高中数学(人教A版)必修第二册《第六章-平面向量及其应用》解答题专项练习(含答案解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页高中数学（人教A版）必修第二册《第六章平面向量及其应用》解答题专项练习（含答案解析）一、解答题1．设向量，，.（1）求；（2）若，，求的值；（3）若，，，求证：A，，三点共线.【答案】（1）1（2）2（3）证明见解析【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.（1），；（2），所以，解得：，所以；（3）因为，所以，所以A，，三点共线.2．（1）在直角三角形ABC中，C=90°，AB=5，AC=4，求；（2）已知向量，，.若△ABC为直角三角形，求a的值.【答案】（1）；（2）或13【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，进行求解；（2）分三种情况进行求解，利用垂直关系下数量积为0列出方程，求出a的值.【详解】（1）以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据勾股定理得：，所以，，所以（2），①，此时，解得：；②，此时，解得：；③，此时，因为，无解；综上：或133．在中，角的对边分别为，若.（1）求角；（2）若的面积为，，求的周长.【答案】（1）（2）【分析】（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可；（2）、利用面积公式求出的值，化简求出的值，从而求出的周长.（1）,,,又，.（2）由（1）可知.,,,,,,，.的周长为.4．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA，若a=4，b+c=6，且b<c，求b，c的值.【答案】【分析】利用余弦定理即可求出.【详解】由余弦定理可得，即，则，因为，则可解得.5．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），（1）求向量BC；（2）求顶点A的坐标.【答案】（1）（2）【分析】（1）由点B､C的坐标即可求解的坐标；（2）设顶点A的坐标为，由四边形ABCD为平行四边形，有，从而即可求解.（1）解：因为点B､C的坐标分别是（-1，3）､（3，4），所以；（2）解：设顶点A的坐标为，因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是（2，2），所以，即，所以，解得，所以顶点A的坐标为.6．已知，，的夹角是60°，计算（1）计算，；（2）求和的夹角的余弦值.【答案】（1），（2）【分析】（1）利用数量积的定义可求出，先求出，即可得出；（2）先求出，根据向量夹角关系即可求出.（1）由题可得，，所以；（2），设和的夹角为，所以.7．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=6，A=60°，B=75°.（1）求角C；（2）求边c.【答案】（1）C=45°（2）【分析】（1）根据三角形三个内角和等于180°即可求解；（2）结合已知条件，根据正弦定理即可求解.（1）解：在△ABC中，因为A=60°，B=75°，所以角；（2）解：在△ABC中，因为a=6，A=60°，又由（1）知C=45°，所以由正弦定理有，即，解得.8．已知向量，，与的夹角为.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【分析】（1）由，结合，即可求解；（2）由，即可求解.（1）解：由题意，向量，，与的夹角为，可得，又由.（2）解：因为向量，，且，所以.9．一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行到达海岛C．（1）求的长；（2）如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行？【答案】（1）nmile（2）沿北偏东的方向航方向航行.【分析】（1）根据示意图，确定好题目中给出的长度和角度；选用余弦定理求解的长度，完成计算；（2）利用求出的的长度以及相关条件，选用正弦定理完成的求解，进而得答案.（1）解：由题意知，在中，，，，根据余弦定理，得，所以nmile．（2）解：根据正弦定理可得，即又，所以．所以应沿北偏东的方向航方向航行nmile即可到达C处.10．已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛在北偏东75°，航行海里后，见此岛在北偏东，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【答案】无触礁危险，理由见解析.【分析】根据题意，作出示意图，利用正弦定理，求得，与进行比较，即可判断.【详解】如图所示，在△ABC中，依题意得（海里），，.由正弦定理，得＝，所以=＝（海里）故到航线的距离为（海里）.因为，所以货轮无触礁危险．11．如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题．（1）分别写出与、、相等的向量；（2）分别写出与、、共线的向量；（3）分别写出与，与的夹角；（4）分别写出与，与的夹角．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.【分析】（1）根据正六边形的性质以及相等向量的概念可得结果；（2）根据正六边形的性质以及共线向量的概念可得结果；（3）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（4）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（1）解：由正六边形的性质可知，与相等的向量有：、、，与相等的向量有：、、，与相等的向量有：、、.