2021北京高一（上）期中数学汇编：单调性

2021北京高一（上）期中数学汇编

单调性

一、单选题

1.（2021•北京市第四十三中学高一期中）下列函数中，在区间（。⑵上为增函数的是（

C.T

A.y=-x+lB.y=-x2+4x+5D.y=|x-2|

X

2.（2021•北京市第一六一中学高一期中）下列函数中既是奇函数，又在（。，+s）上单调递增的是（）

A.y=X2B.y=x+—C.y=——D.y=2x

xx

3.（2021.北京市第一二五中学高一期中）下列函数中，既是偶函数，又在（0,+e）上是增函数的是（）

A.y=-x2B.y=-C.丁=卜|D.y=-2x+l

x

4.（2021.北京广渠门中学教育集团高一期中）已知函数八1）是定义在[-1』的奇函数，且/（%）在[-1,0]上单调递

增,若/⑵-1)+/<0,则实数f的取值范围为（）

2

A.B.[0,|JC.[-co）|jD.[0,|

5.（2021•北京・东直门中学高一期中）函数/（x）=2x+^/^万（）

A.有最小值2,无最大值B.有最大值2,无最小值

C.有最小值珠，有最大值2D.无最大值，也无最小值

O

6.（2021•北京市育英中学高一期中）是“函数/（x）=|x-4在区间（9,-!]上为减函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

Y+尤％Q

7.（2021.北京十五中高一期中）若函数/（尤）='"（aeR）为偶函数，则下列结论正确的是（）

无一。羽尤<0

A.八2a）/a）/0）B.12a）»0）/a）

C.7（a）次2°）/0）D.八.）次0）次2a）

4

8.（2021•北京市海淀区尚丽外国语学校高一期中）已知函数/（幻=尤+—，下列属于函数单调递减区间的是

尤

（）

A.（1,2]B.[-10,-4）C.（-4,0）D.（0,4）

9.（2021.北京冻直门中学高一期中）若“句=八?一1）"+“'X"是定义在（…，转）上的减函数，则。的取值范围

是（）

二、填空题

10.(2021•北京・东直门中学高一期中)设函数y=是定义在［-M］上的奇函数，且“X)在［0』上单调递减，

若则实数。的取值范围是.

11.(2021・北京•中关村中学高一期中)已知函数“力=亦卜4-2,2)),有下列结论：

①Vxe(-2,2),等式y(_x)+〃x)=0恒成立;

②V/ne［0,+oo),方程/(刈=m有两个不等实根；

③%、々€(-2,2),若%#掂*则一定有〃不)片〃々)；

④存在无数多个实数k,使得函数g(x)=-依在(-2,2)上有三个零点.

则其中正确结论序号为.

三、双空题

12.(2021.北京市第三中学高一期中)函数y=/(x)是定义域为R的偶函数，当x»0时，函数/(丈)的图象是由一

段抛物线和一条射线组成(如图所示).当尤直-1,3］时，y的取值范围是；函数y=/(x)(xwR)的单调

递增区间是.

四、解答题

13.(2021•北京市第四十三中学高一期中)已知函数/(x)=三二L

X

(1)判断函数/(尤)的奇偶性，并证明；

⑵用函数单调性的定义证明：在(。,+8)上为增函数；

⑶求函数/(X)在区间［-4-2］上的最大值和最小值.

l-2

14.(2021•北京市第一六一中学高一期中)已知函数/(%)=——x.

2x

⑴求GJ

⑵判断函数的奇偶性，并加以证明；

(3)求证：函数在(0,+00)上单调递减.

4

15.(2021•北京市第三中学高一期中)已知函数/(%)=%—-

x

(1)判断函数的奇偶性，并证明；

(2)用单调性定义证明：函数在(0,+8)上单调递增；

4

⑶求函数〃x)=x-—,xe［-4,-l］的值域.(只需直接写出结果)

x

16.(2021.北京市第一二五中学高一期中)已知函数/(x)=x+?,且此函数的图象过点(L5).

⑴求实数小的值；

(2)判断函数/(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(3)判断函数/■(》)在［2,+8)上的单调性，并证明你的结论.

