2024年上海敏思数学培优学校中考数学培优测试卷含答案

年上海敏思数学培优学校中考数学培优测试卷一、单选题（共18分）1．（本题3分）数学来源于生活，下列图案是由平移形成的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（本题3分）已知点A在第二象限，且到x轴y轴的距离分别为4和5，则A点的坐标为（

）A． B． C． D．3．（本题3分）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的长为（）A．10 B．11 C．12 D．134．（本题3分）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（本题3分）某校八年级（1）班正在筹备班级元旦联谊会，班长为确定买哪些水果，对全班同学爱吃的水果的种类做了问卷调查．下列调查数据中你认为最值得关注的是（

）A．中位数 B．平均数 C．众数 D．加权平均数6．（本题3分）已知多项式能被整除,且商式为则（）A．10 B．15 C．17 D．19二、填空题（共36分）7．（本题3分）一元二次方程根的判别式的值是．8．（本题3分）已知，则的平方根是．9．（本题3分）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，当△ABC是直角三角形时，点C的个数为．10．（本题3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC=2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于．11．（本题3分）如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为．

12．（本题3分）某生活区有600户居民，小华随机选取部分居民进行节约用水情况调查，把用户数与当月节水量（吨）的关系制成折线统计图如图所示．估计该生活区当月节约用水量为吨．13．（本题3分）从，，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，则抛物线开口向下的概率是．14．（本题3分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，把绕点旋转，点落在点处，则直线的表达式为．15．（本题3分）方程的解为．16．（本题3分）如果x+4y－3=0，那么2x×16y=．17．（本题3分）如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处．若∠ADB1=70°，则∠CEB1=．

18．（本题3分）如图，OA⊥OB，等腰直角△CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为三、解答题（共66分）19．（本题4分）计算：．20．（本题6分）解不等式组并写出整数解的中位数．21．（本题8分）某食品厂从生产的袋装食品中抽样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：与标准质量的差值（单位：g）0136袋数144452(1)这批样品的平均质量比标准质量多还是少？平均质量比标准质量多或少几克？(2)若允许有g的误差，那么请你估计一下900袋产品中有多少袋合格产品？(3)在（2）的条件下，若每袋食品成本价是20元，食品厂以每袋35元的价格批发给贾老板810袋．在销售中不合格产品返厂重新加工（重加工费用忽略不计），食品厂将不合格产品的进价费用返还贾老板并承担每袋0．5元的返还运费．请你估计一下食品厂在这次销售中的利润是多少？22．（本题8分）如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米.(1)求的度数；(2)求图中健身区（阴影部分）的面积.23．（本题8分）综合实践九年级第一学期教材第2页结合教材图形给出新定义对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．

图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心．(1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”）(2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．

①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式；②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．24．（本题10分）服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件70元，经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式．（2）求该服装店要想销售这批秋衣日获利750元，售价应定多少元？（3）请销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？25．（本题10分）已知，数轴上的A在原点左边，到原点的距离为6个单位长度，点B在原点右边，从点A到点B，要经过10个单位长度．（1）直接写出A点在数轴上表示的数，B点在数轴上表示的数；（2）若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C的对应的数；（3）已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P，直接写出线段PO-AM的值．26．（本题12分）在中，，，是的角平分线，于点E，连接．

