湖南省岳阳市大坪中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省岳阳市大坪中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（

）A.

B.

C.D.参考答案：D2.二项式的展开式的各项中，二项式系数最大的项为（

）A. B.和 C.和 D.参考答案：C【分析】先由二项式，确定其展开式各项的二项式系数为，进而可确定其最大值.【详解】因为二项式展开式的各项的二项式系数为，易知当或时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第三项和第四项.故第三项为；第四项为.故选C【点睛】本题主要考查二项式系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.3.已知某三棱锥的三视图均为腰长为2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的表面积为(

) A．6+2 B．6+4 C．12+4 D．8+4参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用三棱锥的表面积公式求出该几何体的表面积．解答： 解：由三视图得，该几何体为底面和两个侧面为直角边边长为2的等腰直角三角形，另外一个侧面是一个边长为2的等边三角形，故该棱锥的表面积为S=3××2×2+×=6+2，故选：A点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决．4.定义在R上的函数满足，当时，，则（）

A．B．

C．D．参考答案：D由题意可知，函数的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且,而函数在是减函数，∴，选D.5.若，则的值使得过可以做两条直线与圆相切的概率等于

A.

B.

C.

D.不确定

参考答案：B6.设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有

（）A．[-x]=-[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y]

D．[x-y]≤[x]-[y]参考答案：D略7.定义在区间上的函数的图象如右图所示，记以,,为顶点的三角形的面积为，则函数的导函数的图象大致是参考答案：D8.设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间(

)A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．【解答】解析：∵f（1.5）?f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．9.已知集合则（

）. .. .参考答案：B略50.6，0.65，log0.65的大小顺序是 （

） A．0.65<log0.65<50.6 B．0.65<50.6<log0.65 C．log0.65<50.6< 0.65 D．log0.65<0.65<50.6 参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量=（x，2），=（2，1），=（3，x），若∥，则向量在向量方向上的投影为．参考答案：4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先根据xlde平行求出x的值，再根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵=（x，2），=（2，1），∥，∴x=2×2=4，∴=（3，4），∴||=5，=（4，2）?（3，4）=12+8=20，∴向量在向量方向上的投影为==4，故答案为：4．12.（2013?黄埔区一模）已知函数，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且仅有两个实根，则实数a的取值范围是_________．参考答案：（﹣∞，1]略13.若的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x4项的系数为．参考答案：7【考点】DA：二项式定理；8F：等差数列的性质．【分析】依题意，+=2×，可求得n，由二项展开式的通项公式即可求得x4项的系数．【解答】解：∵的展开式中前三项的系数依次成等差数列，∴+=2×，即1+=n，解得n=8或n=1（舍）．设其二项展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=?x8﹣r??x﹣r=??x8﹣2r，令8﹣2r=4得r=2．∴展开式中x4项的系数为?=28×=7．故答案为：7．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y﹣3的最大值是．参考答案：﹣3【考点】简单线性规划．【专题】不等式．【分析】利用z=2x+4y﹣3表示与y=﹣x+平行且与满足约束条件的实数x、y所构成的△OAB相交的直线，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，满足约束条件的实数x、y所构成的图象为△OAB，其A（﹣2.5，﹣2.5），B（﹣5，0），令z=2x+4y﹣3=0，则y=﹣x+，于是z=2x+4y﹣3表示与y=﹣x+平行且与△OAB相交的直线，∴当其过原点时取最大值为﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查简单线性规划，考查数列结合，注意解题方法的积累，属于中档题．15.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：①；②；③；④其中在区间上通道宽度可以为的函数有

(写出所有正确的序号).参考答案：16.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.

甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测√××√乙的猜测×○○√丙的猜测×√×√丁的猜测○○√×

参考答案：乙、丁【分析】本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果.【详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖.所以本题答案为乙、丁.【点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.

17.如图直角三角形ABC中，，点E1F分别在CA、CB上，EF∥AB，，则=______________.参考答案：－5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，D是CC1的中点，E是A1B1的中点.（1）证明：DE∥平面A1BC；（2）若，求直线A1C1与平面A1BC所成角的正弦值.参考答案：(1)见证明；(2)【分析】（1）取的中点，连接，，据题设可得四边形是平行四边形，根据线面平行的证明定理即可得证；（2）延长交于点，连接，根据题设条件可证明，，两两垂直，因而以O为原点，以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，即可求得平面的法向量为，根据直线与平面夹角的正弦值为直线与平面法向量夹角的余弦值即可得解【详解】（1）证明：设点是的中点，连接，，∵，分别是，的中点，∴，且.又在平行四边形中，是的中点，∴，且，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）解：如图，延长交于点，连接，则由（1）及知，且是的中点，∵是正三角形，∴.又在直三棱柱中，平面平面，平面平面，∴平面，故，所以，，两两垂直.如图，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，即，解得，∴可取.设直线与平面的所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的证明，空间向量在求直线与平面夹角中的应用，关键是如何建立空间直角坐标系，属于中档题。19.过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。（Ⅰ）当时，求证：⊥；（Ⅱ）记、、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。参考答案：解：依题意，可设直线MN的方程为，则有由消去x可得

从而有

①于是

②又由，可得

③（Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线此时①可得证法1：证法2：(Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：记直线与x轴的交点为,则。于是有

将①、②、③代入上式化简可得上式恒成立，即对任意成立

略20.已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1、F2，点P是坐标平面内的一点，且｜OP｜＝，·＝（点O为坐标原点）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线y＝x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使＋＝λ，λ∈（0，2）求椭圆的弦的长度的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）设由得，

……1分由得，即

……2分所以，又因为，所以

……3分椭圆C的方程为：；

……4分（Ⅱ）解法一:由得，设直线的方程为,联立方程组消去y得：

……5分设,则

……6分

∵，∴，得,于是

……8分

…10分

……12分解法二:由得，设则∴…………①

……5分∵，∴，代入①得，

……6分设直线的方程为

……7分椭圆方程得

，

……10分

……12分略21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BEF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）作FM∥CD交PC于M，连接ME．证明AF∥EM，然后证明直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）连接ED，证明AB⊥平面PEF．求出三角形PEF的面积，利用VP﹣BEF=VB﹣PEF求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M，连接ME．

…∵点F为PD的中点，∴，又，∴，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，…∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，…∴直线AF∥平面PEC．

…（Ⅱ）连接ED，在△ADE中，AD=1，，∠DAE=60°，∴ED2=AD2+AE2﹣2AD×AE×cos60°=，∴，∴AE2+ED2=AD2，∴ED⊥AB．