X

17.(2021.北京广渠门中学教育集团高一期中)已知函数〃%)=­匚.

x+1

(1)判断函数人元)的奇偶性，并用定义证明；

(2)用定义证明：/⑴在［1,+8)上单调递减；

⑶若实数。满足了(/+l)<g,求。的取值范围.

18.(2021•北京市第一五九中学高一期中)已知无)=x+‘

⑴当机=1时，判断函数“X)的奇偶性；

⑵当m=1时利用函数单调性定义，证明函数”X)在区间(1，+8)上单调递增；

⑶若不等式％+生>0在区间口，2］上对任意尤恒成立，求机的取值范围.

X

19.(2021.北京.清华附中高一期中)已知/(x)是定义在(-s,0)U(0,+s)上的函数，满足下列两个条件:

①当x<0时，恒成立；

②对任意的了,”(一8,。)11(。,+8),者陌/(x)/(y)=/(盯)+

⑴求/⑴和/(T)的值；

⑵证明：为奇函数，并且/a)=d£|；

⑶若在区间(。,1］上单调递减，直接写出关于x的不等式/(八尤+1)+/卜伊。的解集

V+1

20.(2021•北京十五中高一期中)设函数/(©=:.

x-1

⑴判断函数“X)的奇偶性，并证明；

⑵用定义证明函数”X)在区间(L+8)上是单调减函数；

⑶求函数〃x)在区间［2,6］值域.

21.(2021•北京育才学校高一期中)已知函数/(x)=4尤+!

(1)判断函数的奇偶性，并加以证明;

⑵证明函数”X)在区间,+8］上为增函数.

22.(2021•北京・清华附中朝阳学校高一期中)已知函数y=的定义域为R,且满足下列条件：(1)"1)=3；

(2)对于任意的"，vwR,总有/(〃+v)=/(〃)+/(v)-1；(3)对于任意的沈，v^R,〃一vwO,

(w-v)［/(w)-/(v)］>0.

⑴求“0)及/(T)的值；

⑵求证：函数g(x)=〃x)-1为奇函数；

⑶若-；］>-2,求实数机的取值范围.

23.(2021・北京・清华附中朝阳学校高一期中)已知函数/。)=如2工+。的图像过原点，且/⑴=1.

⑴求实数“,b的值；

⑵判断并用定义证明函数g(x)=在区间(0,+8)上的单调性.

于(x)

24.(2021.北京市第五十七中学高一期中)已知函数/(、)=上2r一-4

(D判断函数人元)在区间［0,+8)上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；

⑵求出函数/(尤)在区间［1,9］上的最大值和最小值；

(3)画出函数图象并求出其值域.

25.(2021•北京市第五十七中学高一期中)已知/(x)是定义在［-U］上的奇函数，且/⑴=1,若北加工〃

,士/(m)-f(n)

时n，有八,〉0

m-n

⑴解不等式/(X2-1)+/(3-3x)<0；

⑵若成+1对Vxe［-U］,恒成立，求实数t的取值范围.

26.(2021•北京市第九中学高一期中)已知函数/(x)=±上.

x-1

(1)判断该函数在(1,+8)上的单调性，并用定义证明你的结论；

(2)求该函数在区间［2,4］上的最大值和最小值.

27.(2021•北京市第九中学高一期中)已知函数Ax)是定义在R上的偶函数，且在(T»,0)上是增函数.

⑴比较/("-2〃+4)与〃-2)的大小；

⑵若/(〃)>/(〃+6),求实数。的取值范围.

28.(2021•北京市海淀区尚丽外国语学校高一期中)判断并证明函数y=5-：在［1,也)上的单调性.

29.(2021•北京・景山学校高一期中)若非零函数/⑺对任意实数a,6均有/(。+力=,且当x<0时，

/U)>1.

(1)求证：＞0；

⑵求证：了(力为减函数；

⑶当/(4)=上时，解不等式/(d+x-3)"(5-x2)v：.

y-I-1

30.(2021•北京・景山学校高一期中)已知函数/(%)=—.