(1)如图1，求证：是等边三角形；(2)如图2，M为线段上一点，连接，作等边三角形，连接，求证：；(3)如图3，P为线段上一点，连接，作，交的延长线于点Q，探究线段，与之间的数量关系，并证明．参考答案1．A【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案．【详解】根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度），符合条件的只有A．故选：A．【考点】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．2．B【分析】直接利用第二象限点的坐标特点得出答案．【详解】解：∵点A在第二象限，∴点A的横坐标是负数，纵坐标是正数，∵点A到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，∴A点坐标为故选：B【考点】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限第四象限．3．B【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，再用求出的值即可．【详解】解：由作图可知：垂直平分，∴，∴．4．D【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握对于反比例函数，当时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内随的增大而减小，当时，图象的两个分支在第二、四象限变化，且在每一个象限内随的增大而增大．首先根据得函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每一个象限内随的增大而减小，然后再根据点的横坐标得点在第三象限内，点在第一象限内，进而可判断，最后再根据得，据此即可得出答案．【详解】解：∵∴函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每一个象限内随的增大而减小，∵点∴点在第三象限内，点在第一象限内，∴∵∴∴故选：D．5．C【分析】根据中位数、平均数、众数及加权平均数的概念直接进行求解即可．【详解】平均数、、加权平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是为筹备班级元旦晚会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，所以最值得关注的是众数；故选C．【考点】本题主要考查中位数、平均数、众数及加权平均数，熟练掌握中位数、平均数、众数及加权平均数是解题的关键．6．D【分析】先把式子去括号，合并同类项，再根据和的乘积结果得出进一步得到最终结果.【详解】解：所以：故选D.【考点】此题考查了整式乘法与合并同类项，掌握多项式乘单项式的运算方法是解题的关键.7．17【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵，∴．故答案为：178．±【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，再求的平方根．【详解】解：∵（a-2）2+|b-8|=0，∴a=2，b=8，∴==，∴±=±，故答案为：±．【考点】本题考查了非负数的性质和平方根，要知道非负数的平方根有两个．9．10【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．【详解】如图所示：当AB是直角边时，点C共有6个位置，当AB是斜边时，点C共有4个位置，因此△ABC是直角三角形的个数有6+4=10（个）．故答案为：10．【考点】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．10．2：5【分析】通过证明ADF∽EBF，可求解．【详解】解：∵BE：EC=2：3，∴BE：AD=2：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，AD=BC，∴ADF∽EBF，∴BF：FD=BE：AD=2：5，故答案为：2：5．【考点】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．11．【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．【详解】解：设道路的宽为米，由题意有，故答案为：．【考点】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．12．575【分析】根据折线统计图求出抽查部分用户的平均数，即可求解；【详解】解：由折线统计图可求该12名抽查用户节约用水量的平均数为：∴该生活区当月节约用水量为吨故答案为：575【考点】本题主要考查了平均数的概念、样本估计总量，掌握平均数的求解方法是解题的关键．13．/0.4【分析】使抛物线的开口向下的条件是，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．【详解】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线的开口向下的有，共2种结果，∴使抛物线的开口向下的概率为，故答案为：．【考点】本题考查概率公式以及二次函数的性质，掌握概率公式和二次函数的性质是解题的关键．14．或【分析】根据直线与坐标轴有交点，分别计算出点的坐标，可求出的长，根据旋转的性质，分类讨论，顺时针旋转和逆时针旋转，分别求出点的坐标，再根据待定系数法求解析式即可求解．【详解】解：直线与轴交于点，与轴交于点，令，则，令，则，∴，，则，，①绕点顺时针旋转得，，如图所示，∴，，∴，，∴，设直线的解析式为，把代入得，，解得，，∴直线的解析式为；②绕点逆时针旋转得，，如图所示，∴，，∴，，∴，设直线的解析式为，把代入得，，解得，，∴直线的解析式为；综上所述，直线的解析式为或．【考点】本题主要考查旋转的性质，待定系数法求解析式的综合，掌握以上知识的综合运用，图形结合是解题的关键．15．【分析】根据两个数的积为零，则至少一个为零，即可求解．【详解】解：∵，∴或，即或，解得：或，经检验，时，，故它不是原方程的解．故答案为：．【考点】本题考查的是解无理方程，关键是通过乘方转化为有理方程，注意解无理方程要检验．16．8【分析】先把2x×16y变形，再把x+4y=3代入计算．【详解】解：∵x+4y-3=0，∴x+4y=3，∴2x•16y=2x•24y=2x+4y=23=8．故答案为：8．【考点】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．17．50°【分析】由等边三角形的性质可知：∠B=60°，由邻补角的定义可知∠BDB1=110°，然后由翻折的性质可求得∠BDE=55°，△BDE中由三角形的内角和定理可求得∠BED=65°，然后由翻折的性质可知∠BEB1=130°，从而可求得∠CEB1=50°．【详解】由翻折的性质可知：∠BDE=∠B1DE，∵∠ADB1=70°，∴∠BDB1=110°，∴∠BDE=∠BDB1=×110°=55°，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°．在△BDE中，∠BED=180°-55°-60°=65°．由翻折的性质可知：∠BEB1=2×65°=130°∴∠CEB1=180°-130°=50°．故答案为：50°．【考点】本题主要考查的是翻折变换，利用翻折的性质找出图中相等的角是解题的关键．18．【分析】由旋转角的定义可得∠DCM=75°，进一步可得∠NCO=60°，△NOC是30°直角三角形，设DE=a，将OC，CD用a表示，最后代入即可解答．【详解】解：由题意得∠DCM=75°，∠NCM=∠ECD=45°∴∠NCO=180°-75°-45°=60°∴∠ONC=90°-60°=30°设CD=a，CN=CE=a∴OC=CN=∴故答案为．【考点】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，抓住旋转的旋转方向、旋转角，找到旋转前后的不变量是解答本题的关键．19．【分析】根据立方根、平方根以及零指数幂、负指数幂的意义计算．【详解】解：原式＝．【考点】本题考查了实数的混合运算，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．20．；【分析】先求出不等式组的整数解，再根据中位数的意义求出中位数即可．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得，则不等式的解集为：，则不等式的整数解为：故中位数为．【考点】本题主要考查解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，以及求一组数据的中位数，理解中位数的意义是解决问题的前提，求出一元一次不等式组的整数解是解决问题的关键．21．(1)这批样品的平均质量比标准质量多，平均质量比标准质量多0．9g(2)900袋中有810袋合格(3)食品厂的利润是10305元【分析】（1）利用差值乘以袋数，积相加，得出最终结果，进行判断即可；（2）用900袋产品乘以样本中合格的比例，进行求解即可；（3）利用利润等于总售价减去总成本，进行求解即可．【详解】（1）解：．答：这批样品的平均质量比标准质量多，平均质量比标准质量多0.9g；（2）（袋）答：900袋中有810袋合格；（3）（元）答：食品厂的利润是10305元．【考点】本题考查有理数的运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的列出算式．22．(1)(2)平方米【分析】本题考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．（1）先利用勾股定理求出的长，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到是直角三角形即可；（2）利用三角形的面积解题即可．【详解】（1）因为，米，米，所以（米），因为米，米，所以，所以是直角三角形，．（2）图中阴影部分的面积（平方米）．23．(1)P；位似；相似(2)①图形见解析；；②和为位似三角形，理由见解析【分析】（1）根据位似图形的定义，即可求解；（2）①根据位似图形的定义，画出图形，再求出、的坐标，即可求解；②过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，联立求出点M，N的坐标，可得，从而得到，进而得到，再由点的坐标为，点A的坐标为，可得，然后根据新定义，即可求解．【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P；位似多边形是特殊的相似多边形．故答案为：P；位似；相似（2）解：①如图，即为所求；

