专题5 形形色色的切线问题（模拟+真题）2024高考总复习压轴题《数学》函数与导数解析版

第第页专题5形形色色的切线问题1．（2024·广东茂名·统考一模）曲线在点处的切线与直线平行，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】确定曲线在点处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行，故曲线在点处的切线的斜率为2，因为，所以，所以，故选：C.2．（2024·广东佛山·统考一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.【详解】因为，所以，因为为奇函数，所以对恒成立，所以，代入函数表达式得，所以，则，所以在处的切线方程为，即.故选：A3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】应用导数几何意义求切线方程.【详解】由，得，则，由，则切点为，故切线方程为，即．故选：C4．（2023·陕西西安·统考一模）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数切于点，由，得，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，设公切线与函数切于点，由，得，则公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，所以，消去，得，由，得，令，则，所以在上递减，所以，所以由题意得，即实数的取值范围是，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.5．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知点P是曲线上任意一点，点Q是直线上任一点，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.【详解】函数的定义域为全体正实数，，当时，单调递增，当时，单调递减，函数图象如下图：过点的曲线的切线与直线平行时，最小，即有，所以，故选：A

6．（2023·全国·模拟预测）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由导数的几何意义求解即可.【详解】设切点横坐标为，所作切线斜率为，则，当时，，故不存在；当时，满足：.所以：.故选：C.7．（2021·安徽蚌埠·统考二模）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案．【详解】，切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得．故选：D．8．（2023·全国·模拟预测）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据导数的几何意义列式可得，再根据韦达定理即可得答案.【详解】由题意得，过点作曲线的两条切线，设切点坐标为，则，即，由于，故，，由题意可知为的两个解，故，故选：D9．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将题意转化为与存在两个交点，令，对求导，令或者，求出斜率为的切线方程，即可求出两条切线在轴上的截距，可得实数的取值范围.【详解】解析：由可知，即与存在两个交点，令，则，令，解得：，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，令，解得，则在处的切线方程为；令，解得，则在处的切线方程为，所以与的图象如下表：

且这两条切线在轴上的截距分别为实数的取值范围为.故选：A.10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若曲线的一条切线为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义分析运算．【详解】因为，所以，设曲线与直线的切点为，由导数的几何意义可得，解得：，则，又因为又在上，所以，则故选：A.11．（2024·全国·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线也相切，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据导数的几何意义先写出曲线在处的切线方程，再设出切线与曲线相切的切点并用它表示出切线方程，比较两式系数即可求得.【详解】因为，所以，所以曲线在处的切线方程为①．设直线与曲线切于点，此时直线方程为②，比较①②两式得：把代入中，整理得：，解得，则．故选：D．【点睛】方法点睛：本题考查两曲线的公切线问题.解题思路一般是通过一条曲线上的点和该点的导数值写出切线方程，再设出该切线与另一条曲线的切点，同法写出切线方程，再对照各项系数列出方程组求解即得.12．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件转化为有解，求出与的切点，数形结合求解即可.【详解】由题意，，即有解，先求与相切时，过定点，的导数，设切点为，则由导数可知，所以，解得，即切点为，此时切线斜率，作出函数图象，如图，

由图象可知，当时，存在存在，使得成立.故选：B13．（2023·山东聊城·统考三模）若直线与曲线相切，则的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义得到，然后利用导数分析单调性求最值即可.【详解】设切点坐标为，因为，所以，故切线的斜率为：，，则.又由于切点在切线与曲线上，所以，所以.令，则，设，，令得：，所以当时，，是增函数；当时，，是减函数.所以.所以的最大值为：1.故选：B.14．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】方程恰有三个不相等的实数根可转化为与的图象的交点有3个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解.【详解】作出与的图象，如图，当时，设与相切于点，则，解得，所以，由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点.；当时，设与相切于点，由可知，，解得或（舍去），此时，而，由图象知，当时，与有3个交点.综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根.故选：A15．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知函数，则下列选项正确的是（