⑴求了"(1)］的值；

⑵判断函数/(x)在区间(-2,”)上的单调性，并用定义加以证明.

参考答案

1.B

【解析】

根据函数的单调性确定正确选项.

[详解：]

A,y=—%+1在(。,2)上递减，不合题意.

B,>=-/+4》+5开口向下，对称轴为尤=2,所以在区间(0,2)上是增函数，正确.

C,y=!在(0,2)上递减，不合题意.

X

,.fx-2,x>2上一

D,y=\x-2\=\在(0,2)上递减，不合题意.

[2-x,x<2

故选：B

2.C

【解析】

根据函数奇偶性的定义以及二次函数、反比例函数、指数函数的单调性逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】

对于A：〃-司=(-尤)2=尤2=〃可，所以y=Y是偶函数不符合题意，故选项A不正确；

对于B:〃T)=[x+J=-/(x),所以y=x+：是奇函数，因为"2)=4，，所以y=x+：在(0,+⑹上不是单

调递增，故选项B不正确；

对于C：/(-x)=-f--V-=-/(x),所以y是奇函数，且在(0,+8)上单调递增，故选项C符合题意；

对于D：y=2,既不是奇函数也不等式偶函数，故选项D不正确；

故选：C.

3.C

【解析】

利用偶函数和在(0,+8)上递增两个条件逐一分析各选项即可判断作答.

【详解】

对于A,函数y=-V是R上偶函数，在(0,+8)上单调递减，A不是；

对于B,函数y△是(-8,0)U(。,+W)上的奇函数，B不是；

X

对于C,函数丁=国是R上的偶函数，在(0,+8)上是增函数，C是；

对于D,函数>=-2工+1既不是奇函数也不是偶函数，D不是.

故选：C

4.B

【解析】

根据奇函数将+化简一下，再根据，(x)是定义在［-M］上的增函数，建立不等式组进行求解即可.

【详解】

/(X)是奇函数

/⑵-1)+/］］<0等价为/(2z-l)<=,

•••在［T,0］上单调递增，且一(X)是奇函数，

在卜1,1］上单调递增，

0<?<1

,即，一24f42

Z<|

［21

2

解得：0<t<—.

故选：B

5.A

【解析】

求出函数/(x)的定义域以及单调性，由单调性即可得最值.

【详解】

函数〃x)=2x+Jx-1的定义域为［1,+8),

因为y=2x和y=GT都是增函数，所以〃0=2》+7^二1在［1,+⑹上单调递增，

所以当尤=1时，/(x)irin=/(l)=2,无最大值，

故选：A.

6.A

【解析】

利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可

【详解】

IIII1x+1,%之一1/1

当a=—1时，/(x)=|x-a|=|x+l|=1,所以〃力在(-8,-1］上递减，在［-1,+8)上递增，

\—x—l,x<—1

,,［x—a,x>a/

f(x)=\x-a\=\在5,+8)上递增，在(-8,。］上递减，所以由一(X)在区间(-8,-1］上为减函数，可得

I—X+〃,％<〃

CL2—1f

所以“a=-l”是“函数/(x)=|x-a|在区间上为减函数”的充分不必要条件，

故选：A

7.A

【解析】

根据函数的奇偶性求解参数a的值，再根据函数在(O,4w)上的单调性即可得出答案.

【详解】

根据题意，/(—x)=〃尤)

12

x>0时，一x<0此时，f(x)=x+x,f(<-x)=x+ax

根据x)=/(x)可得°=1,故2a>a>0

又x>0时，/(x)=x2+x=^+|J-l,・••/(x)在(O,+w)上为单调增函数

.-./(2a)>/(a)>/(0),选项A正确.

故选：A.

8.A

【解析】

由定义法可求得函数的单调区间，进而得到结果.