令，则，解得：或0，∴点A的坐标为，设点B的坐标为，∴，解得：或0，∴点B的坐标为，∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似，∴点的坐标为，点的坐标为，设经过O、、三点的抛物线的表达式为，把点，，代入得：，解得：，∴经过O、、三点的抛物线的表达式为，②和为位似三角形，理由如下：如图，过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，

联立得：，解得：或，∴点M的坐标为，∴，，，同理点N的坐标为，∴，，∴，∵，∴，∴，∵点的坐标为，点A的坐标为，∴，∴，∴和为位似三角形．【考点】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键．24．（1）y=-2x+200（30≤x≤70）；（2）40元；（3）单价为65元时，日获利最大，为2000元．【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；（2）根据利润=单价×销售量-其它费用列出关于x的一元二次方程，解之即可；（3）利用二次函数的性质求出w的最大值，以及此时x的值即可．【详解】解：（1）设y=kx+b，根据题意得：，解得：k=-2，b=200，∴y=-2x+200（30≤x≤70）；（2）（x-30）（-2x+200）-450=750；解得：：x1=40，x2=90，∵物价不超过每件70元，∴x2=90舍去；答：销售单价为40元时，获利750元．（3）设日获利为w，则w=-2（x-65）2+2000，∴x=65时，w有最大值为2000元∴当销售单价为65元时，该服装店日获利最大，为2000元．【考点】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质