高等数学辅导(一)

PAGE1PAGE8第1页共9页高等数学辅导(一)多元函数微积分教学要求理解二元函数的概念，会求二元函数的定义域。熟练掌握求偏导数和全微分的方法；掌握复合函数的微分法和求隐函数偏导数的方法。记住多元函数极值存在的必要条件，会运用拉格朗日乘数法求解较简单的条件极值的应用问题。了解二重积分的定义及几何意义S=5、熟练掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法。6、掌握求曲顶柱体体积和平面图形的面积的方法。二、例题分析（一）填空题点（2，-1，2）关于y0z坐标平面的对称点是_____________；答案：（-2，-1，2）。2、在空间直角坐标系中，点P1（4，2，9）与点P2（-2，2，1）之间的距离|P1P2|=________________。3、二元函数Z=yx2+exy，则=____________。答案：e2+14、若z=，则Z’X（1，1）=____________，z’y（1，1）=_________。答案：2e22e2若Z=xln(x+y)，则=_______________。答案：-若z=f(x,y)可微，则微分dz=___________。答案：z=exy，则dz|（1，1）=_____________。答案：e(dx+dy)函数u=x3y2在点（1，1）处，当x=0.02，y=-0.01时的全微分为_____________。答案：0.049、f'x(x0,y0)=0,f'y(x0,y0)=0是f(x,y)在点（x0,y0）有极值的__________。答案：即非充分又非必要条件10、若二重积分的积分区域D是1≤x2+y2≤4，则_________。答案：3π11、若D是由X=-1，X=1，Y=-1，Y=1围成的矩形区域，则_________。答案：4.12、若D是矩型区域{(x..y)|0≤x≤1.0≤y≤1}则_________。答案：313、二次积分代成先对X，后对y的二次积分为________。答案：（二）、单项选择题点（4，0，3）在空间直角坐标系的位置在（）。A、y轴上B、xoy平面上C、xoz平面上D、第一挂限内答案：C点（2，-3，-1）关于yoz坐标平面对称的点是（）。A、（-2，-3，-1）B、（2，-3，1）C、（12，3，1）D、（-2，3，1）答案：A3、在x轴上与点（3，2，1）的距离为3所有点为（）。A、（-1，0，0）B、（5，0，0）C、（1，0，0）D、（1，0，0）和（5，0，0）4、在z轴上点（0，0，z）与点p（-4，1，7）和点Q（3，5，-2）等距离，则z为（）。A、B、C、D、-答案：C5、若点（a,b,c）在xoy平面上，则（）。A、a=0B、b=0C、c=0D、a,b,c为0答案：C6、点（0，4，3）位于（）。A、xoy坐标平面上B、xoz坐标平面上C、yoz坐标平面上D、x轴答案C7、若z=f(x,y),则()。A、B、C、D、答案：C8、若f(x,y)在(x0,y0)点有一阶偏导数，则（）。A、f(x,y)在(x0,y0)必连续B、f(x,y)在(x0,y0)可微C、f(x,y0)在x=x0连续D、f’x(x,y0)在x=x0连续答案：C9、f’x(x,y),f’y(x,y)在(x0,y0)连续是f(x,y)在(x0,y0)可微的（）。A、必要条件B、充要条件C、充分条件D、既非充分也非必要条件答案：C10、若f’x(x0,y0),f’y(x0,y0)存在，则f(x,y)在点（x0,y0）（）。有定义B、一定不可微C、一定可微D、无定义答案：A11、若z=，则=()。A、eB、C、1D、0答案：A12、若z=exsiny，则dz=（）。A、ex(sinydx+cosydy)B、excosydxdyC、exsinydxD、excosydy答案：A13、若x=ln，则=（）。A、1B、exC、yexD、y答案：C14、若由方程ez-xyz=0确定隐函数z=z(x,y)则=（）。A、B、C、D、答案：B15、函数z=x4–3x+y在定义域内（）。A、有两个驻立B、有一个驻立C、无驻立D、有三个驻立答案：C16、函数z=x2+y2在点（0，0）处（）。A、有极大值B、有极小值C、无极值D、不取驻立答案：B17、二元函数z=5–x2–y2的极大值点是（）。A、（1，0）B、（0，1）C、（0，0）D、（1，1）答案：C18、二重积分=（）。A、e–1B、eC、(e–1)2D、e2答案：C19、若D是由y=x2,y=1围成的平面区域，则=（）。A、2B、2C、D、2答案：C20、若D：x2+y2≤4，（y>0），则=（）。A、16B、4C、8D、2答案：D（三）解答题1、已知z=f(x2–y2)，求，。解：=2xf’=2x.f’’(x2–y2).(-2y)=-4xyf’’已知z=xy+xf(u),u=，求。解：=y+f(u)+x.f’(u).(-)=y+f(u)-f’(u)已知z=f(x2+y2)，且f可微，证明：证明：∴即4、z=sin(x2y),求dz。解：∴已知，求dz。解：原方程为zlnz–zlny–x=0设F(x,y,z)=zlnz–zlny–x∴6、已知，而x=sint,y=t3,求。解：==7、求函数z=x3+y3–3xy的极值。解：由极值存在的必要条件。令解之：，即驻点为（0，0）和（1，1）对于点（0，0）。因此B2-AC=9>0，故（0，0）不是极值点。对于（1，1），A=。因此B2–AC=（-3）2-6×6=-27<0故（1，1）为极小值点，极小值为。工厂生产甲、乙两种产品，其出售价格分别为10元/件，9元/件。若生产甲、乙两种产品分别为x件、y件时，总费用为400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)，问甲、乙产品的产量各为多少时，可使总利润最大？解：因为总利润L（x,y）=10x+9y-[400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)]=8x+6y–400–0.01(3x2+xy+3y2)L’x=8–0.01(6x+y)L’y=6–0.01(x+6y)令解得驻点（120，80）。由得B2–AC=-0.0035<0，且A<0。∴点（120，80