高等数学课后习题答案第十二章

习题十二1．写出下列级数的一般项：(1)；(2)；(3)；解：(1)； (2)； (3)；2．求下列级数的和：(1)；(2)；(3)；解：(1)从而因此，故级数的和为(2)因为从而所以，即级数的和为．(3)因为从而，即级数的和为．3．判定下列级数的敛散性：(1)；(2)；(3)；(4)；解：(1)从而，故级数发散．(2)从而，故原级数收敛，其和为．(3)此级数为的等比级数，且|q|<1，故级数收敛．(4)∵，而，故级数发散．4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1)； (2)；(3)．解：(1)当P为偶数时，当P为奇数时，因而，对于任何自然数P，都有，ε>0，取，则当n>N时，对任何自然数P恒有成立，由柯西审敛原理知，级数收敛．(2)对于任意自然数P，都有于是，ε>0(0<ε<1)，N=，当n>N时，对任意的自然数P都有成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P=n，则从而取，则对任意的n∈N，都存在P=n所得，由柯西审敛原理知，原级数发散．5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．(1)；(2)(3)； (4)；(5)； (6)．解：(1)∵而收敛，由比较审敛法知收敛．(2)∵而发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵而收敛，故也收敛．(4)∵而收敛，故收敛．(5)当a>1时，，而收敛，故也收敛．当a=1时，，级数发散．当0<a<1时，，级数发散．综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0<a≤1时，原级数发散．(6)由知而发散，由比较审敛法知发散．6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1)； (2)；(3)；(1)解：(1)，，由比值审敛法知，级数收敛．(2)所以原级数发散．(3)所以原级数发散．(4)故原级数收敛．7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1)； (2)；(3)；(4)，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．解：(1)，故原级数发散．(2)，故原级数收敛．(3)，故原级数收敛．(4)，当b<a时，<1，原级数收敛；当b>a时，>1，原级数发散；当b=a时，=1，无法判定其敛散性．8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)； (2)；(3)；(4)； (5)；(6)．解：(1)，级数是交错级数，且满足，，由莱布尼茨判别法级数收敛，又是P<1的P级数，所以发散，故原级数条件收敛．(2)，为交错级数，且，，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于所以，发散，所以原级数条件收敛．(3)民，显然，而是收敛的等比级数，故收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为．故可得，得，∴，原级数发散．(5)当α>1时，由级数收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数满足条件：；，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，，所以原级数发散．(6)由于而发散，由此较审敛法知级数发散．记，则即又由知，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，而且是条件收敛．9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．(1)，x∈[-3,3]； (2)，x∈[0,1]；(3)，x∈(-∞,+∞)； (4)，|x|<5；(5)，x∈(-∞,+∞)解：(1)∵，x∈[-3,3]，而由比值审敛法可知收敛，所以原级数在[-3,3]上一致收敛．(2)∵，x∈[0,1]，而收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．(3)∵，x∈(-∞,+∞)，而是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．(4)因为，x∈(-5,5)，由比值审敛法可知收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．(5)∵，x∈(-∞,+∞)，而是收敛的P-级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n．都有|Un(x)|≤Vn(x)，则当在Ⅰ上一致收敛时，级数在这区间Ⅰ上也一致收敛．证：由在Ⅰ上一致收敛知，ε>0，N(ε)>0，使得当n>N时，x∈Ⅰ有|Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|<ε，于是，ε>0，N(ε)>0，使得当n>N时，x∈Ⅰ有|Un+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x)|≤Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)≤|Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|<ε，因此，级数在区间Ⅰ上处处收敛，由x的任意性和与x的无关性，可知在Ⅰ上一致收敛．11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…； (2)；(3)； (4)；解：(1)因为，所以收敛半径收敛区间为(-1,1)，而当x=±1时，级数变为，由知级数发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为所以收敛半径，收敛区间为(-e,e)．当x=e时，级数变为；应用洛必达法则求得，故有由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．所以当x2<1即|x|<1时，级数收敛，x2>1即|x|>1时，级数发散，故收敛半径R=1．当x=1时，级数变为，当x=-1时，级数变为，由知，发散，从而也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t=x-1，则级数变为，因为所以收敛半径为R=1．收敛区间为-1<x-1<1即0<x<2.当t=1时，级数收敛，当t=-1时，级数为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为0≤x≤2，即[0,2]12．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：(1)； (2)；解：(1)由知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时，的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．记易知的收敛域为(-1,1)，记则于是，所以(2)由知，原级数当|x|<1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记，易知级数收敛域为(-1,1)，记，则，故即，，所以13．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：(1)f(x)=ln(2+x)； (2)f(x)=cos2x；(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)； (4)；(5)； (6)；(7)f(x)=excosx； (8)．