排列组合中的分组问题

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单位：新沂市高级中学姓名：宋小林

排列组合的内容紧密联系实际，知识背景丰富，题型丰富多样。在高考中常用现实社会热点问题为载体进行考查，常考常新。而分组问题是排列组合中的重点也是难点。是很多同学看起来简约而处理问题时又很简单出错的一类题，下面我就排列组合中的分组问题，结合我个人在教学中的体会和做法，谈一些自己的看法。

解：〔1〕平均分组问题，且与顺次无关222C6C4C2222分组数为。15〔种〕而此题很多同学会写成C6C4C290〔种〕3A3

事实上，上述问题重复了6次。为了方便期间，我们不妨把6本不同的书标上序号1、2、3、4、5、6，下面我们来看以下的分组：

〔1，2〕〔3，4〕〔5，6〕，〔1，2〕〔5，6〕〔3，4〕

〔5，6〕〔1，2〕〔3，4〕，〔5，6〕〔3，4〕〔1，2〕

〔3，4〕〔1，2〕〔5，6〕，〔3，4〕〔5，6〕〔1，2〕

由于我们是匀称分组且是无序的故上述6种分法只能算作一种，所以重复了6次。

〔2〕部分平均分组，且与顺次无关411C6C2C1分组数为。与问题〔1〕类似由于有两个组是1本，中间出15〔种〕2A2

现重复。

总结2：一般地n个不同元素平均成m组，且与顺次无关，共有

n3nnn1n2CnCnn1Cnn1n2Cnm

mAm种分法。其中(n1n2n3nmn,mnN)m

3、不匀称分组有序

例3.有六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本，共有多少种不同分法？

解：此题属于不平均分组，且有顺次问题。其实质问题是先分组，再排列。

321故可将六本不同的书分成三组有C6C3C3360〔种〕

总结3：一般地，将n个不同元素非平均地分成m组且与顺次有关，共有：

n3n1n2mm1CnCnn1Cnn1n2CnmAm种分法n

其中(n1n2n3nmn且n1n2n3nm)

4、平均分组有序

例4.有6本不同的书，按以下要求安排，各有多少种不同的分法？

〔1〕分给甲、乙、丙三人，每人两本

〔2〕分给甲、乙、丙三人，其中一人四本，一人一本，一人一本

422C6C4C23解：〔1〕六本不同的书平均分成三组有A390〔种〕不同分法。3A3

〔2〕同理：由问题〔1〕知

n3nnn1n2CnCnn1Cnn1n2Cnn2

mAm共有m种分法，其中(n1n2n3nmAmn)。m

总之，掌控了上述4个结论，对于解决排列组合中的分组问题应当会是游刃有余。另外，还可以将其它问题转化为分组问题来解。

例如：苏教版选修2-3习题1.4第九题

4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒子的放法有多少种？

分析：恰有一个空盒，那么另外的3个盒子中的小球数分别为1，1，2。事实上可以转化为先将四个不同的小球分为三组，其中一组2个，两外两组

12C4C31C2各1个。分组的方法共有种，然后将三组分给四个不同盒子中的2A2

12C4C31C23三个的排列问题，故共有=144〔种〕。A42A2

排列组合中的分组问题

单位：新沂市高级中学姓名：宋小林

排列组合的内容紧密联系实际，知识背景丰富，题型丰富多样。在高考中常用现实社会热点问题为载体进行考查，常考常新。而分组问题是排列组