2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级（上）期末数学试卷（五四学制） （含解析）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级第一学期期末数

学试卷（五四学制）

一.选择题（共10小题）.

1.下列各点中，在反比例函数y=封图象上的是（）

x

A.（-1,8）B.（-2,4）C.（1,7）D.(2,4)

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

3.袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同，即除颜色外无

其他差别.在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，是白球的概率是（）

4.下面四个几何体中，主视图为三角形的是（）

A.y=x2+2B.y=（x-1）2+1C.y=（x-2）2+2D.y=（x-1）2-3

6.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为a,测倾仪高AO为1.5米,

则铁塔的高为（）

B

150

A.(1.5+150tana)米B.(1.54）米

tanCl

C.(1.5+150sina)米D.(1.5+.吗-)米

sin。

7.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=lcm,将RtZ\ABC绕点A逆时

针旋转得到RtaAB'C,使点。落在AB边上，连接则83的长度是（

B'

A.1cmB.2cmC.yf2cmD.

8.如图，O。为△ABC的外接圆，已知/ABC为130°,则/AOC的度数为（）

A.50°B.80°C.100°D.115°

9.如图，在△ABC中，点、D,E,尸分别在AB,AC,BC±,DE//BC,EF//AB,则下列

式子一定正确的是（）

AB_CEDE_AE

AC"BDCF'EC

10.如图，抛物线y=ax2+fcr+c（cz#0）与x轴交于点（4,0）,其对称轴为直线尤=1,结

合图象给出下列结论：

①abc<0；

②4。-2b+c=0；

③当尤>1时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个实数根.

其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

二.填空题（共10小题）.

11.在平面直角坐标系中，点（3,2）关于原点对称的点的坐标是.

12.抛物线y=2（x+1）2-3的顶点坐标为.

13.一辆汽车行驶的路程s（单位：m）关于时间f（单位：s）的函数解析式是s=9f+，■凡

经过16s汽车行驶了m.

14.反比例函数y=K的图象经过点（-2,3）,则％的值为.

x

15.如图，是△ABC的外接圆。。的直径，若/氏4。=40。，则°.

16.在△ABC中，NC=90°，sinA=—,BC=6,则AC的长为

4

17.若扇形的圆心角为45°,半径为6,则该扇形的弧长为.

18.AB是。。的弦，垂足为M,连接。4.若△AOM中有一个角是30°,OM

=3,则弦的长为

19.同时掷两个质地均匀的骰子，则两个骰子的点数和是10的概率为.

20.如图，△ABC的中线与高CE交于点忆AE=EF,FD=2,&ACF=24,则AB的长

为.

三、解答题（60分）

23-

21.先化简，再求代数式（1+3）2xjxx值,其中x=3tan30°.

x-1x-2x+l

22.如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段A2的端点A、B均在小正方

形的顶点上.

（1）在图中画出等腰△ABC,点C在小正方形顶点上；

（2）在（1）的条件下确定点C后，再确定点。，点D在小正方形顶点上，请你连接

DA,DC,DB,使tan/ACZ）=春，并直接写出四边形AOBC的面积为.

O

23.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，高远中学随机抽取了部分学生进行调查.要

求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为

自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中

所给的信息解答下列问题

不合格

(1)这次活动共抽查学生多少名？

(2)请通过计算补全条形统计图；

(3)若高远中学共有1600名学生，估计该中学“优秀”等次的学生有多少名？

24.如图，在中，ZBAC^90°,AB=AC,点。是8c边上一动点，连接AD,

把AO绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,。区点/是。E的中点，连接CF.

(1)求证：CF=AF；

(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形.

BDC

25.某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商场购买了甲、乙两种

笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买

甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元.

(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

(2)班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种

笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？

26.ZVIBC内接于。。，CA^CB,BD为的直径，NDBC=30；

(1)如图1,求证：△ABC为等边三角形；

(2)如图2,弦AE交于点尸，点G在EC上，ZBAF^ZGAF,求证：FB=FG；

(3)如图3,在(2)的条件下，弦8H分别交Ab，AG于P,。两点，PO=DH=M，

AC=3市,求。G的长.