（2）解：与共线的向量有：、、、、、、、、，与共线的向量有、、、、、、、、，与共线的向量有：、、、、、、、、.（3）解：与的夹角，与的夹角.（4）解：与的夹角为，与的夹角.12．已知|，|，（1）若与的夹角为①求；②求在上的投影向量．（2）若，求.【答案】（1）①；②（2）答案见解析【分析】（1）根据数量积、投影向量的知识求得正确答案.（2）根据，的夹角进行分类讨论，由此求得.（1）①.②在上的投影向量为.（2），与的夹角为或当时，.当时，.13．如图，O为内一点，，，.求作：（1）+-；（2）--.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象.（2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象.（1）设是的中点，连接并延长，使.+-.（2）--=-（+）.14．已知向量，，，分别表示下列位移：“向北10km”、“向南5km”、“向西10km”、“向东5km”．请说明向量，，，，的意义．【答案】答案见解析【分析】根据，，，的意义对，，，，的意义进行说明.【详解】向量表示“向北5km”；向量表示“向南10km”；向量表示“向西北方向”；向量，表示没有位移；向量，表示“向东北方向”．15．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径R满足（1）求B的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理和已知条件化简可得，再根据正弦定理，即可求出结果．（2）由三角形内角和可知，进而可得，由余弦定理即可求出，再根据，即可求出结果.（1）解：，，，，又B为锐角，（2）解：，，，，又,由余弦定理，得，，16．在；②两个条件中任选一个填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．已知的内角，，的对边分别为，，，________，，求的最小值．【答案】选择①或②的最小值为.【分析】选择①利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可求得角，再由余弦定理以及基本等式即可求的最小值；选择②由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式化简可得的值进而可得角，再由余弦定理以及基本等式即可求的最小值.【详解】选择①：可得：，所以，即，所以，，因为，所以，所以，，在中，由余弦定理可得：，当且仅当b=c等号成立即，所以，所以的最小值为，选择②：，由正弦定理化边为角可得：，所以，即，因为，所以，，因为，所以，在中，由余弦定理可得：即，所以，所以的最小值为.17．在①，，；②，，；③，，这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________，解三角形.【答案】答案见解析【分析】选择条件①：利用正弦定理求出，即可得出，再利用正弦定理即可求出；选择条件②：利用正弦定理求出，即可求出和；选择条件③：利用正弦定理求出，即可求出和.【详解】选择条件①：因为，，，由正弦定理得，即，所以，则或（舍去），所以，因为，由正弦定理可得，则.选择条件②：因为，，，由正弦定理得，即，所以，解得或，符合题意，当时，，则，当时，，则；选择条件③：因为，，，由正弦定理得，即，则，所以，所以，.18．在中，角所对的边分别为，已知.（1）求角；（2）若，的面积为，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案；（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.（1）解：因为，所以，因为，所以，即，因为，所以.（2）解：因为的面积为，，所以，即，因为，所以，所以，解得.所以.19．已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.【答案】（1）或.（2）.【分析】（1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案.（1）解：设，因为，所以．①又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或．（2）解：由，得，又，解得，所以，所以与的夹角.20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求A；（2）若a=2，的面积为，求b，c的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可；（2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可.（1）由及正弦定理得.因为，所以.由于，所以.又，故.（2）由题得的面积，故①.而，且，故②，由①②得.21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若，求的周长l．【答案】（1）（2）【分析】(1)结合正弦定理可化为，由此可求角B；(2)由余弦定理可得，解方程求，由此可得的周长l．（1）由及正弦定理，可得．在中，，所以，所以．又，所以．（2）由余弦定理，可得，即，又，解得．故的周长22．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．