）A．没有极值点B．当时，函数图象与直线有三个公共点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】D【分析】当时，对求导，可得出有极小值点，可判断A；结合奇偶性，得出在R上的单调性、最值，可知当时，函数图象与直线有三个公共点，可判断B；若点是曲线的对称中心，则，令，可判断C；由导数的几何意义可判断D.【详解】因为的定义域为，关于原点对称，当时，，所以是奇函数，对于A，时，，，令，解得：，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值点，A不正确；因为是奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，且，当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，所以当时，函数图象与直线有三个公共点，故B不正确；若点是曲线的对称中心，则，则令，则，而，，故点不是曲线的对称中心，故C不正确；当时，，，则令，解得：，则切点为，在处的切线为：，故D正确.故选：D.16．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为.【答案】/0.25【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.【详解】易知的定义域为，而，故切点为，设切线斜率为，且，故，切线方程为，化简得，当时，，当时，，易知围成的图形是三角形，设面积为，故.故答案为：17．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【分析】先根据与相切，确定的值，再根据直线与相切，确定的值.【详解】因为与相切.，设切点坐标为，则切线方程为.因为切线过原点，所以：，故切点为，所以.对函数，，由，根据得切点纵坐标为：，根据得切点纵坐标为：，由，又由题可知.故答案为：【点睛】关键点点睛：先根据的切线过原点，求出的值；求时，要注意切点即在曲线上，也在切线上，根据纵坐标相等列方程求解.18．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为．【答案】2【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，把点代入切线方程，求出相应答案即可.【详解】当时，，设切点为，，又故过的切线方程为,将代入可得,解得或4，均大于0，满足要求；当时，，设切点为，又，故过的切线方程为将代入，可得解得或4，均大于0，不合要求，舍去．故答案为：2．19．（2023·广东梅州·统考三模）曲线在点处的切线方程为.【答案】【分析】根据导数的几何意义，求切点坐标与斜率，即可得切线方程.【详解】，则，则又因为当时，，所以所求的直线方程为，即.故答案为：.20．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为．【答案】【分析】利用导数的几何意义求得，再根据基本不等式，求最值.【详解】函数，所以因为函数的图象在处的切线斜率为，所以，因为，为正实数，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．21．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为．【答案】1【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，将代入，求出相应答案.【详解】当时，，设切点为，，其中，故过的切线方程为，将代入，可得，解得，满足要求，当时，，设切点为，，其中，故过的切线方程为，将代入，可得，解得，不合要求，舍去；故答案为：122．（2023·全国·模拟预测）已知函数．A，B为函数的图象上任意两点，O为坐标原点，则的最大值为．【答案】/【分析】首先根据题意分析出点A，B分别在两段曲线上，并数形结合得到直线OA，OB分别与两段曲线相切且A，B均为切点时最大，不妨设，（其中，），然后利用导数的几何意义及平面几何知识得到，，最后利用两角和的正切公式即可得解．【详解】解：当时，由，得，故当时，函数的图象是四分之一圆．在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，如图所示，要使最大，则A，B两点分别在两段曲线上，不妨设，（其中，），数形结合可知最大时，直线OA与的图象相切且A为切点，直线OB与圆相切且B为切点．由，得，当直线OA与的图象相切时，，化简得．令，易得为增函数且，所以，所以．当直线OB与圆相切时，设直线OB的方程为，则，得．所以，所以的最大值为．故答案为：23．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线过曲线上两点A，B分别作曲线的切线交于点P，．记A，B两点的横坐标分别为,则．【答案】【分析】根据导数的几何意义，结合图象及垂直的斜率关系计算即可.【详解】当x>0时，；当x<0时，，根据导数的几何意义结合图象，不妨设，．因为曲线在点A，B处的两条切线互相垂直，所以，整理得，所以是．故答案为：-124．（2023·北京·101中学校考模拟预测）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．函数是常用的激活函数之一，其解析式为．关于函数的以下结论①函数是增函数；②函数是奇函数；③对于任意实数a，函数至少有一个零点；④曲线不存在与直线垂直的切线．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】求出函数定义域，利用奇偶性定义判断函数奇偶性；求导研究函数单调性；数形结合求解零点问题；通过研究导函数的值域判断曲线不存在与直线垂直的切线．【详解】定义域为R，，所以为奇函数，②正确；恒成立，所以函数是增函数，①正确；当时，恒成立，所以在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，，此时无零点，③错误；，且，所以，故曲线不存在与直线垂直的切线．④正确.故答案为：①②④25．（2017·四川遂宁·统考一模）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是.【答案】【分析】设，，，不妨设，利用导数的几何意义判断出，写出函数在两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去，得，换元得，构造函数，，利用导数可求出结果.【详解】当时，，当时，，设，，，不妨设，若且，则由曲线在两点处的切线重合，得，得，与矛盾，若且，则由曲线在两点处的切线重合，得，得，与矛盾，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以曲线在点处的切线方程为，即，由曲线在两点处的切线重合，得且，所以，因为，所以，令，因为，所以，所以，令，，，令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，又，，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以.故答案为：.26．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】先求出切线方程，根据题意有恒成立，参变分离后恒成立，所以.【详解】设曲线过点的切线的切点为，则切线的斜率，所以，，切线方程为，所以恒成立，所以恒成立，令，则因为当，，，，所以为的极小值点，又因为时，，所以，所以.故答案为：.27．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线；(2)讨论的单调性；【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程；（2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性.【详解】（1）当时，函数，则，切点坐标为，，则曲线在点处的切线斜率为，所求切线方程为，即.（2），函数定义域为R，，①，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，②，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，③，恒成立，在上单调递增.综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增.28．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）首先得，求导得，由此即可求解.（2）首先得存在，使得，，由此即可顺利得解.【详解】（1），，．故曲线在点处的切线方程为，即．（2）由（1）得．令函数，则，所以是增函数．