【详解】

4

函数/(x)=x+-定义域为(y0，。)"。,”)，

在函数定义域内任取%>毛，

则■/■(尤1)一1/■(%)=与一%+士一巴=(尤1-%)X'「-4]

X%2I%/

2+00)2>

当王,％£(2,时，X1-X2>0,玉%4,XJX2-4>0

.•.(七一%)工至工>0，/(%)>/(冗2)故函数在这个区间上单调递增，

\玉兀27

同理当力,%2£(~°°,—2)时，玉一%2>。,%/2>4,石工2-4>0,

/4、

二(国一无2)——>0.-./(X1)>/(x2),函数也是单调递增的.

xx

I\2/

当不W£(°，2)时，xx-x2>0,0<XjX2<4,XjX2-4<0

义工<0.-./(x1)</(x2),故函数在这个区间上单调递减，

\%工27

2>0,0<%1%<4,%%2-

同理当方,工£(-2,0)时，xx-x224<0

•••a-々)(小二<o.•./(不)</(马),故函数在这个区间上单调递减；

xx

I\27

综上函数的单调增区间为(F-2),(2,+⑹，减区间为(-2,0),(0,2),

在某一个端点处的开闭不影响函数单调性，故选项中只要为单调减区间的子集即可;

故A正确.

故选：A.

9.A

【解析】

由函数在(-8,”)上为减函数知，分段函数每段都是减函数，且x=l时需满足(3a-l)xl+aZ-2a,解不等式组即可

求解

【详解】

因为=是定义在(f”)上的减函数，

［~2ax,x>l

.1

ci—

c(3〃—1)x1+aN—2〃6

所以3a-l<0，即11,解得

c八a<-63

—2〃<03

a>0

故选：A

【点睛】

易错点睛：本题主要考查了分段函数的单调性，已知分段函数的单调性求参数，需要满足：每段上的单调性，在分

段点出的大小关系弄清楚，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于易错题.

I。.阿

【解析】

根据题意，结合奇函数的性质与单调性，即可求解，但需注意定义域.

【详解】

根据题意，易知函数y=/(x)在［-1』上单调递减，

1-a>a

由〃l—a)</(a),得一iWl-aWl,解得0Wa<g.

-l<a<l

故答案为：0,；］.

11.①③④

【解析】

判断函数/■(”的奇偶性，可判断①的正误；取m=0可判断②的正误；判断函数/>(X)的单调性，可判断③的正

误；数形结合可判断④的正误.

【详解】

一XJQ

对于①，函数"X)的定义域为(-2,2),〃^)=阡4=-广=-〃灯，

所以,/(-x)+/(x)=O,①正确;

lx

对于②，当xe(-2,2)时，|〃X)|=4T，

\x

当〃=70时，则有/[=。，可得x=0,故②错误；

2-x\

对于③，当0Vx<2时，〃尤)=4=--==一1二,则函数〃x)为增函数，

2—xx—2x—2

又因为函数“X)为奇函数，故函数”X)在(-2,0]上单调递增，从而可知函数“X)在(-2,2)上单调递增,

所以，V%、x,e(-2,2),若占7%,则一定有/'(石)片〃々)，③对；

对于④，令g(x)=/(x)=0,即二H=日，

则”0为函数8(可在(-2,2)上的一个零点，

当xe(—2,O)U(O,2)时，则有％=二，令P(X)=£M=

,-2<x<0

、2+x

作出函数。(尤)的图象如下图所示：

由图可知，当上>g时，直线与函数p(x)的图象有两个交点，

故存在无数多个实数3使得函数8(同=〃2-原在(-2,2)上有三个零点，④对.

故答案为：①③④.

12.[-2,2][0,1],[3,+«)),[-3,-1]

【解析】

利用函数的图象，结合函数是偶函数求解.

【详解】

由函数图象知：当xe[0,3]时，ye[-2,2],

又因为函数是偶函数，

所以当xe[-3,0]时，ye[-2,2],

所以当xe~l,3]时，y的取值范围是[—2,2]；

由函数图象知：＞=/(x)(x©R)的单调递增区间是[0,1],[3,4^)),[-3,-1].

故答案为：[-2,2]；[0,1],[3,y)，[-3,T]

13.(1)函数Ax)为奇函数；证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

(1)通过证明"T)=-〃£)来证得了(X)为奇函数.

(2)利用单调性的定义来证得了⑺在(0,+勾上为增函数.