【答案】【分析】由，化简为，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共线，设，然后用分别表示向量，再根据求解.【详解】如图所示：因为，所以，所以，即，所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点），又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点，设，则，，因为，所以，则，解得，所以t的值是.23．中，内角，，所对的边分别为，，，，且．（1）求的大小；（2）若的周长为，求边上中线的长度．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设，根据三角形的周长可求得，再在中，运用余弦定理，可求得中线的长.（1）解：因为，所以由正弦定理边角互化得：，因为，所以，所以因为，所以，，所以，即，所以（2）解：由（1）得为等腰三角形，设，故，代入数据解得：，因为的周长为，所以，解得，所以,,在中，，所以，即，解得，所以边上中线的长度为.24．如图，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB．，某人从C沿CD走到D用了10min，从D沿DA走到A用了6min．若此人步行的速度为每分钟50m，求该扇形的半径OA的长．（精确到1m）【答案】445m【分析】设，连接OC，在中利用余弦定理列方程求解即得.【详解】设扇形半径m，连接OC，如图，依题意，m，m，在中，m，，由余弦定理得：，即，化简整理得：，解得：(m)，所以该扇形的半径OA的长约为445m.25．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）1040m（2）（3）【分析】（1）先求得，然后由正弦定理求得.（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得的最小值.（3）根据“两位游客在C处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围.（1）由题意，，在中，，由正弦定理，得.所以，索道AB的长为1040m.（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了，乙距离A处，由余弦定理得，因为，即，则当时，甲、乙两游客之间距离最短.（3）由正弦定理，得，乙从B出发时，甲已走了，还需要走710m才能到达C，设乙步行的速度为，由题意得，所以为了使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内.26．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，.（1）若，求b.（2）若______，求c的值及的面积.请从①，②，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.【答案】（1）；（2）选；选【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再结合三角形的面积公式计算即可.（1），由正弦定理，得，所以；（2）选①：由余弦定理，得，即，整理，得，由c>0，得c=4，所以；选②：因为，由正弦定理，得c=2a，所以c=6，所以.27．已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）根据，代入数值，即可求出结果；（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；（3）因为，所以，再根据即可求出结果.（1）解：因为，，，所以；（2）解：因为，所以或，当时，；当时，；所以的值为或.（3）解：因为，所以，所以.28．已知，，求，，，．【答案】，，，.【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】由题意可知：，，，又因为，且，所以.29．已知为坐标原点，，，与垂直，与平行，求点的坐标．【答案】.【分析】设，根据与垂直，与平行，列出方程组，解之即可得出答案.【详解】解：设，则，因为与垂直，与平行，所以，解得，所以点的坐标为.30．已知，，一动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为.另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为，设P，Q在时分别在，处，问当时，所需的时间t为多少？【答案】【分析】根据题意，结合向量减法，同向的单位向量，以及数量积的坐标公式，即可求解.【详解】根据题意，易知，，两式相减得，，由，，，得，因为，所以，解得.故当时，所需的时间t为.31．两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：（1），分别对该质点做的功；（2），的合力对该质点做的功.【答案】（1）对该质点做的功为（），对该质点做的功（）；（2）（）.【分析】（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解；（2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解.（1）根据题意，，，，故对该质点做的功（）；对该质点做的功（）.（2）根据题意，，的合力，故，的合力对该质点做的功（）.32．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西，求合力所做的功.

