2019高考理科数学模拟考试试题(二)

2019高考理科数学模拟试题(二)

考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷(选择题)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合

题意)

1.已知集合A={X|X2-4X+3W0},B=(1,3],则ACB=()

A.[1,3]B.(1,3]C.[1,3)D.(1,3)

2.若2-i是关于x的方程x?+px+q=0的一个根(其中i为虚数单位，p,qWR),

则q的值为()

A.-5B.5C.-3D.3

3.已知p：函数f(x)=(a-1)”为增函数，q：Vxe-1<0,则p是

「q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.2017年高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计,

发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟

合.据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超

过95分的概率是()

A.LB.Lc.LD.之

6328

5.设函数f(x)=2cos(cox+4))对任意的xdR,都有=f(二+x)，若函

33

数g(x)=3sin(a)x+4))-2,则g(£)的值是()

3

A.1B.-5或3C.-2D.L

2

6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，

多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术".利用"割圆术”刘徽得到了

圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的"徽率如图是利用刘

徽的"割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：

sinl5°=0.2588,sin7.5°=0.1305)()

厘|

n=6

A.16B.20C.24D.48

7.已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）

主视图侧视图

2

俯视图

A.8nB.16nC.32nD.64n

8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在［-1,0］上单调递减，

设a=f(-2.8),b=f(-1.6),c=f(0.5),则a,b,c大小关系是()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

9.在二项式(2x+a)s的展开式中，含x2项的系数等于320,则J；(/+2x)dx二

()

A.e2-e+3B.e2+4C.e+1D.e+2

10.过平面区域,y+2>0内一点P作圆O：x2+y2=l的两条切线，切点分别为A,

x+yF240

B,记NAPB二a,则当a最小时cosa的值为()

A.B.11C.-LD.

1020102

222

11.双曲线--J=i（a2l,b2l）的离心率为2,则与上L的最小值为（）

a2b2V3a

A.2返B.丑叵C.2D.上返

332

12.定义在R上的可导函数f（x）,其导函数记为f'（x）,满足f（x）+f（2-x）

=（x-1）2,且当xWl时，恒有f，（x）+2<x.若f（m）-f（l—m）之|一3加，则

实数m的取值范围是（）

A.（-8,1]B.（」，1]C.[1,+8）D.（-co,.L1

、32

第H卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.花园小区内有一块三边长分别是5m,5m,6m的三角形绿化地，有一只小

狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形

三个顶点的距离均超过2m的概率是.

14.已知0为原点，点P为直线2x+y-2=0上的任意一点.非零向量W=（m,n）.若

而恒为定值，则为.

n

15.对于数列5｝,定义H产士竺亡二组&•为｛aj的"优值"，现在已知某数

n

列｛an｝的"优值"乩=2叫记数列｛an-kn）的前n项和为Sn,若SgS6对任意的n

恒成立，则实数k的取值范围是.

16.已知函数f（x）=COS（U）x+（j））（3>0,4）|当x=-工时函数f（X）

24

能取得最小值，当X=2L时函数y=f（x）能取得最大值，且f（X）在区间（2L,

418

旦L）上单调.则当3取最大值时力的值为.

36

三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（12分）设等差数列｛aj的前n项和为Sn，a5+a6=24,Su=143,数列｛bj的

前n项和为Tn，满足22「=勾_21（n€N*>

1

（I）求数列｛an｝的通项公式及数列(anard-l｝的前n项和;

（II）判断数列｛bn｝是否为等比数列?并说明理由.

18.（12分）某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋

捕捞队.经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直

方图.对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为0.6,不赔不赚

的可能性为0.2,亏损30%的可能性为0.2.假设该公司投资本地养鱼场的资金为

x（x20）千万元，投资远洋捕捞队的资金为y（y20）千万元.

（1）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润S的分布列和数学期望E2

（2）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于

远洋捕捞队的一半.适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两

个项目的利润之和最大.

19.（12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,PD,平面ABCD,AD〃BC,CD=13,

AB=12,BC=10,AD=5,PD=8,点E,F分别是PB,DC的中点.

（1）求证：EF〃平面PAD；

（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值.