(3)根据〃尤)的单调性来求得了(%)在区间[T,-2]上的最大值和最小值.

(1)

由已知，函数/⑺的定义域为。={xeR|xwO}.

VXG£),者R有-x^D,

所以函数/(幻为奇函数.

(2)

任取九，1%2£(0,+OO),且0＜再＜%2，则罚一X2＜。

那么/(阳)-〃羽)=五二1一三二1

xxx2

X,(X；—1)—X](x1—1)(x(-尤2)(玉龙2+I)

X[X2XxX2

因为0＜占＜々，所以匹%＞0,xt-x2＜0,XjX2+1＞0,

所以/(x1)-/U2)＜0,

所以/(%)＜/(%),

所以/(X)在(0,+8)上是增函数.

(3)

由第(1)(2)间可知函数/(x)在[T,-2]上是增函数，

当尤=T时，f(x)的最小值为-9，

a

当％=-2时，"%)的最大值为一：

4

14.(l)-y;

⑵奇函数，证明见解析；

(3)证明见解析.

【解析】

(1)将自变量取值代入函数解析式即可解得;

(2)根据函数奇偶性的定义即可证明；

(3)根据题意，设。〈玉〈尤2,进而证明/(%)>/(々)即可.

(2)

函数定义域为{xixwo},函数为奇函数.因为/(-无)=3■—=-Lm=-“x),所以函数为奇函数.

2(XI‘X

⑶

1-x；1-xf1

设。＜再＜3,贝1Jf(X)-/(x2)=一%+玉工2(工2—七)]=~~(1+不々).

因为0<玉<工2，所以9-玉>°，玉%>。，1+王彳2>。，于是/'(占)-〃*2)>0=>/(不)>/'(%2)，所以函数在(0，+°°)上

单调递减.

15.(1)奇函数，证明见解析.

(2)证明见解析

⑶[-3,3]

【解析】

(1)判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的定义证明；

(2)利用函数的单调性的定义证明；

(3)根据函数的单调性写出函数的值域.

(1)

4

解：(1)因为函数/(无)=彳-一的定义域为(-8,0)U(0,+8),

尤

所以xe(-8,0)D(0,+8)时，-xe0)<J(0,+8),

4

函数/(x)=x+—的定义域关于原点对称，

x

4

因为/(-X)=-x+—=-/(%),

X

所以是奇函数.

(2)

解：函数/(X)在区间(0,+8)上是单调递增,

证明：任取为，/e(0,+00),且/a)_/(%)=(%+韦，

因为0<%<X2，所以玉一工2<0，玉工2>0，+4>0,

所以〃西)一/(三)=任二包3<°,

所以/(%)</(%)，

所以函数了。)在区间(0,+8)上是单调递增.

(3)

4

解：由题得函数/(%)=%—-,工£[-4,-1]单调递增，

x

4

所以函数/(%)=%—-,、£[-4,-1]的值域为[-3,3].

x

16.(l)m=4.

(2)奇函数，证明见解析

(3)见解析

【解析】

(1)函数图象过点(1,5)将此点代入函数关系式求出机的值即可(2)判断函数是否满足关系式f(x)=/(-x)或者

-/W=/(-%).满足前者为偶函数，满足后者为奇函数，(3)利用函数单调性的定义任取斗<当时，/(%1)-/(x2)

的正负来确定函数在区间上的单调性.

(1)

V/(x)过点(1,5),

1+m=5=>z?i=4.

(2)

4

f(x)=x-\—,

x

•,•f(x)的定义域为(-8,0)U(0,+<x>),关于原点对称.

4

：.f(-X)=—x+—=—/(无)(X)为奇函数.

-X

(3)

设X/,X2^[2,+oo)且%<X2,

444(X—)(x,—4)

则/(%)—f(X2)=X1+——X2——=(X/—X2)H------7----=------2----------.

玉x2玉%2

9•XI,X2^[2,+oo)且X/<X2,

Xj—X2<0,X7X2>4,/./(xi)—f(X2)<0.

/•/(x)在[2,+co)上单调递增.

