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习题1211试说出下列各微分方程的阶数(1)x(y)22yyx0解一阶(2)x2yxyy0解一阶(3)xy2yx2y0解三阶(4)(7x6y)dx(xy)dy0解一阶(5)解二阶(6)解一阶2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解(1)xy2yy5x2解y10x因为xy10x22(5x2)2y所以y5x2是所给微分方程的解(2)yy0y3sinx4cosx解y3cosx4sinx因为yy3cosx4sinx3sinx4cosx7sinxcosx0所以y3sinx4cosx不是所给微分方程的解(3)y2yy0yx2ex解y2xexx2exy2ex2xex2xexx2ex2ex4xexx2ex因为y2yy2ex4xexx2ex2(2xexx2ex)x2ex2ex0所以yx2ex不是所给微分方程的解(4)y(12)y12y0解因为0所以是所给微分方程的解3在下列各题中验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解(1)(x2y)y2xyx2xyy2C解将x2xyy2C的两边对x2xyxy2yy0即(x2y)y2xy所以由x2xyy2C(2)(xyx)yxy2yy2y0yln(xy)解将yln(xy)的两边对x求导得即再次求导得注意到由可得所以从而(xyx)yxy2yy2y0即由yln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解4在下列各题中确定函数关系式中所含的参数使函数满足所给的初始条件(1)x2y2Cy|x05解由y|x00得0252CC25故x2y225(2)y(C1C2x)e2xy|x00y|x01解yC2e2x2(C1C2x)e2x由y|x00y|x01得解之得C10C21故yxe2(3)yC1sin(xC2)y|x1y|x0解yC1cos(xC2)由y|x1y|x0得即解之得C11故即ycosx5写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程(1)曲线在点(xy)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方解设曲线为yy(x)则曲线上点(xy)处的切线斜率为y由条件yx2这便是所求微分方程(2)曲线上点P(xy)处的法线与x轴的交点为Q且线段PQ被y轴平分解设曲线为yy(x)则曲线上点P(xy)处的法线斜率为由条件第PQ中点的横坐标为0所以Q点的坐标为(x0)从而有即yy2x0

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