湖北省武汉市新洲区实验中学高三数学文下学期期末试卷含解析

湖北省武汉市新洲区实验中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的值可以是（

）A．－2 B．1 C．2 D．3参考答案：A2.下列命题中的假命题是（

）A．B．，C．，当时，恒有D．，使函数的图像关于轴对称参考答案：C.试题分析：A：根据指数函数的性质，可知A正确；B：当时，有，，显然成立，当时，令，∴，∴在上单调递增，∴，综上，不等式对于任意恒成立，B正确；C：∵为底数大于的指数函数，为幂函数，∴当时，，∴不存在满足条件的，C错误；D：取，可知函数的图象关于轴对称，D正确.考点：函数的性质.3.过双曲线的左焦点F（﹣c，0），（c＞0），作圆：x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】由题设知|EF|=，|PF|=2，|PF′|=a，再由|PF|﹣|PF′|=2a，知2﹣a=2a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=，∴|EF|=，

∵，∴|PF|=2，|PF'|=a，∵|PF|﹣|PF′|=2a，∴2﹣a=2a，∴，故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答4.点是区域内的任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A试题分析：作出不等式的平面区域如图，若函数在区间上是增函数，则，，则，由，，，，，所以本题所求的概率.故选A.考点：几何概型.5.已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（

）

A、

B、

C、

D、1参考答案：C6.函数的部分图象大致为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先由函数解析式可得函数为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解.【详解】解：由已知可得函数的定义域为，且，则函数为奇函数，则函数的图象应该关于原点对称，排除C和D，当时，，排除B，故A正确.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.7.已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y=}，则A∩（?RB）=（）A．[﹣3，﹣1] B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．[﹣1，2]参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出B，找出B的补集，求出A与B补集的交集即可．【解答】解：A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}=（﹣3，2），B={x|y=}=（﹣1，+∞），∴?RB=（﹣∞，﹣1]∴A∩（?RB）=（﹣3，﹣1]．故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．8.已知抛物线焦点为F，经过F的直线交抛物线于，，点A，B在抛物线准线上的射影分别为，，以下四个结论：①，②，③，④AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】设直线为与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线焦点为，易知直线的斜率存在，设直线为.由，得.则，①正确；，②不正确；，，③正确；的中点到抛物线的准线的距离.当时取得最小值2.④正确.故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.9.已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3）参考答案：A【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=asinx﹣（a∈R），若函数f（x）在（0，π）的零点个数为2个，则当x∈[0，]，f（x）的最大值为．参考答案：a﹣【考点】正弦函数的图象．【分析】讨论a＞0时，函数y=f（x）在区间（0，）上有且只有一个零点，在区间（，π）上有且只有一个零点；求出f（x）在x∈[0，]上的最大值；a≤0时，函数f（x）在x∈（0，π）上无零点，从而求出f（x）的最大值．【解答】解：因为函数f（x）=asinx﹣（a∈R），且x∈（0，π）时，sinx∈（0，1]；所以当a＞0时，asinx∈（0，a]，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，函数f（x）在（0，）上有且只有一个零点；y=f（x）在区间（，π）上单调递减，函数f（x）在（，π）上有且只有一个零点；所以a﹣＞0，解得a＞；所以f（x）在x∈[0，]上的最大值是f（）=a﹣；a≤0时，f（x）=asinx﹣＜0在x∈（0，π）上恒成立，函数f（x）无零点，不合题意；综上，f（x）在x∈[0，]上的最大值是a﹣．故答案为：a﹣．12.袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”，“9”这五个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是

．参考答案：13.设变量x，y满足，则z=x+y的最大值是

．参考答案：3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最大值．解答： 解：由约束条件画出可行域如图所示，，可得则目标函数z=x+y在点A（2，1）取得最大值，代入得x+y=3，故x+y的最大值为3．故答案为：3．点评：本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键．14.已知为所在平面内的一点，满足，的面积为2015，则的面积为

参考答案：120915.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜5）=0.8，则P（1＜X＜3）=

．参考答案：0.3【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（3，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴对称轴是x=3．∵P（X＜5）=0.8，∴P（X≥5）=0.2，∴PP（1＜X＜3）=0.5﹣0.2=0.3．故答案为0.3．16.

已知函数若，则

.

参考答案：17.已知，则中共有项．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．参考答案：【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】常规题型；压轴题；数形结合；分类讨论．【分析】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值范围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的范围，通过图形即可解得结果．【解答】解：（1）（2）由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）得又因为则有2≥f（x）解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2|得【点评】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答过程中充分体现了分类讨论的思想、数形结合的思想、问题转化的思想．值得同学体会和反思．19.如图，在△ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若ED=，求角A的大小．参考答案：【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．【解答】解：（1）∵△BCD的面积为，，∴∴BD=在△BCD中，由余弦定理可得==；（2）∵，∴CD=AD==在△BCD中，由正弦定理可得∵∠BDC=2∠A∴∴cosA=，∴A=．20.（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过A（﹣1，）、B（0，）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于另一点M，交x轴于点P，点M关于x轴的对称点为N，直线BN交x轴于点Q．求|OP|+|OQ|的最小值．参考答案：【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）将A、B两点代入椭圆方程，求出a、b，从而可得椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（k≠0），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），联立直线l与椭圆方程，由韦达定理可得，从而M（，），N（，﹣），从而直线BN的方程为：，则Q（，0），又因为P（，0），结合不等式可得|OP|+|OQ|=+≥4．解：（Ⅰ）将A（﹣1，）、B（0，）两点代入椭圆方程，得，解得，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）由于直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为（k≠0），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），解方程组，化简得，所以，=，从而M（，），N（，﹣），所以kBN==，从而直线BN的方程为：，则Q（，0），又因为P（，0），所以|OP|+|OQ|=+≥4，当且仅当=，即|k|=时取等号，所以|OP|+|OQ|的最小值为4．【点评】：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．21.（本小题满分14分）

已知椭圆G的离心率为，其短轴的两个端点分别为A(0,1),B(0,-1).

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.判断以为直径的圆是否过点，并说明理由.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）以为直径的圆不过点.试题分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆G的方程为：由可得由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设，且，则，由已知条件推导出，由此能求出以线段MN为直径的圆不过点A．试题解析：（Ⅰ）设椭圆G的方程为：,所以,，，，∴，∴，∴椭圆方程为

（Ⅱ）设，则，，

,

令，则

∴，

∴=∵∴，∴

，

∴与不垂直，∴以为直径的圆不过点.

考点：椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系22.1,3,5

（本小题满分12分）如图，四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱，（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若棱上存在一点