因为，，所以存在，使得，即．所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．．因为，所以，所以．故．【点睛】关键点睛：第二问的关键是利用导数结合零点存在定理即可顺利得证.29．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）先求出导数，再求斜率结合点斜式写出切线方程；（2）先把恒成立问题通过参数分离转化为求最小值求出的最大值.【详解】（1）当时，，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由题意，知对任意恒成立，可知对任意恒成立．设函数，只需．对函数求导，得．设函数，对函数求导，得，所以函数在上单调递增．又，所以存在，使，即，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，所以．又，所以，所以整数的最大值为2．30．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将原不等式转化为，即不等式在R上恒成立，利用导数讨论函数的性质即可求解.【详解】（1）当时，，又因为，所以切线方程为：.（2）因为，所以，即，则恒成立，令，则，当时，，则在单调递增，当时，，则在单调递减，所以有极大值且为最大值.所以，即实数的取值范围为.31．（2024·全国·模拟预测）已知函数.(1)当时，求的图象在点处的切线方程；(2)若函数有2个零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解切线方程；（2）首先将函数，利用换元，并化简为，，再构造函数，利用导数判断函数的单调性和最小值，并结合函数的零点个数，可得，以及零点存在性定理，即可求解.【详解】（1）当时，，，，，根据导数的几何意义可知，的图象在点处的切线方程为；（2），令，即，整理为：，设，即，则，化简为，，设，，令，得，，当，，单调递减，当，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，，若函数有2个零点，即函数有2个零点，所以，得，，则，则在区间有1个零点，，设，,，设，，所以在上单调递增，，则在上单调递增，，即，则，根据函数大单调性可知，在区间有1个零点，所以函数有2个零点，则的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究切线，单调性，最值，零点，等问题，本题第二问的关键是由导数确定函数的性质，并结合函数的图象特征，零点个数，即可确定不等式.32．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值；(2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义结合给定切线求解即得.（2）对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再利用导数求解即得.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，由曲线在处的切线方程为，得，解得，，所以，.（2）当时，函数，求导得，当时，，即函数在上单调递减，不妨设，则，，不等式恒成立，即恒成立，则恒成立，设，于是，恒成立则在上单调递增，于是在上恒成立，即在上恒成立，，当且仅当时取等号，因此，所以m的取值范围为．33．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）2022年北京冬奥会仪式火种台（如图①）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊（如图②），造型风格与火炬、火种灯和谐一致.仪式火种台采用了尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”.顶部舒展开阔，寓意着迎接纯洁的奥林匹克火种.祥云纹路由下而上渐化为雪花，象征了“双奥之城”的精神传承.红色丝带飘逸飞舞、环绕向上，与火炬设计和谐统一.红银交映的色彩，象征了传统与现代、科技与激情的融合.现建立如图③所示的平面直角坐标系，设图中仪式火种台外观抽象而来的曲线对应的函数表达式为.

