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第第页2022届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):两角和与差的正弦、
第五节两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[备考方向要明白]
[归纳·知识整合]
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_βcos(α±β)=cos_αcos_β?sin_αsin_βtan(α±β)=
tanα±tanβ
1?tanαtanβ
[探究]1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗?假设涌现不适用的状况如何化简?提示:在T(α+β)与T(α-β)中,α,β,α±β都不等于kπ+π
2(k∈Z),即保证tanα,tanβ,tan(α
+β)都有意义;假设α,β中有一角是kπ+π
2
(k∈Z),可利用诱导公式化简.
2.二倍角余弦公式的常用变形是什么?它有何重要应用?提示:二倍角余弦公式的常用变形是:cos2α=
1+cos2α2,sin2α=1-cos2α
2
,这就是运用极其广泛的降幂扩角公式.在三角恒等变换中,这两个公式可以实现三角式的“次数”降低,利于问题的讨论.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α=2sin_αcos_α
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
tan2α=2tanα1-tan2α
[自测·牛刀小试]
1.计算cos28°cos17°-sin28°sin17°的结果等于()A.12
B.22
C.32
D.33
解析:选B原式=cos(28°+17°)=cos45°=
22.2.已知tan????α-π6=37,tan????π6+β=25
,那么tan(α+β)的值为()A.
2941B.129C.141
D.1解析:选Dtan(α+β)=tan???
?????α-π6+????π6+β=tan????α-π6+tan????π6+β1-tan????α-π6·tan????π6+β=37+251-37×25=1.3.(教材习题改编)以下各式中,值为12
的是()A.2sin15°cos15°
B.cos215°-sin215°
C.2sin215°-1
D.sin215°+cos215°解析:选A2sin15°cos15°=sin30°=12
;cos215°-sin215°=cos30°=
32;2sin215°-1=-cos30°=-32;sin215°+cos215°=1.4.(教材习题改编)已知cosα=35
,0<α<π,那么cos????α-π6=________.解析:∵cosα=35
,0<α<π,∴sinα=45
,
∴cos????α-π6=cosαcosπ6+sinαsinπ6
=
32cosα+12sinα=32×35+12×45=4+3310
.答案:
4+33105.(教材习题改编)在△ABC中,cosA=45
,tanB=2,那么tan(2A+2B)=________.解析:在△ABC中,∵cosA=45,0<A<π,得sinA=35
.∴tanA=sinAcosA=34
.∴tan2A=
2tanA1-tan2A=247,tan2B=2tanB1-tan2B
=-4
3,∴tan(2A+2B)=
tan2A+tan2B1-tan2A·tan2B=44
117.答案:44117
[例1](1)化简:(1+sinθ+cosθ)????sinθ2-cosθ22+2cosθ
(0<θ<π);(2)求值:1+cos20°2sin20°-sin10°????1tan5°-tan5°.[自主解答](1)原式=????2sinθ2cosθ2
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