【答案】【分析】如图建立平面直角坐标系，求出，，以及位移的坐标，进而可得合力的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算即可求解.【详解】如图建立平面直角坐标系，由题意可得，，，位移，所以，所以合力所做的功为，33．在中，已知，.（1）当时，求b的值；（2）设，求函数的值域．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理即可求解.（2）利用正弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数的性质即可求解.（1），，所以，当时，由正弦定理，可得，解得（2）由正弦定理可得，所以，因为，所以，所以，所以.所以函数的值域为.34．在中，，，当时，判断的形状．【答案】直角三角形或钝角三角形.【分析】根据向量数量积的定义可得，即有或，由此可得答案.【详解】解：因为在中，，，，所以，即，又，所以，即，所以或，所以是直角三角形或钝角三角形.35．在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．（1）求在上的投影向量；（2）求在上的投影向量．【答案】（1）（或）（2）【分析】（1）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得；（2）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得．（1）如图，，，D为BC的中点．则，，，所以，，在上的投影为，在上的投影向量为；（2）在上的投影为，在上的投影向量为．36．如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.37．已知，且，，若有两个不同时为零的实数k，t，使得与垂直，试求k的最小值．【答案】【分析】由得，再由与垂直，转化得，结合二次函数性质可求k的最小值．【详解】因为，所以，又与垂直，所以，即，又，，所以，，当时，取到最小值.38．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且，，.求与．【答案】，【分析】首先根据已知条件得到四边形为菱形，且，根据，，再求其模长即可.【详解】因为，所以，，即四边形为平行四边形.又因为，则四边形为菱形，如图所示：，，所以...39．是否存在，，使？请画出图形说明．【答案】存在，图形见解析【分析】根据平面向量数量积的运算律及向量夹角的计算公式求出与的夹角，即可得解；【详解】解：因为，所以，即，即，即，设与的夹角为，则，因为，所以，即当与的夹角为且与的模相等时，满足，图形如下所示：40．如图，已知向量，，不共线，作向量++．【答案】答案见详解.【分析】利用向量加法的三角形法则即可求解.【详解】由向量加法的三角形法则，++如图，41．如图，已知向量，，，求作向量．【答案】见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,则,令,所以.如下图中即为.42．如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标.【答案】，【分析】依题意，分别是，角的终边与单位圆的交点，设，．由三角函数的定义，求出、的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.【详解】解：由题知，分别是，角的终边与单位圆的交点．设，．由三角函数的定义，得，，∴．，，∴．∴，．∴，43．在平面直角坐标系中，已知向量，，，且．（1）求与间的关系；（2）若，求与的值及四边形的面积．【答案】（1）（2）或四边形的面积为16【分析】（1）由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出，的坐标，利用平行关系即可得到与间的关系.（2）由（1）得到与间的关系以及利用数量积为0，通过联立方程分别解出，并确定，坐标.最后，由四边形对角线垂直，可直接由对角线长度乘积的一半求出四边形面积.（1）由题意得，，因为，所以，即……①（2）由题意得，，因为，所以，即，整理得

……②联立①②,解得或.记四边形面积为当时，，，则，当时，，，则综上或四边形的面积为1644．已知向量，.①，共线，②.（1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x的值；（2）当时，求与夹角θ的余弦值.【答案】（1）选择①，；选择②，；（2）.【分析】（1）选择①，根据共线即可得出，解出即可；选择②，先求出，根据即可得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；（2）时，可得出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出．（1）解：如果选择①，共线，，解得；如果选择②，，且，，解得.（2）解：当时，，，，．45．已知O为坐标原点，，，，则在线段OC上是否存在点M，使得若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】或【分析】假设存在点，且,求出的坐标,根据平面向量互相垂直时,它们的数量积为零,得到方程,解方程求出,最后求出点坐标.【详解】解：设存在点，且，,因为,所以,有或或存在或满足题意.46．已知、、为同一平面内的三个向量，其中（1）若，且，求；（2）若，且与垂直，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）由与垂直，可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；（1）解：∵，且，∴，∴，∴.