河南省洛阳市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题(含答案)

洛阳市2023——2024学年第二学期期中考试高一数学试卷本试卷共4页，共150分。考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。2．考试结束，将答题卡交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知i为虚数单位，（）A． B． C． D．2．若直线在平面外，则（）A． B．与至多有一个公共点C．与没有公共点 D．与至少有一个公共点3．已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．4．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（）A． B． C． D．5．如图，正方体的八个顶点中，其中A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的体积与正方体的体积之比为（）A． B． C．1：3 D．1：46．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线，则的面积的最小值为（）A． B． C． D．18．如图，正方形ABCD的边长为a，顶点A，D分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动．若，则a的最大值是（）A．1 B．2 C． D．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知z为复数，下列说法正确的是（）A． B． C． D．10．关于平面向量，下列说法正确的是（）A．若，则B．两个非零向量，，若，则与共线且反向C．若与不共线且与共线，则D．若，，且与的夹角为锐角，则11．在正方体中，M，N，Q分别是棱，，BC的中点，，则（）A． B．C．A，P，M三点共线 D．12．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，内一点N满足，直线AN与BC交于点D，则（）A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若与互相垂直，则______．14．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长为______．15．已知直三棱柱中，，，，，则三棱柱的外接球的表面积为______．16．在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知复数，，其中i是虚数单位，．（1）若为纯虚数，求a的值；（2）若，求的虚部．18．（12分）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的值．19．（12分）已知在圆锥SO中，底面的直径，的面积为．（1）求圆锥SO的内切球的体积；（2）点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，求它爬行的最短距离．20．（12分）在中，，，，，．（1）试以为基底表示，并求；（2）D为直线MN上一点，设，若直线CD经过的垂心，求x，y．21．（12分）如图，在正方体中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．（1）求证：；（2）若正方体棱长为2，请在正方体的表面完整做出过A，E，三点的截面，写出作图过程，并求出截面的面积．22．（12分）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为的平分线，CB与AD相交于点O，，，．（1）求CO的长；（2）若，求的面积．洛阳市2023——2024学年第二学期期中考试高一数学试卷参考答案一、单选题1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．A 8．B二、多项选择题9．AC 10．BC 11．CD 12．ABD三、填空题13．7 14． 15． 16．四、解答题17．解：（1）∵为纯虚数，∴且，∴（2）由题意得，，即，∴∴，∴的虚部为1．18．解：（1）由正弦定理得，，∴，，由余弦定理，，∵，∴．（2）∵，∴，即，∴，即．19．解：（1）设圆锥SO的母线长为l，底面的半径为r，∵的面积为，∴．解得．由勾股定理，可得母线，如图，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为D，球的半径为R，则于E，，则，可得，即，解得，∴球的体积．（2）如图，圆锥的侧面展开图为扇形SAN，扇形SAN的弧长为，扇形SAN的圆心角，∴，在中，由余弦定理，，∴，∵，∴蚂蚁爬行的最短距离为AM的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为．20．解（1）由题意得，∵，，∴，∴（2）D为直线MN上一点，设，则∴∵直线CD经过的垂心，所以，即，∴，解得，∴，又，∴，．21．（1）证明：连接BH，∵FG为的中位线，∴，∵，，∴，∵，，，∴∵，EF，FG都在平面EFG内，∴．（2）解：如图，四边形为所求截面．取的中点N，连接，NE，∴，，取的中点M，连接AM，，∴，，∴，∴□为过A，E，三点的截面，又