高等数学(经济类)课后习题及答案第十二章-微分方程答案

习题12—1（A）1.指出下列各微分方程的阶数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；答案：（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）三阶；（5）五阶；（6）二阶；（7）四阶.2.验证下列各函数是否为所给微分方程的解.如果是解，请指出是通解，还是特解？（1）函数，微分方程；（2）函数，微分方程；（3）由确定的函数，微分方程；（4）函数（其中是给定的实数），微分方程．解：（1）因为，左式右式，所以函数是微分方程解．又因为函数不包含任意常数，所以是特解．（2）因为，即，所以函数是微分方程解，但是由于中只有一个任意常数，又因为微分方程是二阶的，所以既不是微分方程的通解，也不是特解，只是解．（3）等式两边同时对求导，有，整理得，所以由确定的函数是的解，又中含有一个任意常数，而是一阶微分方程，所以是通解．（4）因为，则有，所以．当时，，则是微分方程的解，并且是特解；当时，，则不是微分方程的解．3.若函数是微分方程的解，求的值．解：由得，，，将它们代入微分方程，得，所以，或．4．验证下列所给的各函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解.（1）函数，微分方程，初始条件；（2）函数，微分方程，初始条件；（3）函数，微分方程，初始条件，.解：（1）因为，所以．又中含有一个任意常数，是一阶微分方程，所以函数是微分方程的通解．由，可得，所以微分方程满足初始条件的特解是．（2）对隐函数的两边求关于的导数，得，即．又中含有一个任意常数，是一阶微分方程，所以隐函数是微分方程的通解．由，可得，所以微分方程满足初始条件的特解是．（3）因为，，所以．又因为函数中含有两个独立的任意常数，而是二阶微分方程，所以是微分方程的通解．由初始条件，，有得，，所以微分方程满足初始条件，的特解是．习题12—1（B）1．给定微分方程，（1）求过点的积分曲线方程；（2）求出与直线相切的积分曲线方程．解：易验证是微分方程的通解．（1）由曲线过点，有，得，所求积分曲线为．（2）若曲线与直线相切，则有（斜率相等），得．当时，，所以切点为，将其代入，有，得，所求曲线为．2．将积分方程（其中是连续函数）转化为微分方程，给出初始条件，并求函数．解：将两边同时对求导，有，即，这就是所求的微分方程，容易得到其通解为．将代入到原方程中，有，得初始条件为，所以有，得，所求函数为．

习题12—2（A）1.求下列可分离变量的微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）分离变量，两边积分，整理得通解为．（2）分离变量，两边积分，整理得通解为，或写作．（3）分离变量，两边积分，整理得通解为，进而原方程通解为：．（4）分离变量有，整理得，两边积分，整理得通解为，进而原方程通解为：．2.求下列齐次方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）将方程改写为，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即，所以原方程通解为．（2）将方程改写为，令则，于是原方程化为，即，积分得，即，所以原方程通解为．（3）将方程改写为，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即，所以原方程通解为．（4）将方程改写为，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即（其中，所以原方程通解为，或写作．3.求下列一阶线性微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）法一：相应齐次方程为，即，积分得，即（其中．令，代入原方程，有，即，得，所以原方程通解为．法二：、，方程通解为．（2）、，方程通解为．（3）、，方程通解为．（4）方程化为，则有、，方程通解为．4．求下微分方程满足所给初始条件的特解：（1），；（2），；（3），；（4），．解：（1）这是可分离变量方程，分离变量为，积分得，即方程通解为．由，有，方程特解为．（2）这是齐次方程，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即方程的通解为（其中．由，可得，所以方程特解为．（3）这是一阶线性方程，，因此，方程通解为．由，有，得，方程特解为．（4）原方程可化为，这是一阶线性方程，、，方程通解为．由，有，得，所以方程特解为．习题12—2（B）1．求下列伯努利微分方程的通解：（1）；（2）．解：（1），令（），则原方程化为，即，该方程通解为．所以，原方程通解为．（2），令（），则原方程化为，即，该方程通解为．所以，原方程通解为．2．用适当的变量代换求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）令，则，于是，分离变量有，积分得，原方程通解为．（2）令，则，于是，即，分离变量得，或，积分得，所以原方程通解为．（3）令，则，于是，分离变量得，积分得，即，所以原方程通解为．（4），即，则，原方程化为，分离变量有，该方程通解为，即，所以原方程通解为．3．求微分方程的通解．解：将方程改写为这是以为未知函数的齐次方程，为此令，则，于是方程化为，分离变量有，积分得，即，进而原方程通解为．4．求微分方程的通解．解：方程改写为，即，这是一阶线性微分方程，通解为．５．设函数连续，且不恒为零，若，求函数．解：方程两边同时对求导，有，分离变量有，得通解为．记，则，令，得初始条件．用代入到之中，有，所以．由，得，所以．６．设连续函数满足，求函数．解：方程两边同时对求导，有，令，则方程可以改写为，即，这是一阶线性微分方程，通解为．用代入到方程之中，得初始条件，于是，故，于是，即所以函数为（注：根据初始条件，所以不能取）．