27.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线>=办2+云-3交x轴负半轴于点A,

交无轴正半轴于点8,交y轴于点C,OB^OC^OA.

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点D在抛物线上，且点。在第二象限，连接3。交y轴于点E,若tan/

EBA=-^-,求点。的坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，点尸在抛物线上，且点尸在第三象限，点/在尸8上，

FC=FB,过点尸作龙轴的垂线，点G为垂足，连接。G并延长交BF于点若NDHP

=ZCEB,求BP的长.

参考答案

一.选择题(共10小题).

1.下列各点中，在反比例函数y=旦图象上的是()

x

A.(-1,8)B.(-2,4)C.(1,7)D.(2,4)

解：A、：-1X8=-8W8,.•.该点不在函数图象上，故本选项错不合题意；

8、：-2X4=-8W8,.,.该点不在函数图象上，故本选项不合题意；

C、：1X7=7/8,.•.该点不在函数图象上，故本选项不合题意；

D、2义4=8,.•.该点在函数图象上，故本选项符合题意.

故选：D.

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：4既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

3.袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同，即除颜色外无

其他差别.在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，是白球的概率是()

【分析】用白球的个数除以总球的个数即可得出答案.

解：••.袋子中装有4个黑球、2个白球，共有6个球,

...随机从袋中摸出1个球，是白球的概率是3=春.

63

故选：A.

4.下面四个几何体中，主视图为三角形的是（）

【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案.

解：A、主视图是圆，故A不符合题意；

B、主视图是三角形，故B符合题意；

C、主视图是矩形，故C不符合题意；

。、主视图是正方形，故。不符合题意；

故选：B.

5.把函数y=（x-1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A.y=x2+2B.y=（x-1）2+1C.y—（x-2）2+2D.y—（x-1）2-3

解：二次函数？=（X-1）2+2的图象的顶点坐标为（1,2）,

・••向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2,2）,

所得的图象解析式为y=（x-2）2+2.

故选：C.

6.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为a,测倾仪高为1.5米,

则铁塔的高8C为（）

150

A.(1.5+150tana)米B.(1.54）米

tanCL

150

C.(1.5+150sina)米D.(1.54）米

sinCL

【分析】过点A作E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC

CE+3E即可得出结论.

解：过点A作AE_LBC,E为垂足，如图所示:

则四边形AOCE为矩形，AE=150,

：.CE=AD=1.5,

在△ABE中，•.•tana="=^^，

AE150

...BE=150tana,

：.BC=CE+BE=(1.5+150tana)(m),

故选：A.

,ZABC=30°,AC=\cm,将RtZkABC绕点A逆时

使点。落在AB边上，连接则88的长度是（

A.IcmB.2cmC.\[^cmD.2yf2cm

【分析】由直角三角形的性质得到AB=2AC=2,然后根据旋转的性质和线段垂直平分线

的性质得到A3'=BB'.

解：•.,在RtaABC中，NC=90°,ZABC=30°,AC^lcm,

：.AC=^AB,则A8=2AC=2CM.

又由旋转的性质知，AC=AC=^AB,B'CLAB,

：.B'C是△ABB，的中垂线，

：.AB'=BB'.

根据旋转的性质知A8=A夕=BB'=2cm.

故选：B.

8.如图，为△ABC的外接圆，已知乙钻。为130。，则NAOC的度数为（）

A.50°B.80°C.100°D.115°

解：作曲所对的圆周角NAOC,如图，

VZAZ)C+ZABC=180°,

而NA8C=130°,

ZADC=180°-130°=50°,

AZAOC=2ZADC=100°.

故选：C.