（2）解：由与垂直，得，即∴.47．如图，在射线中，相邻两条射线所成的角都是，且线段.设.（1）当时，在图1中作出点的位置（保留作图的痕迹）；（2）请用写出“点在射线上”的一个充要条件：___________；（3）设满足“且”的点所构成的图形为，①图形是___________；A．线段B．射线C．直线D．圆②在图2中作出图形.【答案】（1）答案见解析（2）且（3）①A；②答案见解析【分析】（1）根据向量的加法的几何意义作出点的位置；（2）根据向量的线性运算的几何意义确定“点在射线上”的一个充要条件；（3）根据向量共线定理的推论确定P的轨迹形状，并画图.（1）图中点即为所求.（2）根据向量线性运算的几何表示可得且；（3）①因为，且，所以，其中，设，，则，,又所以点所构成的图形为线段故选：A；②图中线段即为所求.48．已知，，与的夹角为，问：当为何值时，？【答案】.【分析】根据数量积的定义可得的值，再利用数量积的定义和性质计算即可求解.【详解】因为，，与的夹角为，所以，若，则，即，所以，所以，可得：.49．已知，，．（1）若，求的值；（2）若，且，，求的值．【答案】（1）1（2）详见解析【分析】（1）由题得，再利用二倍角公式及同角关系式可得，即求；（2）由题可得，再利用同角关系式及两角和公式即求.（1）∵，，，，∴，即，∴.（2）∵，，，∴，，∴，∴，又，，∴，当时，，当时，.50．已知，与的夹角为，设．（1）求的值；（2）若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．【答案】（1）2；（2）﹒【分析】(1)将展开，通过数量积运算即可得到答案；(2)两向量夹角为锐角，数量积为正，但需排除两向量同向的情况﹒（1）；（2）∵与的夹角是锐角，∴且与不共线．∵，∴，解得．当与共线时，则存在实数，使，∴，解得．综上所述，实数t的取值范围是．51．如图，正三角形的边长为4，D，E，F分别在线段上，且D为的中点，.（1）若，求三角形的面积.（2）求三角形面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意，结合面积公式，即可求解；（2）根据题意，设，结合正弦定理，以及三角恒等变换，及可求解.（1）根据题意，知，因为，所以，又因为，所以，因此，故.（2）根据题意，设，.在和中，由正弦定理知，，化简得，，故，因为，所以.52．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，．（1）求的大小；（2）求的面积【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的内角和求得角，再由三角形的面积公式即可求解.（1）在中，，，，由正弦定理得即，所以，因为，所以，因为，所以（2）因为，所以，所以的面积为.53．已知，（1）求；（2）设，的夹角为，求的值；（3）若向量与互相垂直，求的值【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解；（2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；（3）求出向量与的坐标，利用坐标表示即可求解.（1）因为，，所以.（2）因为，所以.（3）由，可得，，因为向量与互相垂直，所以，即，解得：.54．已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标．【答案】【分析】根据点在线段的延长线上，且，可得，可得．【详解】点在线段的延长线上，且，，，，，．所以点P的坐标为55．已知的顶点，，，求顶点D的坐标．【答案】(1，5)﹒【分析】由平行四边形可得：，于是．【详解】设坐标原点为O，由平行四边形可得：，，，，．∴D的坐标为(1，5)﹒56．如图，已知平行四边形，点为任一点，设，，，试用，，表示．【答案】【分析】利用向量的加法运算即可求解.【详解】解：57．.如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.【答案】证明见解析【分析】由三点共线计算可得，由三点共线，计算可得，即可求得，由三点共线，计算可得，消去,即可证得结果.【详解】因为三点共线，所以存在实数，使得，又三点共线，所以存在实数，使得,由于不共线，所以,解得.故.因为三点共线，所以存在实数，使得,消去,得＋＝1.58．如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，（1）求的面积；（2）求塔高．【答案】（1）平方米；（2）米.【分析】(1)利用正弦定理求出线段BC长，再借助三角形面积定理计算即得.(2)在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义计算作答.（1）在中，因，则，