17.(1)奇函数，证明见解析

(2)证明见解析

⑶。>1或Q<-1

【解析】

(1)根据函数奇偶性的定义判断即可;

(2)根据函数单调性的定义法证明；

(3)利用单调性解不等式即可.

(1)

函数是奇函数.

尤

函数八>)=的定义域为R，关于原点对称,

%2+1

-%X

f(-x)=

(-x)2+lx2+l

函数/(x)是奇函数.

(2)

设占e［l.+oo),且不<三，

、=无I_为=。(焉+1)一工,(无；+1)=(尤］一彳,)(1一尤2-2)

‘5尸八X"一不!一第71-5；+1)・(君+1)-«+1>区+1)-

因为％,*2e[l,+8)且不<%,

所以％1—々<。,石,%>L1—X1,尤2<0，

所以/(芭)-/(马)>。,〃再)>〃々),

所以/(X)在［1,+8)上单调递减.

(3)

22

因为相)=小=y

所以/(/+1)<〃2),

由(2)知函数Ax)在［1,+8)上单调递减，

所以“2+1>2,

解得”>1或a<-l.

18.⑴奇函数

(2)证明见解析

(3)m>-l

【解析】

(1)根据奇偶函数的定义判断即可；

(2)利用单调函数的定义证明即可；

(3)分离参数，转化为利>-犬在区间［1,2］上对任意x恒成立，只需求出>=2的最大值即可.

⑴

当％=1时，/(%)=%+-,定义域为(-8,0)U(0,+◎关于原点对称，

X

所以/(%)是奇函数；

(2)

由题意f(X)=XH---,

任取%，尤2£(1，+8),且不<%2，

/(X1)~/(X2)=(X1)一(工2■1)=($-％2)+(----------)

x

石x2石2

=(玉-x2)(1-----),

一玉％2

因为1<为<兀2，所以占一％2<0,1一提卜>。，

/(王)一/(九2)=(石一％2)(1-即/(芯)</(%2)，

所以函数八%)在区间(1，+8)上单调递增；

(3)

不等式x+'>0在区间［1,2］上对任意X恒成立，即机在区间［1,2］上对任意X恒成立，

x

又y=f2在［1,2］上单调递减，所以ymax=T，

所以相>-1.

19.(1)/(1)=2,/(-1)=-2.

(2)证明见解析

(3)口，2］

【解析】

(1)令x=l,y=-l,可得求得了⑴=2,再令x=y=T,可得求得了(-1)=-2.

(2)分别令y=T和V=1,求得/(xVX-iQAfVd),进而得到/(-尤)=-f⑴，得出函数〃x)为定义域上的奇

函数，再令y=i,结合/(1)=2,即可得到/(尤)=/d).

X

(3)根据函数〃x)为奇函数，得至转化为了(尤2+x+l)</g),由函数〃x)在区间(0,1］上单调

递减，且=证得函数〃x)在区间(L+8)上单调递增，结合/(3)=/《)，列出不等式组，即可求解.

(1)

解：因为函数满足〃x)/(y)=/(盯)+/(£|,且当x<0时，/(x)<0恒成立，

令x=1,y=-1,可得/(1)/(-1)=/(-1)+f(-l)=2/(-1),

因为/(一1)=0,所以/(1)=2,

令x=y=-L,W/(-D/(-l)=/(D+/(l),BP/2(-l)=2/(l),

因为"1)=2,且当x<0时，/(x)<0恒成立，所以/(一1)=一2.

⑵

解：由题意，函数〃x)的定义域(-8,0)U(0,+s)关于原点对称，

令y=T,可得/W/(-D=/(--r)+/(--)，

X

令，=1,可得/(尤)/⑴=〃x)+/d),

用r代换x,可得=/(-%)+/(--),

X

所以1/w(mv(i),

因为〃1)=2,/(-1)=-2,所以/(f)=-/(x),

所以函数/■(》)为定义域上的奇函数.

令y=1,可得/(x)/(i)=/(%)+/(-),

因为〃1)=2,可得2/(尤)=/(尤)+/P)，即/(x)=/d).

