高中数学必修二讲义-专题4.3-空间直角坐标系

一、空间直角坐标系定义以空间中两两__________且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标__________，x轴、y轴、z轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy平面、yOz平面、__________平面．画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝__________，∠yOz＝90°．图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__________轴的正方向，食指指向__________轴的正方向，如果中指指向__________轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组之间的关系如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的__________，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x叫做点M的__________，y叫做点M的__________，z叫做点M的__________．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标点的位置点的坐标形式原点（0，0，0）x轴上（a，0，0）y轴上（0，b，0）z轴上（0，0，c）xOy平面上（a，b，0）yOz平面上（0，b，c）xOz平面上（a，0，c）3．空间直角坐标系中的对称点设点P（a，b，c）为空间直角坐标系中的点，则对称轴（或中心或平面）点P的对称点坐标原点x轴y轴（－a，b，－c）z轴xOy平面yOz平面xOz平面三、空间两点间的距离公式如图，设点是空间中任意两点，且点在xOy平面上的射影分别为M，N，那么M，N的坐标分别为．在xOy平面上，．在平面内，过点作的垂线，垂足为H，则，所以．在中，，根据勾股定理，得____________________________．因此，空间中点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）之间的距离是____________________________．特别地，点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离为|OP|＝．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．K知识参考答案：三、K—重点1．会建立空间直角坐标系（右手直角坐标系），会表示空间中的任意点；2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标；3．记住空间两点间的距离公式，并能应用两点间的距离公式解决一些简单的问题．K—难点对空间直角坐标系的理解，空间两点间距离公式的推导．K—易错易混淆平面与空间直角坐标系．1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作MB⊥y轴于点B；③设P（x，y，z），则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|．当点A、B、C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时，则x、y、z的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．【解析】以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．【名师点睛】空间中点P坐标的确定方法（1）由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px、Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD1|=2，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F的坐标．【例3】如图，在正方体中，分别是的中点，棱长为1．试建立适当的空间直角坐标系，写出点的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：点在面上的射影为，竖坐标为．所以．在面上的射影为的中点，竖坐标为1．所以．方法二：，，，为的中点，为的中点．故点的坐标为即，点的坐标为，即．2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为A． B．C． D．【答案】A【解析】点关于x轴对称的点的坐标为．【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为A． B．C． D．【答案】C【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．（2）空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1（－x，－y，－z）；②关于x轴（横轴）对称的点的坐标是P2（x，－y，－z）；③关于y轴（纵轴）对称的点的坐标是P3（－x，y，－z）；④关于z轴（竖轴）对称的点的坐标是P4（－x，－y，z）；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5（x，y，－z）；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6（－x，y，z）；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7（x，－y，z）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点，则的中点的坐标为．3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点，，求：（1）线段的长度；（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体的体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．当2|C1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD是矩形，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF．∵，∴，，∴，又F为PC的中点，∴PC⊥EF．【例9】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(3,4)a，a)).根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(3a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－a))2)＝eq\f(\r(6),4)a.【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点，在轴上有一点，它到两点的距离相等，求点的坐标．【错解】由已知得，的中点坐标为，且所在直线的斜率为3，故的垂直平分线的斜率为，则垂直平分线的方程为，当时，，故点的坐标为．【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点到两点的距离相等，故可求的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解．【正解】设点的坐标为，则，即，解得，所以点的坐标为．【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用，如平面直角坐标系中的中点公式，可类比到三维空间中，而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用．1．