9.如图，在△ABC中，点。，E,歹分别在A3,AC,BC±,DE//BC,EF//AB,则下列

式子一定正确的是（）

B

AADCEDCECFABCE「DEAE

-DB-AE-AC-BF-AC-BD-CF"EC

【分析】根据平行线分线段成比例可对A选项和8选项进行判断；：利用。E〃BC得到

黑=玲，则根据比例的性质可对C选项进行判断；通过证明△ADEsaEFC,则利用

DUCt

相似比可对D选项进行判断的.

解：-：DE//BCf

VDE〃BC,

：.ZAED=ZC,

'：EF//AB,

：.ZA=ZCEFf

：.AADEsAEFC,

•..塔=萼，所以。选项正确.

CrCt

故选：D.

10.如图，抛物线丁=依2+析+。（〃¥0）与冗轴交于点（4,0）,其对称轴为直线尤=1,结

合图象给出下列结论：

①次?cVO；

②4。-2b+c=0；

③当%>1时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个实数根.

其中正确的结论有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：抛物线开口向上，则a>0,对称轴x=-2=l,则6=-2a<0.与y轴交于负半

轴，则c<0,故abc>0,所以①错误；

抛物线对称轴为尤=1，与x轴的一个交点为（4,0）,则另一个交点为（-2,0）,于

是有4a-2b+c=0,所以②正确；

x>l时，y随x的增大而增大，所以③正确；

抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于%的一元二次方程以2+次+,=（）有两个不相等的

实数根，所以④错误；

综上所述，正确的结论有：②③，

故选：B.

二.填空题（每题3分，共30分）

11.在平面直角坐标系中，点（3,2）关于原点对称的点的坐标是（-3,-2）.

【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案.

解：点（3,2）关于原点对称的点的坐标是（-3,-2）,

故答案为：（-3,-2）.

12.抛物线y=2（x+1）2-3的顶点坐标为（-1,-3）..

【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标.

解：顶点坐标是（-1,-3）.

故答案为：（-1,-3）.

13.一辆汽车行驶的路程s（单位：m）关于时间f（单位：s）的函数解析式是s=9f+/f2,

经过16s汽车行驶了272m.

【分析】将r=16代入函数解析式求解即可.

解：当f=16时，5=9X16+^X162=272,

经过16s汽车行驶了272m,

故答案为：272.

14.反比例函数y=K的图象经过点（-2,3）,则k的值为-6.

X

【分析】将点（-2,3）代入解析式可求出左的值.

解：把（-2,3）代入函数丁=三k中，得3=々k，解得仁-6.

x-2

故答案为：-6.

15.如图，是△A3C的外接圆。。的直径，若NA4O=40°,则NAC3=50

D

【分析】连接3D如图，根据圆周角定理即可得到结论.

解：连接5。，如图，

VAZ）为△ABC的外接圆。。的直径，

ZABD=90°,

：.ZD=90°-ZBAD=90°-40°=50°,

Z.ZACB=ZD=50°.

故答案为50.

16.在△ABC中，NC=90°,sinA=4—,BC=6,则AC的长为——.

【分析】根据锐角三角函数的意义，求出A3,再根据勾股定理求出BC即可.

解：VsinA=4=^-,BC=6,

4AB

：.AB=S,

•■•BC=VAB2-BC2

=VS2-62

=V28

=24，

故答案为：2-^7-

17.若扇形的圆心角为45°,半径为6,则该扇形的弧长为_米」.

【分析】把已知数据代入弧长公式，计算即可.

解：由题意，得该扇形的弧长=45：j

loU2

3

故答案为：靖i.

18.A8是。0的弦，OMLAB,垂足为连接。4.若△AOM中有一个角是30°,OM

=3,则弦的长为6«或2向.

【分析】分/O4M=30°,ZAOM=30°,两种情况分别利用正切的定义求解即可.

解：\'OM±AB,

：.AM=BM,

若/。4M=30°,

则tanZ0AM=—=-^-

AMAH3

.•.AM=3«,

：.AB=2AM=6-/j；

।,AMAMM

贝1mUtanZAOM==—

OM33

：.AM=4Z，

：.AB=2AM=2-/j.

