2022-2023学年内蒙古巴彦淖尔市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年内蒙古巴彦淖尔市高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.］知集合与={%|1-%>0},B={x\x2<9},则4UB=()

A.(—3,1)B.1)C.(1,3)D.(―8,3)

2.某圆台上底面和下底面的面积分别为4,9,高为3,则该圆台的体积为()

A.19B.19兀C.57D.57兀

3.复数z=1+4i的虚部为()

A.5B.3C.5iD.3i

1

4.记的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若cos/=*a=2b,贝!JsinB=()

A.?B.?C.|D.1

5.已知P为平面a外一点，则下列判断错误的是()

A.过点P只能作一个平面与a平行B.过点P可以作无数条直线与a平行

C.过点P只能作一个平面与a垂直D.过点P只能作一条直线与a垂直

6.已知函数/(%)=COS3%®>0)的最小正周期为7T,将f(%)的图象向右平移3个单位长度后

得到函数g(%)的图象，则g(%)=()

A.cos(2x—2)B.cos(2x—4)C.cos(2x+2)D.cos(4%+4)

7.已知向量1=(4,3),另=(3,A)，且五13，贝哈在五+另方向上的投影向量的坐标为()

A.吗,-0B.(—另)C.D.(7,-1)

8.如图，为了测量古塔的高度，选取了与该塔底B在同一平面内

的两个测量基点C与D,现测得NBCD=70.5°,CD=105m,在C点

测得古塔顶端力的仰角为26.5。，在D点测得古塔顶端4的仰角为

18.5°,则古塔的高度4B=()

(参考数据：取tcm71.5。=3,tan63.5°=2,cos70.5°=1)

A.21mB.30mC.35mD.42m

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.己知复数z=—(2i+6)i,则()

A.z+i的模长为4方

B.z在复平面内对应的点在第四象限

C.z-2为纯虚数

D.在复数范围内，z是方程/一4%+40=0的一个解

10.已知一组数据第1，%2,…，久九的平均数为中位数为小方差为c,众数为d,数据-2%i+1,

—

-2%2+1,…，2xn+1的平均数为由,中位数为名，方差为q,众数为贝！|()

A.%=—2a+1B.瓦无法确定C.q=—2c+1D.d]=—2d+1

11.已知函数f(%)=S讥%cos%,则()

A./(%)的最小正周期为27rB.y(x)为奇函数

C.f(x)在区间件,圣上单调递增D./(x)的最小值为一g

44

12.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝

上的点数，用(a,6)表示一次试验的结果，该试验的样本空间为。，记事件2=''关于x的方程

%2—(a+b)x+1(a+b)=0无实根"，事件B="a=4",事件C="6<4",事件

D="ab>20"，则()

A.2与B互斥B.4与。对立C.8与C相互独立D.B与。相互独立

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量而=(2,4),元=(尢/7),若沅〃记，则2=.

14.将4B,C三组数据绘制成如图的折线图，则这三组数据中，组数据的方差最

小.

15.若tan(a—£)=：，则tan2a=____.

43

16.已知P为△48C所在平面外一点，P4=2,48=CU,cosN8aC=\当三棱

4

锥P-ABC的体积最大时，则该三棱锥外接球的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，

全校共有1000名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛

成绩(成绩都在[50,100]内)分为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]5组,得到如图

所示的频率分布直方图.

(1)求a的值以及女生被抽取的人数；

(2)估计这100人比赛成绩的85%分位数(小数点后保留2位).

18.(本小题12.0分)

如图，在正方体ABCD—ABiGDi中，E,F分别是GA，的中点•

(1)证明：EF〃平面

(2)求异面直线EF与4。所成角的大小.

19.(本小题12.0分)

在44BC中,角4,B,C的对边分别为a,6,c.已知(sinA-sinB+sinC~)(b+c-a)=bsinA.

(1)求角C的大小；

(2)若c=8,AABC的面积为3C，求△ABC的周长.

20.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=log/(a＞。且a丰1)在区间16］上的最大值是2.

(1)求a的值；

(2)若函数g(x)=-ax+》的定义域为R,求不等式小-3巾＞4中小的取值范围.

21.(本小题12.0分)

甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮.第一轮甲、乙两人各自先从

“经典红歌”曲库中随机抽取一首进行猜歌名，每猜对一首歌曲歌名即给该人加1分，没猜对

不加分，也不扣分.第二轮甲、乙两人各自再从“流行歌曲”曲库中随机抽取一首进行猜歌名，

每猜对一首歌曲歌名即给该人加2分，没猜对不加分，也不扣分.已知甲猜对“经典红歌”曲

库中歌曲歌名的概率为|,猜对“流行歌曲”曲库中歌曲歌名的概率为号乙猜对“经典红歌”

曲库中歌曲歌名的概率为会猜对“流行歌曲”曲库中歌曲歌名的概率为,甲、乙猜对与否

互不影响，各轮结果也互不影响.