(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）求导，求出切线的斜率即可由点斜式求切线方程；（2）移项，构造新函数，求函数的导数，根据函数单调性求出函数最小值即可证明.【详解】（1）由得或，所以函数的定义域为，当时，，则，故所求切线方程为.（2）设，则，由得，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则函数的最大值为，故，则.34．（2023·湖南郴州·统考一模）已知函数.(1)若曲线在处切线与轴平行，求；(2)若在处取得极大值，求的取值范围.【答案】(1)1(2)【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义即可得解；（2）分类讨论的取值情况，利用导数分析的单调情况，从而得到其极值情况，由此得解.【详解】（1）因为，所以，因为曲线在处切线与轴平行，所以，解得，又，所以.（2）的定义域为，，①当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值，满足题意；②当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值，满足题意；③当时，（i）当时，所以在上单调递增，无极值，不满足题意；（ii）当时，，令，得，令，得或.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.在处取得极小值，不满足题意；（iii）当时，，令，得，令，得或.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.在处取得极大值，满足题意；综上所述，的取值范围为.

35．（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C36．（2008·全国·高考真题）曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义求解即可．【详解】∵，∴曲线在点处的切线的斜率，则倾斜角为，故选：B．37．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.38．（2019·全国·高考真题）已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．39．（2020·全国·统考高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题40．（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A． B．C． D．【答案】C【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．41．（2016·四川·高考真题）设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)【答案】A【详解】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.42．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：43．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是．【答案】【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导=0的两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，设函数，则，若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．44．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.[方法三]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；.45．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．12．（2020·全国·统考高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.【答案】【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为，，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.46．（2018·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.47．（2018·全国·高考真题）曲线在点处的切线的斜率为，则．【答案】【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：则所以故答案为-3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．48．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.【答案】4.【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q到直线的距离为，故答案为．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.49．（2019·天津·高考真题）曲线在点处的切线方程为.【答案】【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．【详解】，当时其值为，故所求的切线方程为，即．【点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．50．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析.(3).【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.（2）令，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.（3）由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，当时，，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意;当，时，由于，所以在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，令，则，函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立，则，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故，即(取等条件为)，所以，，且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.当时，，单调减，当时，，单调递增，所以.令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数得取值范围是.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.51．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究【详解】（1）的定义域为当时,,所以切点为,所以切线斜率为2所以曲线在点处的切线方程为（2）设若,当,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若,当,则所以在上单调递增所以,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若(1)当,则,所以在上单调递增所以存在,使得,即当单调递减当单调递增所以当,令则所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，，所以在上有唯一零点又没有零点,即在上有唯一零点(2)当设所以在单调递增所以存在,使得当单调递减当单调递增,又所以存在,使得,即当单调递增,当单调递减，当，，又，而,所以当所以在上有唯一零点,上无零点即在上有唯一零点所以,符合题意所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为【点睛】方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.52．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.（2）由函数的解析式可得，满足题意时在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意.当时，由可得，当时，在区间上单调递减，即单调递减，注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意.综上可知：实数得取值范围是.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．53．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．【答案】(1)(2)答案见解析(3)3个【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.【详解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解.54．（2023·天津·统考高考真题）已知函数．(1)求曲线在处切线的斜率；(2)当时，证明：；(3)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；（2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论；（3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论.【详解】（1），则，所以，故处的切线斜率为；（2）要证时，即证，令且，则，所以在上递增，则，即.所以时.（3）设，，则，由（2）知：，则，所以，故在上递减，故；下证，令且，则，当时，递增，当时，递减，所以，故在上恒成立，则，所以，，…，，累加得：，而，因为，所以，则，所以，故；综上，，即.【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键.55．（2022·北京·统考高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【答案】(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增