XX

(3)

解：因为函数/(X)为奇函数，可得〃[)=-吗)，

贝U不等式/(x2+x+l)+/[-g]wO,BP>9/(X2+X+1)<-/(-1)=

因为/(x)=/(J,所以f(3)=/(g),

由函数f(x)在区间(OH上单调递减，且/(尤)=/4)，

设％,%2£(1,+°0)且%</，可得。<^-<,<1,则/(')>/(')

-x2玉玉x2

所以/(%)-/(%)=/(})—/(1)<°，即/(西)</(々)，

所以函数八％)在区间(1，+8)上单调递增，

[211

所以不等式转化为-3,解得I<x42,

%2+x+1V3

解不等式的解集为口，2].

20.(1)非奇非偶函数，证明见解析；

⑵证明见解析；

-7-

(3)—3

【解析】

(1)首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性；

(2)利用定义法证明函数的单调性即可；

(3)由(2)可知函数在区间上单调递减，从而求出函数的最值，即可求出函数的值域;

(1)

解：/(幻为非奇非偶函数，

证明：因为/(无)=3，所以X-1W0,解得XW1,即函数的定义域为{xlxHl},定义域不关于原点对称，所以

人元)为非奇非偶函数；

(2)

证明：任取天，X,e(l,-H»),且不<三，

……过3=2(一)

2

Y^-1x2-l-l)(x2-1)

•/l<xi<x2f

所以马—玉>。，(^-l)(X2-l)>0,

所以/&)-〃%2)>0，即/&)>/(%)，

所以函数〃元)在(1,+8)上是减函数.

(3)

7「7-

解：由(2)可知Ax)在［2,6］上单调递减，所以/⑴1mx=42)=3,/(^„=/(6)=-,所以/(x)e-,3

21.(1)函数/(元)的奇函数，证明见解析；

(2)证明见解析

【解析】

(1)通过“-幻=-/(幻可得答案；

(2)在区间(J,+j上任取%>%>g，计算/区)一A9)>。即可证明函数A©在区间&，上为增函数.

(1)

由己知函数〃尤)=4x+1的定义域为(9,0)5。，口)

又/（一尤）--4x+—=-/（x）,

-X

所以函数/（尤）的奇函数；

（2）

0O

在区间（1■，+1上任取%>%2>1,

贝1J/（X）—）=4%+工一+工］=4（司一々）一%—%=（*%）（4*%°

XX

玉IX2j石％212

/.4AM2—1>。,—％2>0，

则/(%)-/(彳2)>°，即/(再)>/(%)

所以函数/(X)在区间1；，+°°)上为增函数.

22.⑴”0)=1,/(-1)=-1

(2)证明见解析

(3)(-oo,l)u(3,+oo)

【解析】

(1)〃=v=0得到40)=3取"=-l,v=l,则=得到答案.

(2)变换得到/(-)=-/3)+2,计算g(-x)=-g(x)得到证明.

(3)变换得到〃2")=2/(")-1,/[一£|=°，证明函数单调递增，将不等式转化为/g苏卜/0根-£|,根据

函数单调性得到答案.

(1)

f(u+v)=f(u)+f(y)-1,取…=0,得到〃0)=〃0)+〃0)—1,即〃0)=L

取a=-l,v=l,则+—即〃T)=T.

(2)

/(M+V)=f(M)+f(v)-l,取"=-丫，贝lJ/(O)=/(-v)+/(v)T,

即/(—”)=一/(丫)+2

g(x)=/(尤)一1.贝！Jg(-x)=f(-x)-l=-f(x)+2-l=-f(x)+l=-g(x),

故g(无)为奇函数.

(3)

不妨设〃>v,则("一"[〃")一〃叨>0,即/(")—〃n)>0,函数单调递增.

/(u+v)=/(w)+/(v)-l,则/(2M)=2/(«)—1,

取"=丫=一],得至厅(一1)=271-，一1,得至Y„=0.

一2/卜一g]>-2,即-2,

即m2j>/(2加一1)+/(一;)一1=/(2加一|)

13

即—苏>2m—,解得〃z>3或〃z<l.