习题12—3（A）1.求下列各微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1），．（2），，．（3）方程不显含，令，则，于是，分离变量为，积分得，即（其中，于是原方程降阶为，原方程通解为．（4）方程不显含，令，则，于是，这是一阶线性微分方程，其通解为，于是原方程降阶为，所以原方程的通解为．（5）方程不显含，令，则，于是，即，这是可分离变量的方程，先分离变量，再两边积分，并整理可得．所以，解得，这就是原方程的通解．2.求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1），，，；（2），，；（3），，．解：（1），由，得，所以；，由，得，所以；，由，得，所以方程满足初始条件的特解为．（2）方程不显含，令，则，原方程化为，此方程通解为，即，由，得，从而，此方程通解为，由，得，所以方程满足初始条件的特解为．（3）方程不显含，令，则，于是，分离变量有，积分得，即，由，可知道，所以，再由，，得，所以．分离变量有，积分得，由，得，于是，化简为，这就是方程满足初始条件的特解．习题12—3（B）1.求下列各微分方程的通解：（1）（，为常数）；（2）；（3）．解：（1）由于，，故原方程的通解为．（２）方程不显含，令，则，于是，即，这是齐次方程，令，则，原方程化为，分离变量有，积分得，即，原方程降阶为，原方程通解为．（３）方程既不显含，也不显含．（方法1）令，则，则，分离变量有，积分得，即，原方程降阶为，所以原方程的通解为．（方法2）令，则，于是，分离变量有，积分得，即原方程降阶为，分离变量为，积分得，化简为，这就是原方程的通解．2.求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1），，；（2），，；（3），，．解：（1）按不显含的方程求解，（注：本题按不显含方程求解困难）．令，则，于是，分离变量有，积分得，即，由，得，于是，积分得，由，得，所以方程满足初始条件的特解为．（2）令，则，得，因为不满足初始条件，所以，分离变量有，积分得，即．由初始条件，，有，得，故．分离变量，积分并整理得．再由初始条件，得，所以原方程满足初始条件的特解为．（3）这是不含的二阶可降阶微分方程，令，则，则方程化为．因为不满足初始条件，所以，分离变量有，积分得，解得．由初始条件，，有，得，故，分离变量有，积分得，再由初始条件，得，所以原方程满足初始条件的特解为，即．

习题12—4（A）1．指出下列各对函数在其定义区间内的线性相关性：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与；（5）与；（6）与；（7）与；（8）与（）．解：（1）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关．（2）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关．（3）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关．（4）因为恒为常数，所以与在区间内线性相关．（5）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关．（6）因为恒为常数，所以与在区间内线性相关．（7）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关．（8）因为恒为常数，所以与在区间内线性相关．2．验证函数，是微分方程的两个线性无关的解，并写出该方程的通解．解：因为，所以，因此，所以是的解；同理，是的解．又因为不恒为常数，所以函数，是微分方程的两个线性无关的解．因此二阶线性齐次微分方程通解为．3．通过观察给出微分方程的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解．解：是二阶线性齐次微分方程，改写为，二阶导数与自身呈相反数的函数有，，它们是的两个解，又不恒为常数，于是，线性无关，所以方程的通解为．4．写出下列各二阶常系数线性齐次微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）特征方程为，即，特征根为、（不相等实根），所以方程的通解是．（２）特征方程为，即，特征根为（两个相等实根），所以方程的通解是．（3）特征方程为，由二次代数方程求根公式，得特征根为（一对共轭复根），所以方程的通解是．（4）特征方程为，特征根为、（不同实根），所以方程的通解是（注意是自变量，是因变量）．5．求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1），，；（2），，；（3），，．解：（1）特征方程为，即，特征根为、，所以方程的通解是，且．由初始条件，，有得所以方程满足初始条件，的特解是．（2）特征方程为，即，特征根为，所以方程的通解是，且．由初始条件，，有得所以方程满足初始条件，的特解是．（3）特征方程为，由二次代数方程求根公式，得特征根为，所以方程的通解是，且．由初始条件，，有得所以方程满足初始条件，的特解是．