故答案为：6«或2代.

19.同时掷两个质地均匀的骰子，则两个骰子的点数和是10的概率为3.

一12一

【分析】列举出所有情况，让两个骰子的点数和是10的情况数除以总情况数即为所求的

概率.

解：易得有6X6=36种可能，两个骰子的点数和是10的有4,6；5,5；6,4共3种，

所以概率是看.

20.如图，△ABC的中线与高CE交于点/，AE=EF,FD=2,SAACF=24,则AB的长

为_

【分析】先判断出△BOMg/XCQ尸进而得出凡ZM=ZCFD.再判断出

是等腰直角三角形，求得BE=FN=2近,然后利用SAACF=24,即可得出结论.

解：延长AO至点使MD=FD,连接MB,

在和△€!)尸中，

'BD=CD

<ZBDM=ZCDF，

kDM=FD

:.ABDM当ACDF(SAS).

；.MB=CF,/M=/CFD.

J.EC//BM,

,:EA=EF,CE是△ABC的高,

：.ZEAF=ZEFA=45°,

,JEC//BM,

AZABM=ZAEF=90°,

ZM=ZMAB=45°,

：.AB=MB,

：.AB=CFf

•・・CE是△A3C的高，S"c尸=24,

.---^CFME=24,即^4B・AE=24,

作FNLBM于■N,

则四边形EWVB是矩形，△EWN是等腰直角三角形,

...BE=FN=^FM=华X2FD=^FD=272，

：.AE=AB-2瓜

：.^AB-AE=^AB(AB-2&)=24,

：.AB=6y/2(负数舍去)，

故答案为672.

3_

2L先化简’再求代数式。+击)-3-J值，其中x=3tan30°.

x-2x+l

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊锐角的三角函数

值确定x的值，继而代入计算可得答案.

右x-l2x(x+l)(x-l)

解：原式:(工4+3)-—；一-2~

x-lx-l(x-l)2

x+1X-l

x-lx(x+l)

X

当x=3tan30°=3时,

原式端哼・

22.如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、8均在小正方

形的顶点上.

(1)在图中画出等腰△A8C,点C在小正方形顶点上;

(2)在(1)的条件下确定点C后，再确定点。，点D在小正方形顶点上，请你连接

DA,DC,DB,使tan/ACO=\＞并直接写出四边形4OBC的面积为」

O

【分析】(1)根据等腰三角形的定义，画出图形即可.

(2)取格点K,连接CK,由tan/AKC=V，证明/AKC即可.

O

(2)如图，四边形AD2C即为所求作.

S四边形AOBC=3X3--^-XlX3--^-XlXl--^-X2X3=4.

故答案为4.

23.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，高远中学随机抽取了部分学生进行调查.要

求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为

自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中

所给的信息解答下列问题

不合格

(1)这次活动共抽查学生多少名？

(2)请通过计算补全条形统计图；

(3)若高远中学共有1600名学生，估计该中学“优秀”等次的学生有多少名？

【分析】⑴通过条形统计图可得“优秀”的有40人，“良好”的有80人，“一般”

的有60人，而“良好”的占40%,可求出调查人数；

(2)计算出。等级的人数，即可补全条形统计图；

(3)样本中“优秀”的占调查人数的燃•，因此总体1600人的患是“优秀”的人数.

解：(1)804-40%=200(名)，

答：这次活动共抽查学生200名；

(2)200-80-40-60=20(名),

补全条形统计图如图所示：

答：高远中学1600名学生中“优秀”等次的学生大约有320名.

24.如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。是3C边上一动点，连接AQ,

把绕点A逆时针旋转90°,得至UAE,连接CE,OE.点尸是OE的中点，连接CR

(1)求证：CF=AF；

(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形.

E

BD

【分析】（1）由“SAS”可证△54。g可得/48。=/4以=45°,可求N8CE

=90°,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得结论；

（2）根据等腰三角形的判定定理进行推理即可.