由正弦定理得：，，则，所以的面积是平方米.（2）依题意，平面BCD，而平面BCD，则有，在中，，由得：，所以塔高是米.59．已知点、、，点在线段上，且满足．（1）求点的坐标；（2）求的余弦值．【答案】（1）（2）【分析】（1）设点，分析可得，利用平面向量的坐标运算可求得点的坐标；（2）利用平面向量数量积的坐标运算可得，即可得解.（1）解：设点，因为点在线段上，且满足，则，即，即，解得，即点.（2）解：由已知可得，，.60．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．【答案】证明见解析【分析】设，，则且，即可求得，由此即可证明结果.【详解】证明：设，．因为四边形为菱形，所以，又则，故．所以.61．已知，，且与互相垂直，求证：．【答案】证明见解析【分析】因为与互相垂直，所以，整理化简，可得，由此即可证明结果.【详解】证明：因为与互相垂直，所以，即．又因为，所以．因为是非零向量，所以．62．已知向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，求：（1）(＋)·(－)；（2）|－|．【答案】（1）－5.（2）.【分析】（1）根据向量的数量积运算得(＋)·(－)＝2－2可求得答案；（2）根据向量数量积的定义求得，再根据向量数量积的运算律求得|－|2，由此可求得答案.（1）解：因为向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，所以(＋)·(－)＝2－2＝－5．（2）解：因为向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，所以，所以|－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝19，所以|－|＝．63．已知，，，求与的夹角．【答案】【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以.64．设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．【答案】k＝±4.【分析】由题意与共线，结合向量共线定理即可求得答案.【详解】由不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，即.因为不共线，所以.65．已知向量，.求证：与是共线向量．【答案】证明见解析【分析】由平面向量共线定理即可证明问题.【详解】由题意，，，则，由向量共线定理知与是共线向量．66．已知，是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值．【答案】.【分析】由向量－，－共线得存在实数λ，使得－＝λ，整理，由，不共线可得，的系数都为零，列方程组求解即可.【详解】解由，不共线，知向量－为非零向量．由向量－，－共线，可知存在实数λ，使得－＝λ，即＝.由，不共线，必有＋＝＋1＝0.否则，不妨设＋≠0，则＝，得，共线，与已知矛盾．由，解得＝.因此，当向量－，－共线时，＝.67．已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.【答案】＝－8＋9－3.【分析】根据向量的数乘运算，移项，直接解出即可.【详解】因为3(2－＋)＋＝2(－＋3)，所以6－3＋3＋＝－2＋6，即＝－8＋9－3.68．已知，，且与互相垂直，求证：.【答案】证明见解析【分析】根据与互相垂直，可得，结合题设条件，即可证明.【详解】因为与互相垂直，所以，即，因为，，所以，，所以，因为，是非零向量，所以.69．设坐标平面上三点，，，且点O为坐标原点.（1）若，求向量与的夹角大小；（2）若，当时，求的值.【答案】（1）或（2）【分析】（1）先求得，根据题意，平方整理，可得，根据向量求夹角公式，代入化简，即可得答案.（2）先求得，坐标，根据题意，代入计算，可得，平方整理，可得，结合的范围，可求得，计算化简，即可得答案.（1）由，，得，解得.又，，设与的夹角为，则，因为，所以或.所以与的夹角大小为或（2），，由，则，所以，整理得①.所以，展开得.因为，所以，，即，则.又由，得②，由①②得，，所以.70．已知平面向量，，，点M是直线OP上的一个动点，求的最小值及此时的坐标.【答案】取最小值，此时【分析】设.由与共线求得，把表示成关于y的函数，利用二次函数求最值即可.【详解】设.因为与共线，所以，即.由，，得.当时，点取最小值，此时.71．（1）已知点A､B､D的坐标分别是､､，且，，求点C的坐标；（2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）设，由和，分别利用共线向量定理和数量积运算求解；（2）设，由向量与平行和，分别利用共线向量定理和向量的模公式求解.【详解】（1）解：设，则，因为，所以，因为，所以，解得，所以点C的坐标为；（2）设，则，因为向量与平行，所以，又，所以，解得或，所以的坐标为或.72．已知，，且和的夹角大小为45°.当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值范围.【答案】【分析】两个向量夹角是锐角的等价条件是两个向量的数量积大于零，即夹角余弦值为正，且两个向量不能同向共线，从而求得的取值范围.【详解】设向量与夹角为，而.由题意得.为使为锐角，则，得，解得或.而当时，与共线且方向相同，存在，使，则解得，故排除，即.综上可知，.73．如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．【答案】证明见解析【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解.【详解】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以．因为，，所以，即．74．如图，已知向量，不共线，求作向量．【答案】作图见解析，【分析】利用向量的加法法则求解.【详解】如图，在平面内任取一点O，作，．因为，即，所以．75．证明：当向量不共线时，.【答案】证明见解析【分析】根据向量不共线，在OAB中，利用三角形的边的关系证明.【详解】证明：因为向量不共线，如图，在OAB中，由三角形两边之和大于第三边得：，由三角形两边之差小于第三边得：，所以.76．