(1)求“梦想队”恰好猜对三首歌曲歌名的概率；

(2)求“梦想队”恰好获得4分的概率.

22.(本小题12.0分)

如图，在正三棱锥P—ABC中，E,F分别为4B,BC的中点，M,N分别为PE,PF的中点.

(1)证明：MN1PB.

(2)若34B=4P4且四棱锥P-AMNC的体积为吗三，求点力到平面PMN的距离.

P

NN。

E

B

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由1一%＞0,得比＜1,所以4=(一8,1),

由小＜9,得一3＜乂＜3,所以B=(—3,3),

所以AUB=(-co,3).

故选：D.

先解不等式求出两集合，再求两集合的并集即可.

本题考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：根据题意，记圆台上底面和下底面的面积分别为S2,高为八,

则S]=4,$2=9,h=3,

则圆台的体积Ugh(Si+JS1S2+S2)=|x3X(4++9)=19.

故选：A.

根据题意，由圆台的体积公式，计算可得答案.

本题考查圆台的体积计算，涉及圆台的结构特征，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由复数2=言+4"号+4i=2+3i,则复数z的虚部为3.

故选：B.

根据复数的运算法则，化简得到z=2+33结合复数的概念，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】II：1•1cosA=I，且aG（0,兀）,

•••sinA=V1—cos2/l=日?

由正弦定理有：急=七

故选：B.

由条件及同角三角函数的基本关系求得s讥4再由正弦定理计算即得.

本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：对于力，过平面a外一点P只能作一个平面与a平行，故A正确；

对于B,平面a外一点P可以作无数条直线与a平行，故2正确；

对于C,平面a外一点P可以作无数个平面与a垂直，故C错误；

对于D,平面a外一点P只能作一条直线与a垂直，故O正确.

故选：C.

利用空间中线与面的平行关系与垂直关系进行判断即可.

本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：■.-函数/（久）=cos3x（a）＞0）的最小正周期为穿=兀，；.&）=2,/（x）=cos2x.

将/（久）的图象向右平移3个单位长度后，得到函数。（久）=cos（2x-23）=cos（2x-4）的图象.

故选：B.

由题意，根据三角函数y=2cos（3x+0）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查三角函数y=Acos^x+0）的图象变换规律,余弦函数的图象和性质，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由N=(4,3),b=(3,2)＞且五_L

可得12+34=0,解得4=一4,

-'-a+b=(7,—1)＞则石在1+1方向上的投影向量为:

加.(5+尤)2+石

\a+b\\a+b\

_(3,-4)(7,-1).(7,-1)

一＜50V-50

71

=(厂办

故选：c.

首先由Ela建立方程求出九再根据投影向量的概念，直接计算即可.

本题考查向量的坐标运算，投影向量的概念，属基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意得NC4B=90°-26.5°=63.5。，ADAB=90°-18.5°=71.5°,

则在Rt△ABC^ARtAABD中，

BC=AB-tan63.5°=2AB,BD=ABtan71.5°=3AB,

在4BCD中，由余弦定理得BD?=BC2+CD2-2BC-CD-cos乙BCD,

即945=4aB2+1052-2x24Bx105x1,解得AB=35m.

故选：C.

先分别将BC,BD用4B表示，再在△BCD中，利用余弦定理即可得解.

本题考查解三角形的实际应用，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：z=-(2i+6)i=2-6i,

对于4，|z+i|=|3-6i|=J32+(—6)2=3A/-5；

对于B,z在复平面内对应的点(2,-6)在第四象限，故8正确；

对于C,z—2=2—6i—2=—6i,故C正确；

对于D,(2-6i)2-4(2-6i)+40=4-36-24i-8+24i+40=0,

故z是方程/一4%+40=0的一个解，故D正确.

故选：BCD.

根据已知条件，先求出z,再结合复数的几何意义，纯虚数的定义，复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：已知在数据％i，x2>...»今中，

当n为奇数时，中位数为人=吗卫，

当n为偶数时，中位数为力=喳之，

已知数据—2久1+1,-2犯+1,…，—2xn+1,

其平均数为=-2(当+,+...+期)+，2=—2a+1,故选项A正确；

当n为奇数时，中位数为=3纥1)+2=一2b+1,

当n为偶数时，中位数b苧1)+2=_26+1，故选项8错误；

(—2%i+l+2a—1)2+(—2%?+1+2。-1)2+“.+(—2%九+1+2。-1)2

n

2?7

=4xQ-江+9-立+“.+(a皿=4c，故选项。错误；

n

众数di=—2d+1,故选项。正确.