6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，不是特征根，因此设，将其代入到原方程之中，有，比较系数得，于是原方程的一个特解为．原方程的通解为．（2）相应齐次方程为，特征方程，即，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，是二重特征根，因此设，将其代入到原方程之中，化简有，得，于是原方程的一个特解为，原方程的通解为．（3）相应齐次方程为，特征方程，即，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，不是特征根，因此设，代入到原方程之中，有，比较系数有得，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解为．（4）相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，，是单重特征根，因此设，将其代入到原方程之中，化简有，比较系数得，于是原方程的一个特解为，所以原方程的通解为．7．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解：（1），，；（2），，；解：（1）相应齐次方程为，特征方程，特征根为、，相应齐次方程通解为．这里，、是单重特征根，因此设，代入到原方程之中，有，得，，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解为．，由初始条件，，有得、，所以方程满足初始条件，的特解为．（2）相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，不是特征根，因此设，代入到原方程之中，有，得于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解为．，由初始条件，，有得、，所以方程满足初始条件，的特解为．8.求常系数线性非齐次微分方程的通解.解：相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，将其分为，、．对，这里是单重特征根，因此设，代入到之中，有，比较系数得，于是方程的一个特解为；对，不难观察得一个特解．于是，原方程的一个特解为．所以，原方程的通解为．.习题12—4（B）1．若，是二阶线性非齐次微分方程的两个解，证明是相应线性齐次微分方程的解．证：因为，所以．所以是相应线性齐次微分方程的解．2．已知函数，，都是微分方程的解，写出该方程的通解．解：是二阶非齐次线性微分方程，由函数，，都是它的解，根据上题，则是相应齐次线性微分方程的两个解，而它们之比不恒等于常数，于是它们是线性无关的解，所以的通解为，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得方程的通解是．3．若二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是，则该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根是，于是特征方程是，即，所以微分方程为，通解为．4．若二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解，则该二阶常系数线性齐次微分方程有一个特征根，并且是二重根，于是特征方程是，即，所以微分方程为，通解为．5．求下列各常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）；（2）．解：（1）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为．这里，最高多项式次数，是单重特征根，为此设，代入到原方程之中，有，比较系数有得，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解是．（2）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为．对原方程，这里是单重特征根，为此设，代入到原方程之中，有，即，得，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解是．6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解：（1），，；（2），，．解：（1）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为．对原方程，这里多项式最高次数是单重特征根，为此设，代入到原方程之中，有，比较系数有，得，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解是．，由初始条件，，得，所以方程满足初始条件的特解为．（2）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为．对原方程，这里多项式最高次数不是特征根，为此设，代入到原方程之中，有，比较系数有得于是原方程的一个特解为，原方程的通解是．，由初始条件，，有得，所以原方程满足初始条件的特解是．7．若连续函数满足，求的表达式．解：，，，于是函数满足微分方程，初始条件是．是二阶常系数线性非齐次微分方程，相应齐次方程是，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为．对原方程，这里不是特征根，为此设，代入到原方程之中，得，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解是．因为，由初始条件，有得，所以所求函数是．8.证明：若满足方程，则必满足方程，并求方程的解．解：先证必满足方程．由于，则求导可得，故证明了必满足方程．下面求解方程．由于方程的通解为，且，所以，令可得，则，从而方程的解为．

习题12—5（A）1.设在冷库中存储的某种新鲜水果500吨，放置一段时间之后开始腐烂，腐烂率是未腐烂数量的0.001倍，设腐烂的数量为吨，则显然它是时间的函数，求此函数的表达式．解：由题意知 ，分离变量得， ，两边积分，并整理得 （为任意常数），再结合，容易求出，所以水果腐烂数量与时间的函数关系式为．2.已知某商品的需求量（单位：kg）对价格（单位：元）的弹性为，且当时，需求量Kg.（1）求该商品对价格的需求函数；（2）求当价格元时，市场对该商品的需求量；（3）当时，需求量是否趋于稳定？解：（1）由已知条件知，，分离变量得，所以有（为任意常数）．再由得，，所以．（2）由（1）可知，当元时，（kg）．（3）由可知，当时，，即随着商品价格的无限增大，需求量将趋于零，是稳定的．3.记某型号小轿车的运行成本为，转让价值为，其中为自购买开始计的时间．设运行成本与转让价值满足的方程为 ，，其中，为已知的常数，且，（购买成本），求和．解：先考虑微分方程，易求得此方程的通解为，再结合购买成本，得小轿车的转让价值函数．将其代入微分方程，得，因此运行成本满足的函数为．4.考虑在某池塘里养鱼，一开始放养200条，鱼可以自然繁殖，鱼塘最多能容纳2000条鱼．设在时刻池塘内鱼的数量为，经验表明，池塘内鱼数量的变化率与池内鱼数和池内还能容纳的鱼数的乘积成正比．又知第3个月末池塘内鱼的数量为500条，求放养个月末时池塘内鱼数的表达式和放养半年后池塘内鱼的条数．解：由题意，个月末时池塘内鱼数满足 ，，，这是一个可分离变量微分方程，分离变量并两边积分，得 ，将，代入上式，解得，．因此，个月末时池塘里的鱼数与时间的函数关系式为 ，即 ．于是，当放养6个月后池塘里的鱼数为 （条）．习题12—5（B）1.设市场上某商品的需求函数为 ，供给函数为 ，这里假定初始值分别为，．试求在市场均衡条件（）下该商品的价格函数．解：由题意，市场供需平衡时有，整理得 ，这是一个常系数的二阶非齐次线性微分方程．其特征方程为，易求得，，所以其对应的齐次线性微分方程的通解为．又由于右端函数为，所以可假设特解形式为，将其代入方程，得，因此非齐次线性微分的通解为．再结合初始条件，，可求得，，所以商品的价格函数为．2.某公司的办公用品成本与公司员工人数相关，如果办公用品的边际成本为 ，且，求办公用品成本函数．解：由题意，成本函数满足的方程可化为 ，这是一个伯努利方程，令，即，则上面的方程可化为 ，由一阶线性微分方程的通解公式，得 ，所以 ，再由可得，因此办公用品成本函数为 ．