解：(1)由于，(-1<x≤1)故，(-2≤x≤2)因此，(-2≤x≤2)(2)由，(-∞<x<+∞)得所以，(-∞<x<+∞)(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)由，(-1≤x≤1)所以(-1≤x≤1)(4)由于(-1≤x≤1)故 (-1≤x≤1)(5)(6)由，x∈(-∞,+∞)得，x∈(-∞,+∞)所以(7)因为为的实部，而取上式的实部．得(-∞<x<+∞)(8)由于|x|<1而，所以(|x|<2)14．将展开成(x+4)的幂级数．解：而又所以15．将函数展开成(x-1)的幂级数．解：因为所以(-1<x-1<1)即16．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值：(1)ln3（误差不超过0.0001）； (2)cos20（误差不超过0.0001）解：(1)，x∈(-1,1)令，可得，故又故 ．因而取n=6则(2)∵；故17．利用被积函数的幂级数展开式，求定积分（误差不超过0.001）的近似值．解：由于，（-1≤x≤1）故而，，．因此18．判别下列级数的敛散性：(1)； (2)；(3)．解：(1)∵而故级数发散，由比较审敛法知原级数发散．(2)∵由比值审敛法知级数收敛，由比较审敛法知，原级数收敛．(3)∵由知级数收敛，由比较审敛法知，原级数收敛．19．若存在，证明：级数收敛．证：∵存在，∴M>0，使|n2Un|≤M，即n2|Un|≤M，|Un|≤而收敛，故绝对收敛．20．证明，若收敛，则绝对收敛．证：∵而由收敛，收敛，知收敛，故收敛，因而绝对收敛．21．若级数与都绝对收敛，则函数项级数在R上一致收敛．证：Un(x)=ancosnx+bnsinnx，x∈R有由于与都绝对收敛，故级数收敛．由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数在R上一致收敛．22．计算下列级数的收敛半径及收敛域：(1)； (2)；(3)解：(1)∴，又当时，级数变为，因为所以当，级数发散，故原级数的收敛半径，收敛域(-,)．(2)故，又∵．所以当(x+1)=±2时，级数发散，从而原级数的收敛域为-2<x+1<2，即-3<x<1，即(-3,1)(3)∴，收敛区间-2<x-1<2，即-1<x<3．当x=-1时，级数变为，其绝对收敛，当x=3时，级数变为，收敛．因此原级数的收敛域为[-1,3]．23．将函数展开成x的幂级数．解：由于所以 （|x|≤1）24．判别下列级数在指定区间上的一致收敛性：(1)，x∈[-3,+∞)； (2)，x∈(2,+∞)；(3)，x∈(-∞,+∞)；解：(1)考虑n≥2时，当x≥-3时，有而收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数在[-3,+∞)上一致收敛．(2)当x>2时，有由知级数收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数在(2,+∞)上一致收敛．(3)x∈R有而收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数在(-∞,+∞)上一致收敛．25．求下列级数的和函数：(1)； (2)；(3)； (4)．解：(1)可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1时，级数是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]记则S1(0)=0,所以即S1(x)=arctanx，所以S(x)=xarctanx，x∈[-1,1]．(2)可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1时，原级数发散．记则，即，S(0)=0所以，(|x|<1)(3)由知收敛域为(-∞,+∞)．记则，所以，(-∞<x<+∞)(4)由知收敛半径R=1，当x=1时，级数变为，由知级数收敛，当x=-1时，级数变为是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]．记则S(0)=0，，（x≠1）所以即即当x≠0时，，又当x=1时，可求得S(1)=1（∵）综上所述26．设f(x)是周期为2π的周期函数，它在(-π,π]上的表达式为试问f(x)的傅里叶级数在x=-π处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x=-π是它的间断点，在x=-π处，f(x)的傅里叶级数收敛于27．写出函数的傅里叶级数的和函数．解：f(x)满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f(x)，在间断点x=0，x=±π处，分别收敛于，，，综上所述和函数．28．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在[-π,π)上的表达式为：(1)(2)；(3)(4).

解：(1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件，x=nπ，n∈z是其间断点，在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛于，在x≠nπ，有于是f(x)的傅里叶级数展开式为(x≠nπ)(2)函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，从而f(x)cosnx为偶函数，f(x)sinnx为奇函数，于是，，(n=1,2,…)所以，f(x)的傅里叶级数展开式为：(-∞<x<∞)(3)函数在x=(2n+1)π(n∈z)处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x≠(2n+1)π时，由f(x)为奇函数，有an=0,（n=0,1,2,…）所以(x≠(2n+1)π,n∈z)(4)因为作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，有bn=0(n=1,2,…)，所以f(x)的傅里叶级数展开式为：x∈[-π,π]29.将下列函数f(x)展开为傅里叶级数：(1)(2)解：(1)故(-π<x<π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，有bn=0,所以(0≤x≤2π)30.设f(x)=x+1(0≤x≤π)，试分别将f(x)展开为正弦级数和余弦级数.解：将f(x)作奇延拓，则有an=0(n=0,1,2,…)从而(0<x<π)若将f(x)作偶延拓，则有bn=0(n=1,2,…)从而(0≤x≤π)31.将f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和.解：f(x)在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f(x)是偶函数，故bn=0,(n=1,2,…)所以，x∈[-1,1]取x=0得，，故所以32.将函数f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f(x)作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有bn=0(n=1,2,3,…)故(0≤x≤2)33.设，-∞<x<+∞，其中，求.解：先对f(x)作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f(x)展开成余弦级数而得到s(x)，延拓后f(x)在处间断，所以34.设函数f(x)=x2(0≤x<1)，而，-∞<x<+∞，其中(n=1,2,3,…)，求.解：先对f(x)作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f(x)展开成正弦级数得到s(x)，延拓后f(x)在处连续，故..35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：(1)f(x)=1-x2；(2)解：（1）f(x)在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f(x)，由于f(x)为偶函数，有bn=0(n=1,2,3,…)，所以(-∞<x<+∞)(2)，而函数f(x)在x=3(2k+1)，k=0,±1,±2,…处间断，故(x≠3(2k+1)，k