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于x轴对称的点的坐标为A．（－1，2，3） B．（1，－2，－3）C．（－1，－2，3） D．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于yOz平面对称的点的坐标为A．（－3，4，5） B．（－3，－4，5）C．（3，－4，－5） D．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为A．（2，2，1） B．（2，2，eq\f(2,3)）C．（2，2，eq\f(1,3)） D．（2，2，eq\f(4,3)）4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），则对角线AC1的长为A．9 B．eq\r(29)C．5 D．2eq\r(6)5．已知点A（1，a，－5），B（2a，－7，－2）（a∈R）则|AB|的最小值是A．3eq\r(3) B．3eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)6．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的A．y轴上 B．xOy面上C．xOz面上 D．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P（1，eq\r(2)，eq\r(3)），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为A．（0，eq\r(2)，0） B．（0，eq\r(2)，eq\r(3)）C．（1，0，eq\r(3)） D．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标．9．（1）已知A（1，2，－1），B（2，0，2），①在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；②在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点轨迹．（2）在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．10．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是A．eq\f(\r(6),2) B．eq\r(3) C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)11．已知A点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为A．（6，0，0） B．（6，0，1） C．（0，0，6） D．（0，6，0）12．已知M（5，3，－2），N（1，－1，0），则点M关于点N的对称点P的坐标为________．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于________．14．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a（0<a<eq\r(2)）．（1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最短？15．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．16．如图所示，V­ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz．（1）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；（2）在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．18．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．（2017•上海）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是__________．12345671011BADBBCBAA1．【答案】B【解析】关于x轴对称，横坐标不变．故选B．2．【答案】A【解析】关于yOz平面对称，y，z不变．故选A．3．【答案】D4．【答案】B【解析】由已知求得C1（0，2，3），∴|AC1|＝eq\r(29)．故选B．5．【答案】B【解析】|AB|2＝（2a－1）2＋（－7－a）2＋（－2＋5）2＝5a2＋10a＋59＝5（a＋1）2＋54．∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54．∴|AB|min＝eq\r(54)＝3eq\r(6)．故选B．6．【答案】C【解析】因为该点的y坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz面上．故选C．7．【答案】B【解析】平面yOz内点的横坐标为0．故选B．8．【答案】详见解析．9．【答案】（1）①P（1，0，0）；②M点的轨迹是xOz平面内的一条直线，其方程为x＋3z－1＝0；（2）M（1，0，0）．【解析】（1）①设P（a，0，0），则由已知得＝，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以P点坐标为（1，0，0）．②设M（x，0，z），则有＝，整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0．故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．（2）由已知，可设M（x，1－x，0），则|MN|＝＝．所以当x＝1时，|MN|min＝eq\r(51)，此时点M（1，0，0）．10．【答案】A【解析】设P（x，y，z），由题意可知，∴x2＋y2＋z2＝eq\f(3,2)．∴＝eq\f(\r(6),2)．故选A．11．【答案】A【解析】设P（x，0，0），|PA|＝，|PB|＝，由|PA|＝|PB|，得x＝6．故选A．12．【答案】（－3，－5，2）13．【答案】eq\f(2\r(39),3)【解析】设正方体的棱长为a，由|AM|＝eq\r(9＋4＋0)＝eq\r(13)可知，正方体的体对角线长为eq\r(3)a＝2eq\r(13)，故a＝eq\f(2\r(13),\r(3))＝eq\f(2\r(39),3)．14．【答案】（1）；（2）当a＝eq\f(\r(2),2)时，MN的长度最短．【解析】因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直．取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系．因为|BC|＝1，|CM|＝a，点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点M（eq\f(\r(2),2)a，0，1－eq\f(\r(2),2)a）．因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|＝a，所以点N（eq\f(\r(2),2)a，eq\f(\r(2),2)a，0）．（1）由空间两点间的距离公式，得|MN|＝＝，即MN的长度为．（2）由（1），得|MN|＝＝．当a＝eq\f(\r(2),2)（满足0<a<eq\r(2)）时，取得最小值，即MN的长度最短，最短为eq\f(\r(2),2)．15．【答案】Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，\f(2,3)))；Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,2)，\f(5,6)))．16．【答案】V（0，0，3），A（－1，－1，0），B（1，－1，0），C（1，1，0），D（－1，1，0）．【解析】∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1．∵O点是坐标原点，∴C（1，1，0），同样的方法可以确定