22

23.(l)a=l,b=-l

(2)函数85)=工在区间(0,+8)上单调递减，证明见解析.

f(x)

【解析】

(1)、因为函数/(x)=&2，+6的图像过原点，故，(。)=。，与〃1)=1联立解出的值；

(2)、将“1的值代入求出g(x)=上表达式；用定义法证明函数8。)=工在(0,+s)上的单调性.

/(x)f(x)

(1)

・••函数/(x)=a♦2工+。的图像过原点，.•J(0)=0,

a-20+b=0fa=1

又"⑴=1，；•c,,，1J

a-2+b-l[b=-1

(2)

fo=l,,11

]](2"为一1)Y2—2%1

在区间(0,+co)上任取°<%口2'-2)=目_仁=(2—)(2")”.1)(2*一1)

，，2石>1,2“2>1,2巧一2玉>0，g(%)—g(%2)>。,

，以王)>且(九2)，

・•.g(%)=1在区间(0,+8)上单调递减.

/(X)

24.(1)函数,⑴在区间[0,+8)上单调递增，证明见解析；

(2)最大值为:，最小值为T；

(3)图象见解析，值域为(F,2)U(2,”).

【解析】

(1)将〃力的解析式变形为/(幻=2-——即可判断单调性，再根据定义法证明函数单调性的步骤即可证明；

X+1

(2)由(1)的结论即可利用单调性求出最大值和最小值；

(3)利用图象变换即可画出大致图象，由，彳0即可求出值域.

X+1

(1)

解：因为A尤)=4^=2一£，所以函数f(X)在区间[。，+8)上单调递增，下面用函数单调性的定义加以证明:

6666

任取04工1<%2,贝(不)—/(%)=2—2-

玉+1X?+1X2+l玉+1(X2+1)(^+1)

因为0W玉〈%，所以9+1>。，七+1>0,%!-x2<0,

所以7”、了即/(%)一/(%)<0,

(%+1)(%+1)

所以/(占)</(马)，

所以函数Ax)在区间[0,+向上单调递增；

⑵

7

解：由⑴知函数/⑺在区间口，9］上单调递增，所以/(X)M=/(9)=(，/(%)„.„=/(1)=-1,

7

所以函数/(X)在区间［1,9］上的最大值为二，最小值为-1；

(3)

解：函数“X)的图象，可由反比例函数>=心的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如

因为/(尤)=2九一^4=2-二6，而6二W0,

x+1x+lX+1

所以2--------丰2,

尤+1

所以/⑴的值域为(F,2)U(2,y).

4

25.⑴1〈尤

⑵f4-2或此2或f=0

【解析】

(1)假设机>〃，可得函数/'(X)在［T』上单调递增，根据奇偶性将不等式化为/(/-l)</(3x-3),再结合单调

性及定义域解不等式；

(2)要使/(x)W»-2成+1对Vxe［-l,“恒成立，只要/(尤)max〈r2_2R+l,由在［-1可上单调递增，可得

了(无)四，再利用关于°的一次函数性质可得不等式组，解不等式・

(1)

解：(1)由孙m时，有以叨一犯^>0,

m-n

假设机>〃，则即函数“X)在［-1」］上单调递增,

又函数为奇函数，

故/(x2-l)+/(3-3尤)<0可得/(x2-l)<-/(3-3x),

即/(X2-1)</(3X-3),

-1«尤2-141

4

-1<3-3X<1,解得：I<x4—；

,3

X2-1<3X-3

(2)

(2)由(1)得函数“X)为奇函数且在r，l]上单调递增，/(1)=1,=/(x)e[-l,l],

又f（x）<t2-2at+l对Vxe[-1,1],V«e[-词恒成立,

即产一2W+121恒成立，即产一2〃20,

设g(a)=产一2m，对1,1],g(a)20恒成立,

g（l）=/2-2/>0“WO或出2

g（-l）=/2+2r>0，（一2或此0即f<-2或此2或r=0.

26.(1)单调递减；证明见解析；

Q

(2)最大值为4；最小值为I.

【解析】

(1)根据单调性定义判断函数单调性即可；

(2)根据(1)中单调性结论，求得函数在区间内的最值.

(1)

函数在(