线方程是x=3垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.

向量n=｛Fx(x0,yO,zO),Fy(xO,yO,zO),Fz(xO,yO,zO)｝就是曲面Z在点M

处的一个法向量.

8。6多元函数极值的求法

8。6o1多元函数的极值

二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决.

定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(xO,yO)具有偏导数，且在点(xO,yO)处有极

值，

则它在该点的偏导数必然为零:fx(xO,yO)=0,fy(xO,yO)=0.

定理2(充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,yO)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,

又fx(xO,yO)=0,

fy(xO,yO)=0,令fxx(xO,yO)=A,fxy(xO,yO)=B,fyy(xO,yO)=C,则f(x,y)在

(x0,yO)处是否取得极值的条件如下：

(1)AC-B2>0时具有极值，且当A〈0时有极大值，当A>0时有极小值；

(2)AC-B2<0时没有极值；(3)AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨

论.

利用定理1、2,我们把具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值的求法叙述如下：

第一步解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求得一切实数解，即可求得一切驻点。

第二步对于每一个驻点(x0,yO),求出二阶偏导数的值A、B和C。

第三步定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(xO,yO)是否是极值、是极大值还是极

小值。

8。6.2条件极值拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法要找函数z=f(x,y)在附加条件巾(x,y)=0下的可能极值点，可以先构成

辅助函数F(x,y)=f(x,y)+人力(x,y),其中人为某一常数。求其对x与y的一阶偏导数,

并使之为零，然后与方程小(x,y)=0联立起来：

有这方程组解出x,y及入，则其中x,y就是函数f(x,y)在附加条件0(x,y)=0下的可

能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.

至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

第九章:重积分

本章和下一章是多元函数积分的内容。在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和的

极限.这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线、曲面上的多元函数的情形，得到重积

分、曲线积分、曲面积分的概念。

9.1二重积分的概念与性质

9。lo1二重积分的概念

为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在点(x,y)处的面密度为p(x,y),这里p

(x,y)〉0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量M。

由于面密度p(x,y)是变量，薄片的质量不能直接用密度公式(M=pS)来计算。但p(x,y)

是连续的，利用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域Dsi的直

径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片.在Dsi(这小闭区域的面积也记作Dsi)上任

取一点(xi,hi)，则p(xi,hi)Dsi(i=l,2,可看作第i个小块的质量的近似值[插图

l]o通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值(记作人)趋于零，取和的极限，便自然地

得出薄片的质量M,即。

再设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平

行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，这里f仅，y)20且在D上连续。这种立体叫

做曲顶柱体.

现在要计算上述曲顶柱体的体积V.

由于曲顶柱体的高f(x,y)是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算.但仍可采用上面的

思想方法，用一组曲线网把D分成n个小闭区域Ds1,Ds2,...,Dsn,在每个Dsi上任取一

点(xi,hi),则f(xi,hi)Dsi(i=l,2,n)可看作以f(xi,h看为高而底为Dsi的平顶柱体

的体积[插图2].

通过求和，取极限，便得出。

上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何

量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二

重积分的定义。

定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域Ds1,Ds

2,Dsn,

其中Dsi表示第i个小闭区域，也表示它的面积.在每个Dsi上任取一点(xi,hi),作乘积f

(xi,hi)Dsi(i=l,2,n,),并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值I趋

于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作，

即。

其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)ds叫做被积表达式,ds叫做面积元素，x与y叫做积分

变量,D叫做积分区域，叫做积分和。

在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的

直线网来划分D,那末除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域。

设矩形闭区域Dsi的边长为Dxj和Dyk,则Ds=Dxj-Dyk。因此在直角坐标系中，有时也把

面积元素ds记作dxdy,而把二重积分记作

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.这里我们要指出，当f(x,y)在闭区域D上连续时，

(*)式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在。

9.1o2二重积分的性质

二重积分与定积分有类似的性质：

性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即(k为常数)。

性质2函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差).

例如。

性质3如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部

分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与D2,贝%

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

性质4如果在D上,f(x,y)=l,s为D的面积，则.

此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底

面积。

性质5如果在D上,f(x,y)<j(x,y),则有不等式。特殊地，由于

—If(x,y)|<f(x,y)<|f(x,y)I,又有不等式。

性质6设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，s是D的面积，

则有。上述不等式是对二重积分估值的不等式。

性质7(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,s是D的面积，则在D

上至少存在一点(x,h)使得下式成立：.

9.2二重积分的计算法(直角坐标，极坐标)

按照二重积分的定义来计算二重积分，对特别简单的被积函数和积分区域来说可行，但对一

般的函数和积分区域来说,这不是一种切实可行的方法.这里介绍一种方法，把二重积分化为

两次单积分(即两次定积分)来计算。

9.2o1利用直角坐标计算二重积分下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。

在讨论中我们假定f(x,y)20。并设积分区域D可以用不等式jl(x)<y<j2(x),a<x<b

来表示［插图11，其中函数jl(x)、j2(x)在区间［a,b］上连续。

我们应用"平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。

为计算截面面积，在区间［a,b］上任意取定一点xO,作平行于yOz面的平面x=xO。这平

面截曲顶柱体所得截面是一个以区间［jl(xO),j2(xO)］为底、曲线z=f(xO,y)为

曲边的曲边梯形(［插图2］中阴影部分),所以这截面的面积为。

一般的，过区间［a,b］上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为，

于是，得曲顶柱体的体积为.

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式。(1)

上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看

作y的函数，并对y计算从jl(x)到j2(x)的定积分;然后把算得的结果(是x的函数)再对

x计算在区间［a,b］上的定积分.这个先对y、后对x的二次积分也常记作.

因此，等式(1)也写成，(1')

在上述讨论中，我们假定f(x,y)>0,但实际上公式(1)的成立并不受此条件限制.

类似地，如果积分区域D可以用不等式。1(y)VxVip2(y),cVyWd

来表示『插图3］,其中函数。1(y)、。2(y)在区间［c,d］上连续，那末就有。

上式右端的积分叫做先对X、后对y的二次积分，这个积分也常记作。

因此，等式(2)也写成，(29

这就是把二重积分化为先对X、后对y的二次积分的公式。

我们称图9-2-1所示的积分区域为X—型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y—型区域。对

不同的区域，可以应用不同的公式.如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y—型的，我们可

以把D分成几个部分,使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X—型的，

又是Y—型的，则由公式(1。及(2。就得

上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分。

二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确

定的.

例1计算，其中D是由直线y=l、x=2及y=x所围成的闭区域。

解法1首先画出积分区域D［插图4］。D是X—型的，D上的点的横坐标的变动范围是区

间［1.2］o

在区间［1,2］上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上,这段直

线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y=l变到y=x。利用公式(1)得

解法2把积分区域D看成是Y—型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的

相一致.

对于