江西省九江市蓼南县中学高三数学文联考试卷含解析

江西省九江市蓼南县中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2） B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2） D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）参考答案：A【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f（x）为常数，可得当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，恒有f（2﹣x1）=f（2﹣x2）．②若f（x）不是常数，可得y=f（x）关于x=1对称．当x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|＜|x2﹣1|可得f（x1）＞f（x2）．当x1＜1，x2＜1时，同理可得f（x1）＞f（x2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f（x）=c，则f'（x）=0，此时（x﹣1）f'（x）≤0和y=f（x+1）为偶函数都成立，此时当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，恒有f（2﹣x1）=f（2﹣x2）．②若f（x）不是常数，因为函数y=f（x+1）为偶函数，所以y=f（x+1）=f（﹣x+1），即函数y=f（x）关于x=1对称，所以f（2﹣x1）=f（x1），f（2﹣x2）=f（x2）．当x＞1时，f'（x）≤0，此时函数y=f（x）单调递减，当x＜1时，f'（x）≥0，此时函数y=f（x）单调递增．若x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得x1﹣1＜x2﹣1，即1≤x1＜x2，所以f（x1）＞f（x2）．同理若x1＜1，x2＜1，由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得﹣（x1﹣1）＜﹣（x2﹣1），即x2＜x1＜1，所以f（x1）＞f（x2）．若x1，x2中一个大于1，一个小于1，不妨设x1＜1，x2≥1，则﹣（x1﹣1）＜x2﹣1，可得1＜2﹣x1＜x2，所以f（2﹣x1）＞f（x2），即f（x1）＞f（x2）．综上有f（x1）＞f（x2），即f（2﹣x1）＞f（2﹣x2），故选A．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．2.已知复数，，则(

)A．1－3i

B．－1+3i

C．1+2i

D．1－2i参考答案：A3.设A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，D为斜边AB的中点，则＝（

）A．1

B

-1

C．2

D．-2参考答案：B试题分析：由于∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，D为斜边AB的中点，，，，，故答案为B．考点：平面向量的数量积．5.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为

（

）

A．B．C．

D．参考答案：C略6.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积

为（

）A．

B．4

C．

D．参考答案：D7.一直两个非零向量，其中为的夹角，若则的值为A.－8

B.－6

C.8

D.6参考答案：D略8.两个相关变量满足下表：x1015202530y10031005101010111014则两变量的回归直线方程为A. B. C. D.参考答案：A略9.一束光线从点出发经轴反射到圆C：上的最短路程是

（

）A.4

B.

C.

5

D.参考答案：A略10.在区间[0，1]上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】设取出的两个数为x、y，则可得“0≤x≤1，0≤y≤1”表示的区域为纵横坐标都在[0，1]之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y＜1.5表示的区域为直线x+y=1.5下方，且在0≤x≤1，0≤y≤1所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案．【解答】解：设取出的两个数为x、y，则有0≤x≤1，0≤y≤1，其表示的区域为纵横坐标都在[0，1]之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y＜1.5表示的区域为直线x+y=1.5下方，且在0≤x≤1，0≤y≤1表示区域内部的部分，易得其面积为1﹣=，则两数之和小于1.5的概率是．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

．参考答案：12.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．【解答】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y﹣2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．13.已知向量，若且方向相反，则

．参考答案：－5

14.已知，若恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：15.二项式的展开式中，常数项是

.参考答案：-160略16.半径为的球面上有三点，，则球心到平面的距离为________参考答案：答案：５17.设函数

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx．（1）；令F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（2）设r（x）=f（x）+g（）对任意a∈（1，2），总存在x∈[，1]使不等式r（x）＞k（1﹣a2）成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出F（x）的导数，解关于导函数的方程，从而求出函数的单调区间即可；（2）a∈（1，2）时，求出F（x）的导数，判断函数在（，+∞）时，F（x）是增函数，于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln+1﹣a+k（a2﹣1）＞0恒成立，再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣lnx，x＞0F′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣1，△=a2+8＞0，解h（x）=0得：x1=＜0（舍），x2=＞0，∴F（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）r（x）=f（x）+g（）=x2﹣ax+ln，∴r′（x）=，∵a∈（1，2），∴＜，∴x∈（，+∞）时，F（x）是增函数，∴x∈[，1]，F（x）max=F（1）=1﹣a+ln，a∈（1，2），∵对任意的a∈（1，2），总存在x∈[，1]，使不等式F（x）＞k（1﹣a2）成立，∴对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a+ln＞k（1﹣a2）成立．于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln+1﹣a+k（a2﹣1）＞0恒成立．记g（a）=ln+1﹣a+k（a2﹣1），（1＜a＜2）则g′（a）=（2ka﹣1+2k），当k=0时，g′（a）=＜0，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0，由于a2﹣1＞0，∴k≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，故必有k＞0，∴g′（a）=（2ka﹣1+2k）．若﹣1＞1，可知g（a）在区间（1，min{2，﹣1}）上递减，在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故﹣1≤1，这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，∴，即k≥，∴实数k的取值范围为[，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数单调性，考查函数恒成立问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想，综合性强，难度大．19.（本小题满分12分）

如图所示，正三棱柱的所有棱长都是2，D为

的中点．

(I)求证：平面；

(Ⅱ)求锐二面角的余弦．参考答案：20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，一条准线．（1）求椭圆的方程；（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点．

①若，求圆的方程；②若是l上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程．参考答案：（1）由题设：，，，椭圆的方程为：

（2）①由（1）知：，设，则圆的方程：，

直线的方程：，

，，

，圆的方程：或

②解法（一）：设，

由①知：，即：，

消去得：=2

点在定圆=2上．

略21.（本小题共14分）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：（1）底面（2）平面（3）平面平面

参考答案：22.设椭圆：的离心率为，上一点到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围．参考答案：（1）；（2）.试题分析：(1)由题意，，解出及的值即可；(2)先讨论当不存在时，的值，当当存在时，可设直线方程为，联立方程组，由求出的范围，由根与系数关系用表示，由向量的坐标运算用表示，即可求出的取值范围.②当存在时，设直线方程为，则有整理得，∴，，（i）又，（ii），从而，（iii）（iii）代入（ii）中，∴．考点：1.椭圆的标