故选：AD.

由题意，根据平均数、中位数、方差的计算方法即可判断选项A、B.C,结合众数的定义即可判

断选项D.

本题考查中位数，平均数，众数和方差，考查了逻辑推理和运算能力.

11.【答案】BCD

【解析】解：/(%)=sinxcosx=则/(%)的最小正周期T=:=兀；

又以-X)=Sin(~2x)=一等=一/(%),所以/(X)为奇函数；

令一1+2/OTW2久W1+2/CTT,keZ,解得一；+卜兀W久W；+/ot,keZ,

所以/(久)的单调递增区间为［-3+k兀常+k兀I#eZ,令

k=l,得/⑶的其中一个单调递增区间为［),争；

44

/(X)的最小值为-今

故选：BCD.

利用二倍角公式得/(%)=竽，对应y=s讥x的性质判断各个选项即可.

本题考查三角函数性质，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：由题意得。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},包含36个

样本点，

由4=(a+Z?)2—10(a+b~)<0,得0<a+6<10,

所以4={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

(6,1),(6,2),(6,3)},共包含30个样本点，

B={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)},共包含6个样本点,

4与B不互斥，故选项A错误；

又。={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),

(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3)},共包含18个样本点，

D=((4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含6个样本点,

所以4与。对立，故选项B正确；

选项C,因为P(BC)=磊=2,P⑻=£=Q(C)=11=1，

所以P(BC)=P(B)P(C),故B与C相互独立，故选项C正确；

选项。，因为P(BD)=2，P(D)=卷=之所以P(BD)=P(B)P(D),故8与。相互独立，故选项

£)正确.

故选：BCD.

先用列举法写出一次试验的基本事件上，再根据条件写出事件4B,C,。包含的基本事即可判

断出选项A和B的正误;再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和。分析判

断即可得出结果.

本题主要考查了互斥事件和独立事件的定义，属于中档题.

13.【答案】?

【解析】解：因为向量记=(2,4),元=(4/7),

若沆〃元，贝！12/7=44，

解得力=浮.

故答案为：£1.

由已知结合向量平行的坐标表示即可求解.

本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.

14.【答案】B

【解析】解：易知4B,C组数据的平均数均为1+3+泮+9=3+4+；+5+6=3+2+：+7+8=的,

而B组数据相对于平均数的波动程度最小，

所以B组数据的方差最小.

故答案为：B.

由题意，根据折线图中所给信息以及平均数公式得到三组数据平均数相同，再结合数据波动程度

即可求解.

本题考查平均数和方差，考查了逻辑推理和运算能力.

15.【答案】-卷

【解析】解：若tan(a—则=tan(a—R=既哥藁=带=5,

2tana105

贝（Jem2a=

1—tan2a1-2512,

故答案为：

由己知结合两角和的正切公式先求出tema,然后结合二倍角的正切公式即可求解.

本题主要考查了和差角公式及二倍角的正切公式的应用，属于基础题.

16.【答案】婴

【解析】解：由题意得NBAC为锐角，BOAB,所以AABC只有一解，

即△ABC的面积为定值.

所以当三棱锥P-ABC的体积最大时，P41平面ABC.

如图，将三棱锥P-ABC补成三棱柱4BC-PDE,设底面外接圆的圆

心为。1,

三棱锥外接球的球心为。，连接z。，AOlf。。1，则4。1为底面外接圆的半径，A。为三棱锥外接球

的半径.

由34C6,得si""=三，由缶=2g得网=亨.

因为。。1_L平面ABC,。。1=gpa=1,贝!］。。114。1，所以4。2=。。彳+2。孑=号.

故该三棱锥外接球的表面积为47r.2。2=等.

故答案为：亨.

由题意可得当三棱锥P-4BC的体积最大时，PA1平面4BC,将三棱锥P-力BC补成三棱柱力BC-

PDE,设底面外接圆的圆心为01，三棱锥外接球的球心为0,连接40,。0「从而可得。01=

\PA=1,根据正弦定理可得40］=亨，再结合勾股定理可得4。2=。0工+2货=学，再根据

球的表面积公式即可求解.

本题考查线面垂直的性质和棱锥、球的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于

中档题.

17.【答案】(1)解：由频率分布直方图的性质，可得(0.010+0.020+a+0.030+0.005)X10=1,

解得a=0.035,其中女生被抽取的人数为小糕型x100=45.