【解答】（1）证明：•：ZBAC^ZDAE^90°,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,即ZBAD=ZCAE.

在△BA。与中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE.

LAD=AE

.♦.△BA。g△CAE（SAS）.

/ABD=NACE.

\"AB=AC,ZBAC=90°,

ZABC=ZACB=45°.

：.ZABD=ZACE=45°,

/DCE=ZACB+ZACE^90°.

:点尸是。E的中点，ZDAE=ZDCE=9Q°.

：.AF~DE,CF^—DE.

22

CF=AF；

（2）解:符合条件的等腰直角三角形有：△ABC,AADE,AADF,AAFE.

理由如下：在aABC中，AB=AC,/BAC=90。，则△ABC是等腰直角三角形.

在△AOE中，AD=AE,NDAE=90°,则△DEA是等腰直角三角形.

在等腰RtAADE中，：点F是。E的中点，

：.AD±DE,AF=DF=EF~DE,

：.AADF,△AFE都是等腰直角三角形.

E

BD

25.某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商场购买了甲、乙两种

笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买

甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元.

（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种

笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？

【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需尤元，一个乙种笔记本需y元，由购买甲种笔记

本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25

个，共花费225元.列出方程组，可求解；

（2）设需要购买a个甲种笔记本，由总费用不超过300元，列出不等式，即可求解.

解：（1）设购买一个甲种笔记本需尤元，一个乙种笔记本需y元，

15x+20y=250

由题意可得:

10x+25y=225

x=10

解得:

y=5

答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；

（2）设需要购买。个甲种笔记本，

由题意可得：10a+5（35-a）W300,

解得：aW25,

答：至多需要购买25个甲种笔记本.

26.△ABC内接于。0,CA^CB,8。为。。的直径，ND8C=30°.

（1）如图1,求证：△ABC为等边三角形；

（2）如图2,弦AE交2C于点孔点G在EC上，ZBAF=ZGAF,求证：FB=FG；

（3）如图3,在（2）的条件下，弦8反分别交AB,AG于P,Q两点，PO=DH=M，

AC=34，求QG的长.

【分析】（1）如图1,连接C。，由/BAC=60°、CA=CB证得AABC为等边三角形；

（2）如图2,根据△BA尸丝△GAP（SAS）的对应边相等证得EB=FG；

（3）如图3,过点。作0cpH,点乙为垂足.

首先，推知RtAPOL中的/。尸£=30°；连接A8,延长尸。交A8于点构造等边4

AHP；

然后，连接A。，通过解直角△48。得到BD=2亚，在直角△BZ汨中，利用勾股定理

Q2

求得3H=9,继而根据垂径定理推知a=U/=『所以通过解直角△POL求得也=子.由

图中线段间的和差关系易得尸”=6,BP=3.则等边三角形尸中，得到，AP=PH=

6,NAPH=60°；

最后，连接BE,构造等边根据等边三角形的性质和平行线的判定定理推知PQ

//EG,结合平行线截线段成比例求得QG=J7.

【解答】（1）证明：如图1,连接C。，

为。。的直径,

：.ZBCD=90°.

9：ZDBC=30°,

：.ZBDC=90°-ZDBC=60°.

：.ZBAC=ZBDC=60°.

VCA=CB,

・・・△ABC为等边三角形;

(2)证明：如图2,

图2

•••△A3C为等边三角形，

・・・ZABC=ZACB.

'：ZE=ZABC,

：.ZACB=ZE.

9

：ZBAF=ZGAFfZBAF=Z.BCE,

：.ZGAF=ZBCE.

：.ZACB+ZBCE=NE+NGAH

ZAGC=ZE+ZGAF,

：.ZAGC=ZACG.

：.AG=AC.

・・・△ABC为等边三角形，

：.AC=AB.

：.AB=AG.