总习题十二1．填空题：（1）若函数是微分方程的解，则.（2）若一阶线性微分方程有两个特解，则该方程通解为.（3）以为一个特解的二阶常系数线性齐次微分方程为.（4）过点，且在点的切线斜率为的曲线方程为.（5）微分方程的特解形式为．解：（1）填．理由如下：将代入到方程中，有，得.（2）填.理由如下：根据据线性方程解的性质，是相应齐次方程的一个特解，相应齐次方程的通解是，由于线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与相应齐次方程的通解之和，所以原方程的通解是．（3）填．理由如下：通过二阶常系数线性齐次微分方程有特解，可以看到该微分方程有特征根，从而也是特征根，于是特征方程为，即，所以该微分方程是.（4）填（）．理由如下：设曲线方程为，根据已知有，分离变量为，积分得，即，由初始条件，得，所以所求曲线为（），（5）填．理由如下：非齐次方程对应齐次方程为，特征方程为，特征根为．对，这里不是特征根，因此；对，这里是单重特征根，因此；对，这里是单重特征根，因此，所以方程有形如的特解.2．单项选择题：（1）微分方程是（）；(A)变量可分离方程(B)齐次方程(C)关于的一阶线性方程(D)关于的一阶线性方程（2）已知是二阶线性齐次微分方程的两个解，则（其中是任意常数）（）；(A)是方程的通解(B)是方程的一个特解(C)是方程的解(D)不是方程的解（3）微分方程的特解形式是（）；(A)(B)(C)(D)（4）曲线在点处的切线方程为，如果满足，则函数（）；(A)(B)(C)(D)（5）若连续函数满足关系式，则（）．(A)(B)(C)(D)解：（1）选D，事实上：将方程改写为，具有（其中）的形式，所以是关于的一阶线性方程.（2）选C，事实上：根据定理4.1，是方程的解，则D被排除；而由中可能有任意常数，则B被排除；而可能线性相关，这时可以合并为一个任意常数，则A被排除，因此符合条件的只有C.（3）选B，事实上：相应齐次方程为，特征方程，特征根为，，对微分方程，这里是单重特征根，因此；对方程微分，这里不是特征根，因此，原方程有特解形式.（4）选C，事实上：由，有，根据条件曲线在点处的切线方程为，得初始条件是，于是，，所以.（5）选B，事实上：等式两边同时对求导，得，初始条件，由分离变量有，积分得，即，由初始条件，得，所以．3．求下列微分方程的通解：（1）；（2）（）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1）方程改写为，分离变量有，积分得，即，记则原方程通解为.（2）方程改写为，令，则，于是，分离变量有，积分得，通解为，即.（3）方程改写为，这是一阶线性微分方程，通解为.（4）方程改写为，这是关于的线性方程，通解为.（5）这是不显含的二阶可降阶微分方程，令，则，原方程化为，分离变量为，积分得，即，所以原方程的通解是.（6）这是不含的二阶可降阶微分方程.（方法1）令，则，原方程化为，分离变量有，即，积分得，化简为，所以原方程通解为．（方法2）令，则，原方程化为，分离变量有，积分得，即，分离变量有，积分得，化简为，这就是原方程的通解.（7）相应齐次方程为，特征方程为，即，特征根为，相应齐次方程的通解为.对原方程，这里，是单重特征根，为此设，将其带入原方程之中，化简有，比较系数得，于是原方程的一个特解为.所以，原方程的通解是.（8）相应齐次方程为，特征方程为，即，特征根为，相应齐次方程的通解为.对方程，这里不是特征根，为此设，代入到方程之中，有，比较系数得，所以方程的