江苏省江阴长泾中学2023-2024学年高一下学期3月份阶段性检测数学试题(含答案)

年春学期3月份阶段性检测高一数学试卷考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知向量，，那么向量可以是（

）A． B． C． D．2．已知向量，，则（

）A． B．1 C． D．23．在△ABC中，角，，的对边分别为，，，若，，，则()A． B． C． D．4．在△ABC中，为边上的中线，，则（

）A． B． C． D．5．△ABC中，若，且，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形6．来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（

）（，精确到）A．B．C．D．7．若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（

）A．B．C．或D．或8．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A．B．C．D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有两个解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知向量，，则下列说法正确的是（

）A．若，则的值为B．若，则的值为C．若，则与的夹角为锐角D．若，则11．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，错误的是（

）A．B．C．D．在上的投影向量为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，，，，若，，，则．13．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，试写一个非零向量_________，使得.14．在△ABC中，为上一点，①为的中线，则；②为的角平分线，则.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，，，试求：（1）；（2）与的夹角.16．设e1，e2是两个不共线的向量，如果AB=3e1（1）求证：A，B，D三点共线；（2）试确定λ的值，使和共线；（3）若e1，e2为单位向量，且e1，e2夹角的正弦值为，求17．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D．（1）若BD＝3，求cosA；（2）若∠D＝60°，求CD.18．如图，在△ABC中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，．（1）若，求的值；（2）若()，()，求的最小值.19．如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，.（1）求边的长度；（2）求△ABC的面积；（3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值.2024年春学期3月份阶段性检测高一数学试卷答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、A2、C3、D4、A5、D6、B7、C8、B二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9、AD10、AB11、BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12、13、(1,-1)14、,四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，，，试求：（1）；（2）与的夹角.【答案】（1）2；（2）【解析】（1）由，可得，则，即，又，，则，则……6分（2），又，则，故与的夹角为.……13分16．设e1，e2是两个不共线的向量，如果AB=3e1−2(1)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定λ的值，使和共线；(3)若e1，e2为单位向量，且e1，e2夹角的正弦值为，求【解答过程】（1）证明：因为BD=所以AB与BD共线.因为AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线.……5分（2）λ=±22..（3）或.……15分17．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D．（1）若BD＝3，求cosA；（2）若∠D＝60°，求CD．17【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由题意，得∠ACD＝∠ABD＝90°，所以A+D＝180°，如图，在Rt△ABD和Rt△ACD中有AB2+BD2＝CD2+AC2，又AB＝2，AC＝1，BD＝3，∴，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，即BC2＝5﹣4cosA，在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝BD2+CD2﹣2BD•CD•cos（180°﹣A），即，两式联立消去BC2，得，解得：．.……7分（2）因为A+D＝180°，D＝60°，所以A＝120°，由（1）知BC2＝5﹣4cos120°＝7，所以，在△ABC中，由正弦定理，得，所以，又∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°，所以，所以，在△DBC中，，所以．.……15分18．如图，在△ABC中，点P满足PC=2BP，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点(1)若AF=23(2)若EB=λAE(λ>0)，FC【解答过程】（1）因为PC=2所以AP=因为O是线段AP的中点，所以AO=又因为AF=23AC，设因为E,O,F三点共线，所以x3+14=1所以AEEB=4（2）因为AB=AE+由（1）可知，AO=12因为E,O,F三点共线，所以1+λ3+1+μ所以1λ当且仅当μ=2λ，即λ=3所以1λ+1μ+1的最小值为19．如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，.(1)求边的长度；(2)求的面积；(3)点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值.【答案】(1)4(2)(3)【解析】（1）由题意得：，在中，由正弦定理，得，在中，由余弦定理，所