山东省青岛市即墨区高二上学期期末考试数学

2023—2024学年度第一学期教学质量检测高二数学试题2024.01本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回.注意事项：1.答第I卷前考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，2.选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效.一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.2.已知四面体中，为中点，若，则（）A.3B.2C.D.3.正方体分别的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（）A.B.C.D.4.等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（）A.0或2B.2或2C.2D.0或25.已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（）A.B.C.4D.26.已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（）A.3B.2C.D.7.某公司为激励创新，计划遂年加大研发资金投入.若该公司2020年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司年投入研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：）A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年8.曲线围成图形的面积为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线与直线，下列说法正确的是（）A.当时，直线的倾斜角为B.直线恒过点C.若，则D.若，则10.关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（）A.若数列的前项和，则数列为等比数列B.若的前项和，则数列为等差数列C.若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列D.若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列11.下列说法正确的是（）A.已知，则在上的投影向量为B.若是四面体的底面的重心，则C.若，则四点共面D.若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为12.已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（）A.圆的圆心坐标为，半径为B.切线C.直线的方程为D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线在轴､轴上的截距分别是和3，则直线的一般式直线方程为__________.14.若双曲线的渐近线与圆相切，则__________.15.如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，已知，则__________.16.如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，则的离心率为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.（1）求点到直线的距离；（2）求证：面.18.（12分）是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为坐标原点）的面积为6.（1）求动点的轨迹方程；（2）如图所示，斜率为且过的直线与曲线交于两点，点为线段的中点，射线与曲线交于点，与直线交于点.证明：成等比数列.19.（12分）已知等差数列中的前项和为，公差为，且成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前30项的和.20.（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.（1）若为中点，证明：面；（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列.（1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；（2）记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.22.（12分）已知抛物线，点，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与圆相切，与交与两点，.（1）求和圆的方程；（2）过上一点做圆的两条切线分别与交于两点，判断直线与圆的位置关系，并说明理由.参考答案一､选择题题号123456789101112答案DDCAABADBDADBCAC二､填空题13.14.15.或16.三､解答题17.解：证明（1）由题知以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：正四棱柱为中点（2）法一：由（1）知又面法二：设面的法向量则有令，则.面.18.（1）设动点，由于分别与直线垂直，所以，四边形是矩形，两点分别在一､四象限，点的轨迹方程为：（2）设直线的方程为：，中点直线的方程与的方程联立得：且将其代入得要证成等比数列，只要证明三点的横坐标成等比数列即可.直线的斜率直线的方程为方程与方程联立得点横坐标，点的横坐标显然成等比数列.19.解：（1）由题意，成等比数列，，即又解得（2），20.解：（1），所以为等边三角形，为中点，又，所以以为原点，分别头轴，建立空间直角坐标系，则设平面的一个法向量则令解得又面面（2）设，则设平面的法向量，则令，得平面的一个法向量设与平面所成的角为，则解得或即存在点，且或21.解：（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，所以有，所以（2）由，得两式相减得为等比数列，，解得，，22.解（1）由题意知