北京铁路职工子弟第四中学高三数学理联考试卷含解析

北京铁路职工子弟第四中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A2.已知集合M＝｛|｝，N＝｛｝，则MN＝

（

）

A．?

B．{|31}

C．｛|>1｝

D．{|31或<0}

参考答案：C略3.若复数是纯虚数，其中m是实数，

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略4.点M，N是圆上的不同两点，且点M，N关于直线对称，则该圆的半径等于A．

B．

C.1

D．3参考答案：D圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，

因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，

所以直线l：x-y+1=0经过圆心，

所以．

所以圆的方程为：x2+y2+4x+2y-4=0，圆的半径为：故选：C．

5.2020年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场.现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（

）种布阵的方式.A．6

B．12

C．24

D．144参考答案：A6.若sinθ+cosθ=﹣1，则θ是第几象限角(

)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角参考答案：C考点：同角三角函数间的基本关系；象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：化简已知等式可得sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣1，由同角的三角函数关系式，及二倍角公式即可求解．解答： 解：∵sinθ+cosθ=﹣1，∴sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣1，∴若θ是第一象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=sin2θ+cos2θ=1，不正确；若θ是第二象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=sin2θ﹣cos2θ=﹣cos2θ≠﹣1，不正确；若θ是第三象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣sin2θ﹣cos2θ=﹣1，正确；若θ是第四象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣sin2θ+cos2θ=cos2θ≠﹣1，不正确；故选：C．点评：本题主要考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．7.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为,(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25

B．75,16C．60,25

D．60,16参考答案：D8.已知，是虚数单位，是纯虚数，则等于A.

B.

C.

D.参考答案：A9.已知f（x）=x2+（sinθ﹣cosθ）x+sinθ（θ∈R）的图象关于y轴对称，则sin2θ+cos2θ的值为(

)A． B．2 C． D．1参考答案：D【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】依题意，f（﹣x）=f（x），于是可得sinθ﹣cosθ=0，利用二倍角公式即可求得sin2θ+cos2θ的值．【解答】解：∵f（x）=x2+（sinθ﹣cosθ）x+sinθ（θ∈R）的图象关于y轴对称，∴y=f（x）为偶函数，即f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）2+（sinθ﹣cosθ）（﹣x）+sinθ=x2+（sinθ﹣cosθ）x+sinθ，∴sinθ﹣cosθ=0，即sinθ=cosθ，∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+2cos2θ﹣1=2sin2θ+2cos2θ﹣1=2﹣1=1．故选：D．【点评】本题考查偶函数性质的应用，突出考查二倍角的正弦与余弦，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．10.把复数的共轭复数记作,i为虚数单位，若z=1+i,则

（A）

（B）

（C）

（D)3参考答案：A

本题主要考查了共轭复数的相关概念以及复数的运算等，难度较小。由于z=1+i，则（1+z）·=（1+1+i）（1－i）=（2+i）（1－i）=3－i，故选A；二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则

．参考答案：18设，则，=.12.等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______参考答案：10解析：由+-=0得到。13.随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm）后获得身高数据的茎叶图如图甲所示，在这20人中，记身高在［150，160），［160，170），［170，180），［180，190］内的人数依次为，图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图，则由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是

，图乙输出的S的值为

参考答案：甲，18.14.已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是

。参考答案：答案：215.

如图所示，圆的割线交圆于、两点，割线经过圆心．已知，，．则圆的半径．参考答案：8试题分析：由题可知，，设圆的半径为R，则，，由割线定理得，即，解得；考点：割线定理16.已知为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为

．参考答案：略17.（5分）定义函数y=f（x），x∈I，若存在常数M，对于任意x1∈I，存在唯一的x2∈I，使得=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，已知f（x）=log2x，x∈，则函数f（x）=log2x在上的“均值”为．参考答案：1007【考点】：进行简单的合情推理；函数的值．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：f（x）=log2x，x∈，是单调增函数，利用定义，即可求出函数f（x）=log2x在上的“均值”解：f（x）=log2x，x∈，是单调增函数，∴函数f（x）=log2x在上的“均值”为M=（log21+log222014）=1007，故答案为：1007．【点评】：此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列。求数列的通项；求数列的前项和参考答案：（1）（舍）

（2）由等比数列求和公式，略19.（本小题满分12分）

已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）记得内角的对应边为，若求的值．参考答案：解：（Ⅰ）已知函数…………2分，……………2分所以的最小正周期为；…………2分（Ⅱ）中，，…1分即，所以………2分由余弦定理得：…………2分经检验均合适.……………1分20.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.参考答案：解：（1）连接与交于点，连接因为为的中点，为的中点.

所以

又平面，平面所以平面--------------------------------------------------------8分（2）由于点到平面的距离为1

故三棱锥的体积--------21.已知数列{an}，其前n项和为Sn.（1）若对任意的，，，组成公差为4的等差数列，且，求；（2）若数列是公比为q（q≠－1）的等比数列，a为常数，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为.参考答案：解：（1）因为，，成公差为4的等差数列，所以，（），所以，，，……，，是公差为4的等差数列，且，又因为，所以（2）因为，所以，①所以，②②-①，得，③（i）充分性：因为，所以，，，代入③式，得，因为，又，所以，，所以为等比数列，（ii）必要性：设的公比为，则由③得，整理得，此式为关于的恒等式，若，则左边=0，右边=-1，矛盾：若，当且仅当时成立，所以.由（i）、（ii）可知，数列为等比数列的充要条件.

22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1（﹣，0），F2（，0），直线x+y=0与椭圆C的一个交点为（﹣，1），点A是椭圆C上的任意一点，延长AF交椭圆C于点B，连接BF2，AF2（1）求椭圆C的方程；（2）求△ABF2的内切圆的最大周长．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=，把点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a2=4，b2=2．则椭圆方程可求；（2）设出AB所在直线方程x=ty﹣，联立直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系得到A，B的纵坐标的和与积，求出|y1﹣y2|取最大值时的t值，得到A的坐标，由圆心到三边的距离相等求得最大内切圆的半径，则答案可求．【解答】解：（1）由题意得，c=，由点（﹣，1）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，得，①又a2