9：ZBAF=GAF,AE=AF,

：.^BAF^AGAF(SAS).

:.FB=FG；

(3)解：如图3,过点。作0£，尸”，点上为垂足.

图3

:点。为圆心，

:.BL=LH,

\'BO=OD,

：.OL=­DH.

2

,:PO=DH,

：.OL=­PO.

2

在RtZXPOL中，sin/OPL=2^=2.

OP2

：.ZOPL=3Q°.

连接AH,延长P。交AH于点M,

VAABC是等边三角形，

ZACB=6Q°.

：.ZAHB=ZACB=60°.

：.ZPMH=18O°-NAHB-NOPL=90°.

：.OM1AH.

：.AM=MH.

：.PA=PH.

VZAHP=60°.

.•.△AHP是等边三角形.

连接AD,

：8。为。。的直径，

：.ZBAD^90°.

•/△ABC是等边三角形，

:.AB=AC=3政.

VZADB=ZACB=60°.

AR3\17___

・•・在直角△A3。内，sinNAD3=黑，BD=——=2^L

BDsin60

・・・瓦）为OO的直径，

：.ZBHD=90°.

在直角△8DH中，BDi1=BH1+DH1,

:・BH=9.

•・・OLLPH,

9

：.BL=LH~,

2

PT1

在直角△尸OL中，cosZOPL=^~.

u：ZOPL=30°.

:。=如当=当

：.PH=6,BP=3.

・・・△AH尸是等边三角形，

：.AP=PH=6,ZAPH=60°.

连接BE,

a：ZBEA=ZACB=6Q°,ZBPE=ZAPH=60°,

：.ZPBE=60°.

ZPBE=NBPE=ZBEA.

•••△BPE是等边三角形.

:・PE=PB=3.

：.AE=9.

•・•NAEC=ZABC=ZBPE=60°,

J.PQ//EG.

.QG=PE

•,瓦一记

VAG=AC=377.

・・・QG=A

27.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线>=办2+云-3交x轴负半轴于点A,

交无轴正半轴于点8,交y轴于点C,OB^OC^OA.

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点。在抛物线上，且点D在第二象限，连接2。交y轴于点E,若tan/

£BA=-1-,求点。的坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，点P在抛物线上，且点尸在第三象限，点p在PB上，

FC=FB,过点尸作无轴的垂线，点G为垂足，连接DG并延长交于点若/DHP

【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标可求出点C的坐标，进而可得出0C的长，

结合OB=OC=3/2OA,可求出08,OA的长，进而可得出点A,8的坐标，再利用待定

系数法即可求出二次函数解析式；

(2)在中，通过解直角三角形可求出0E的长，进而可得出点E的坐标，根

据点8,E的坐标，利用待定系数法可求出直线8E的解析式，再联立两函数解析式成方

程组，解之即可得出点。的坐标(舍去点8的坐标)；

(3)连接。尸，过点尸作y轴的垂线，点T为垂足，取。/的中点N,连接。M过点G

作。N的垂线交OV的延长线于点R,依次证明△OFBgZkOFC(SSS)、四边形OTFG

3

为正方形、AOEBmAMND(SAS)；设0G=GF=m,8G=3-m,NG=^+m,由tan

ZNDG=tanZGBF,得关于根的等式，解得机的值；设点P的横坐标为小则点尸的纵

12Ipm1

坐标为上n--^n-3,在RtaPWB中，由tanN尸5卬=黑=《，得关于〃的方程，解

22BW2

得〃的值；最后在RtZXPWfi中，根据5P2=尸肝+3解，求得3尸的长即可.

角麻(1)二•二次函数y=〃N+Z?x-3,

・,•当％=0时，y=3,C(0,-3),

：.OC=3,

2

VOB=OC=^-OA,08=3,0A=2,

2

：.B(3,0),A(-2,0),

.[9a+3b-3=0

，，l4a-2b-3=0，

'A

解得[,

,b=T

抛物线的解析式为y=/x-yX-