如图，在▱ABCD中，若，（1）当满足什么条件时，?（2）当满足什么条件时，?【答案】（1）（2）【分析】（1）由，得到▱ABCD为菱形求解；（2）由，得到▱ABCD为矩形求解.（1）解：如图：，当时，▱ABCD为菱形，对角线相互垂直，所以，即；（2）当时，▱ABCD为矩形，对角线长度相等，所以，即.77．如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：（1）指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；（2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）需要测量的数据有到的的俯角，到的的俯角，之间的距离，得到答案.（2）根据正弦定理得到，，再根据余弦定理得到答案.（1）需要测量的数据：到的的俯角，到的的俯角，之间的距离.（2）第一步：计算中，根据正弦定理：，故.第二步：计算中，根据正弦定理：，故.第三步：计算中，根据余弦定理：，即.78．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）（3）．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【分析】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒（1）因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以．（2）因为与方向相同且长度相等，所以与是相同的向量，从而与方向相同，长度为长度的2倍，因此，可用表示，即．（3）因为与是一对相反向量，所以．79．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，（1）写出此时AB所在直线方程；（2）计算在上的投影向量.【答案】（1）（2）【分析】（1）计算，得到直线方程.（2）在上的投影向量为，计算得到答案.（1），故方程为，即.（2）在上的投影向量为.80．设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心.【答案】答案见解析.【分析】根据题意得到，即，同理可得垂直关系，得到答案.【详解】·＝·，故，即，故；同理可得：，，故O是的垂心.81．如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受的拉力为F1.（1）判断|F1|，|F2|随θ的变化而变化的情况；（2）当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.【答案】（1）当从趋近时，都逐渐增大.（2）【分析】（1）根据向量运算得到，，，得到答案.（2），，解得范围.（1）由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：，如图，根据直角三角形可得，.当从趋近时，都逐渐增大.（2）令，因为，得，所以.故角的取值范围为.82．如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.【答案】，证明见解析.【分析】由于是对角线上的两点，要判断之间的关系，只需分别判断与之间的关系即可.【详解】设，，，则.由，可设，又，，可设，∵，∴，综上，有，即，由于与不共线，则，解得，∴.同理，，.∴.83．请用平行四边形法则作出．【答案】答案见解析【分析】三个向量用平行四边形法则求和，则先求和其中两个，再用和向量与第三个向量求和﹒【详解】解：在平面内任取一点，作．如图，以为邻边作□．再以为邻边作□，则．84．在中，、、的对边分别为、、，其中边最长，并且．（1）求证：是直角三角形；（2）当时，求面积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用同角关系，将已知条件变形，配合诱导公式，可以证明结论.（2）利用勾股定理知，利用基本不等式可得面积最大值（1）证明：由，得，即，又边最长，则、均为锐角，所以，解得，即，所以为直角三角形．（2）因为，由勾股定理,因为，所以.记面积为,则，由得，当且仅当时等号成立．所以当时，面积取到最大值．85．（l）求证：；（2）已知向量、满足：，，，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据向量数量积的运算法则进行计算，即可证明；（2）根据已知条件，求得，再根据数量积求得模长即可.【详解】（1）因为，故可得，即证.（2）因为，，，故可得，解得：.同理，即.86．已知四边形是边长为的正方形，求：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量加法的三角形法则计算（2）直接利用向量的加法和减法计算即可.（1）如图：（2）87．求证：直径所对的圆周角为直角.【答案】证明见解析【分析】设圆心为，圆半径为，是圆的一条直径，点是圆上不同于，的点，通过计算即可求证.【详解】解：证明：如图，设圆心为，圆半径为，是圆的一条直径，点是圆上不同于，的一点，则是直径所对的圆周角.由，，其中，得.则，即为直角.所以直径所对的圆周角为直角.88．如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端固定在墙上，端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小.【答案】【分析】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