(2)解：由频率分布直方图可得：

(0.010+0.020+0.035)x10=0.65<0.85,(0.010+0.020+0.035+0.030)x10=0.95>

0.85,

所以85%分位数位于区间［80,90),则85%分位数为80+”言臀x10«86.67.

【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，列出方程求得a的值，结合分层抽样的分法，求得女生

被抽取的人数；

(2)根据频率分布直方图的百分位数的计算方法，即可求解.

本题考查频率、频数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

18.【答案】解：(1)在正方形Ci。。氏中，E,F分别是Ci。1，CG的中点，

所以EF〃£»iC,且EF=2DLC,

在正方体48CD中，易证4/〃。母，所以

又平面力&BU平面4/。，

则EF〃平面力iBD；

(2)由⑴可得EF与&D所成角即为直线与&D所成角或其补角，

又在正方体4BCD-4/16%中，=AID=BD=CAB,

所以三角形4BD为正三角形，贝"B&D=60°,

即异面直线EF与所成角的大小为60。.

【解析】(1)利用中位线定理得出EF〃/C,且=然后根据正方体的性质以及线面平行

的判定定理即可证明；(2)利用(1)的结论得出EF与&D所成角即为直线与&D所成角或其补角,

再根据正方体的性质即可求解.

本题考查了线面平行以及异面直线所成角的求解，考查了学生的运算转化能力，属于中档题.

19.【答案】解:(1)因为(sinA—sinB+sinC)(b+c—a')=bsinA,

由正弦定理可得：(a-b+c)(b+c—a)=ab,

整理可得：c2—(a—bp=ab,

即a?+b2—c2—ab,

由余弦定理可得：a2+b2—c2=labcosC,

可得cosC=而CG(0,7T),

可得CW

(2)c=8,SLABC-3absinC=gab.=3V-3»

可得ab=12,

由余弦定理可得cosC=f=(a+"-c2_1，

2ab2ab

2

即工=(a+b)-64—解得a+b=10,

22x12

所以三角形的周长为a+b+c—10+8—18.

即三角形的周长为18.

【解析】(1)由正弦定理及余弦定理可得cosC的值，再由C角的范围，可得C角的大小；

(2)由面积面积公式可得ab的大小，再由余弦定理可得a+b的大小，进而求出三角形的周长.

本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，属于中档题.

20.【答案】解：⑴当0<a<l时，函数在区间白16］上是减函数，

因此当久=，时，函数/'(X)取得最大值2,即Zogaq=2,因此a=：.

当a>1时，函数/(©在区间由16］上是增函数，

当x=16时，函数/(久)取得最大值2,即logal6=2,因此a=4.

故a=，或a=4；

2

(2)因为g(x)=log2(x-ax+》的定义域为R,

所以4=a2-l<0,则一即a=/

代入不等式》-3机>4,得6)-3机>(1)-2,

则1一3m<一2,解得m>1,因此m的取值范围是(1,+oo).

【解析】(1)分。<a<1和a>1两种情况利用对数函数单调性列方程可求出a的值；

(2)由函数的定义域为R,可得/=。2-1<0,再结合(1)可求出a,然后利用指数函数的单调性可

求出小的取值范围.

本题主要考查函数的最值及其几何意义，属于中档题.

21.【答案】解：根据题意，设甲在第一轮猜对歌名为事件41，甲在第二轮猜对歌名为事件乙，乙

在第一轮猜对歌名为事件名，乙在第二轮猜对歌名为事件B2，

(1)设“梦想队”恰好猜对三首歌曲歌名为事件C,

则C=+^42^1^1^2++'

故P(C)=P(A1A2B1B2+A2A1B1B2+B1A1A2B2+B2A1A2B1)

31221223

1XXX+X1XX+X“1、2231-2、

--4-2-3-3--2-3-3-4x(l--)x-+-x-x-x(l--)

_7_

=18；

(2)设“梦想队”恰好获得4分为事件。，

9

则。=A2A1B1B2+B2A1A2B1+A1A2B1B2

则P(D)=P(A2ArBrB2+B2A1A2B1+A1A2B1B2)

21223123

XXX+XX+X1XX

-3-2-3-3-4-2-3-4

2

9

【解析】根据题意，设甲在第一轮猜对歌名为事件&,甲在第二轮猜对歌名为事件为，乙在第一

轮猜对歌名为事件名,乙在第二轮猜对歌名为事件殳，

(1)设“梦想队”恰好猜对三首歌曲歌名为事件C,分析可得C=以4/殳+彳2力再也+

力出出4+或4血%，由互斥事件的概率公式计算可得答案;

(2)设“梦想队”恰好获得4分为事件D,贝S=月必/殳+用4加