二次函数与几何综合类存在性问题

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二次函数与几何综合类存在性问题

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二次函数与三角形、四边形、圆和相像三角形经常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，相互渗透.存在探究型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否涌现的问题.解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，假设推出冲突，即可否定假设；假设推出合理结论，那么可确定假设.

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

考向互动探究探究一二次函数与三角形的结合

例1如图41-1,对称轴为直线*=-1的抛物线y=a*2+b*

+c(a≠0)与*轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(-3,0).(1)求点B的坐标；(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.①假设点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥*轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

例题分层分析(1)抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点B的坐标，依据二次函数的对称性，能求出B点的坐标吗？(2)要求抛物线解析式应具备哪些条件？

由a=1,A(-3,0),B(1,0)三个条件试一试；

图41-1

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

(3)依据S△POC=4S△BOC列出关于*的方程，解方程求

出*的值；(4)如何用待定系数法求出直线AC的解析式？(5)D点的坐标怎么用*来表示？(6)QD怎样用含*的代数式来表示？(7)QD与*的函数关系如何？是二次函数吗？如何求

出最大值？

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

解题方法点析以二次函数、三角形为背景的有关点存在性问题是以二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满意某些关

于点的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、线段、三角形等类型之分.这类试题集代数、几何知识于一体，数形结合，敏捷多变.

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解：(1)由题意知：点A与点B关于直线*=-1对称，A(-3,0),∴B(1,0).(2)①当a=1时，那么b=2,把A(-3,0)(3)代入y=*2+2*+c中得c=-3,∴该抛物线解析式为y=*2+2*-3.1133∵S△BOC=OBOC=13=,∴S△POC=4S△BOC=4=6.22221又S△POC=OC|*p|=6,∴|*p|=4,∴*p=4.2考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

当*p=4时，yp=42+24-3=21;当*p=-4时，yp=(-4)2+2(-4)-3=5.∴点P的坐标为(4,21)或(-4,5).②∵A(-3,0),C(0,-3),那么直线AC的解析式为y=-*-3.设点Q为(a,-a-3),点D为(a,a2+2a-3),∴QD=yQ-yD=-a-3-(a2+2a-3)=-a2-3a.-33当a=-=-时，QD有最大值，其最大值为：22(-1)323--9-2-32=.4考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题探究二例2二次函数与四边形的结合如图41-2,在平面直角坐标系中，二次函数y=*2

+b*+c的图象与*轴交于A、B两点，B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3),点P是直线BC下方抛物线上的动点.

(1)求这个二次函数的解析式；(2)连接PO、PC,并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使得四边形POP′C为菱形？假设

存在，求出此时点P的坐标；假设不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

图41-2

例题分层分析(1)图中已知抛物线上几个点？将B、C的坐标代入求抛物线的解析式；

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

(2)画出四边形POP′C,假设四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？

(3)由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即求△BPC的最大面积.解题方法点析求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四

边形面积转化为三角形面积的和或差.

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

解：(1)将B、C两点的坐标代入y=*2+b*+c,得9+3b+c=0,c=-3,解得b=-2,c=-3.

∴这个二次函数的解析式为y=*2-2*-3.(2)假设抛物线上存在点P(*,*2-2*-3),使得四边形POP′C为菱形.连接PP′交CO于点E.∵四边形POP′C为菱形，3∴PC=PO,PE⊥CO,∴OE=EC=,2考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题33∴P点的纵坐标为-,即*2-2*-3=-,解得*1=222+102-102+10,*2=(不合题意，舍去).∴存在点P(,2223-),使得四边形POP′C为菱形.2(3)过点P作y轴的平行线交BC于点Q,交OB于点F,设P(*,*2-2*-3).由*2-2*-3=0得点A的坐标为(-1,0).∵B点的坐标为(3,0),C点的坐标为(0,-3),∴直线BC的解析式为

:y=*-3,∴Q点的坐标为(*,*-3),∴AB=4,CO=3,BO=3,PQ=-*2+3*.考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题11=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=ABCO+PQ221111BF+PQFO=ABCO+PQ(BF+FO)=ABCO22221113292+PQBO=43+(-*+3*)3=-*+*+6=22222∴S四边形ABPC

32*-3753-+.∴当*=时，四边形ABPC2282315,-的面积最大.此时P点的坐标为24,75四边形ABPC的最大面积为.8考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

探究三

二次函数与相像三角形的结合

例3如图41-3,抛物线y=a*2-2a*+c(a≠0)交*轴于A、B两点，A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移

动，分别交*轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,假设点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长；

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)在(2)的条件下，连接PC,那么在CD上方的抛物线部

分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相像？假设存在，求出此时m的值，并径直判断△PCM的外形；假设不存在，请说明理由.

图41-3考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题例题分层分析(1)将____________代入y=a*2-2a*+c,求出抛物线的

解析式；(2)依据________的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式；

(3)依据抛物线和直线AC的解析式如何表示出点P、点M的坐标和PM的长？(4)由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，那么假设以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相像时，分两种状况进行讨论：①△PFC∽________,②△PFC∽________.考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

解题方法点析此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相像三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定.要留意的是当相像三角形的对应边和对应角不明确时，要分类争论，以免漏解.

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解：(1)∵C(0,4),A(3,0)在抛物线y=a*2-2a*+c(a≠0)上，4a=-,c=4,3∴解得9a-6a+c=0,c=4.428∴所求抛物线的解析式为y=-*+*+4.33(2)设直线AC的解析式为y=k*+b(k≠0),4k=-,3k+b=0,3∵A(3,0),C(0,4)在直线AC

上，∴解得b=4,b=4.4∴直线AC的解析式为y=-*+4,3考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题

4428m,-m+4m,-m+m+4∴M3,P33.∵点P在M的上方，4-m+4428∴PM=-m+m+4-3334284=-m+m+4+m-43334=-m2+4m.3考点聚焦归类探究回来教材

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第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)①假设△PFC∽△AEM,此时△PCM是直角三角形PFCFPF