CB

22

20.(12分)如图，已知椭圆C：¥+'=1，其左右焦点为Fi(-1,0)及F2

ab

(1,0),过点Fl的直线交椭圆C于A,B两点，线段AB的中点为G,AB的中

垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点，且|AFi|、垂F2I、IAF2I构成等差数列.

(1)求椭圆C的方程；

(2)记aGFiD的面积为Si，AOED(。为原点)的面积为S?.试问：是否存在

直线AB,使得S1=S2?说明理由.

21.(12分)已知函数f(x)=e'x-ax(xER).

(1)当a=-1时，求函数f(x)的最小值；

(2)若x20时，f(-x)+ln(x+1)21,求实数a的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为fx=3cosa2为

[y=sina

参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线I的极坐标方程

为Psin(8-^_)=V2,

(1)求C的普通方程和I的倾斜角；

(2)设点P(0,2),I和C交于A,B两点，求|PA|+|PB|.

23.(10分)设函数f(x)=|2x-7|+1.

(1)求不等式f(x)Wx的解集；

(2)若存在x使不等式f(x)-2|x-l|Wa成立，求实数a的取值范围.

2018高考理科数学模拟试题(二)

参考答案与试题解析

一.选择题(共12小题)

1.已知集合人=仅仅2-4*+3<0},B=(1,3],则APB=()

A.[1,3]B.(1,3]C.[1,3)D.(1,3)

【分析】先分别求出集合A,B,由此能求出APB.

【解答】解：•.•集合A={X|X2-4X+3W0}={X|1WXW3},

B=(1,3],

.*.AAB=(1,3].

故选：B.

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的

合理运用.

2.若2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根(其中i为虚数单位，p,q《R),

则q的值为()

A.-5B.5C.-3D.3

【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解.

【解答】解：•••2-i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，

/.2+i是关于x的实系数方程x?+px+q=0的另一个根，

贝I」q=(2-i)(2+i)=|2-i|2=5.

故选：B.

【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是

基础题.

3.已知p：函数f(x)=(a-1)工为增函数，q：Vxe-1<0,则p是

「q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】p：函数f(x)=(a-1)*为增函数，则解得a范围.

q：VxG<0,a《（L）..即可判断出关系.

【解答】解：p：函数f（x）=（a-1）X为增函数，则解得a>2.

q：VxG11,ax—1<0,=1.1q：a>l.

L2J、'x'

则p是「q的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法,

考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.2017年高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，

发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N（95,82）的密度曲线非常拟

合.据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超

过95分的概率是（）

A.LB.Lc.LD.3

6328

【分析】由题意，英语成绩超过95分的概率是工，利用相互独立事件的概率公

2

式，即可得出结论.

【解答】解：由题意，英语成绩超过95分的概率是L,

2

•••在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名向学的英语成绩超过95分的概

率是哈《）2・卓2得,

故选：D.

【点评】本题考查正态分布，考查相互独立事件的概率公式，比较基础.

5.设函数f（x）=2cos（cox+4））对任意的xdR,都有=f（二•+x），若函

33

数g（x）=3sin（u）x+4））-2,则g（£）的值是（）

3

A.1B.-5或3C.-2D.L

2

【分析】根据f（工+x）=f（2L-X）确定x=2L是函数f（x）的对称轴，再由正

333

余弦函数在其对称轴上取最值，求得g（2L）的值.

3

【解答】解：函数£0)=28$(3*+4))对任意的*£(都有f(?_x)=f(=+x)，

33

二函数f(X)的一条对称轴方程为X=2L,

3

且x=2L时函数f(x)过最高点或最低点；

3

/.COS(2Lu)+(t))=±1,

3

解得2Lu)+(j)=k7i,kWZ；

3

/.g(2L)=3sin(2Lu)+巾)-2=3sinkn-2=-2.

33

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，注意正余弦函数在

其对称轴上取最值.

6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，

多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术".利用"割圆术”刘徽得到了

圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的"徽率如图是利用刘

徽的"割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为(参考数据：

sinl5°=0.2588,sin7.5°=0.1305)()

n=6

/能出?/

结束、\

A.16B.20C.24D.48

【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环.

【解答】解：模拟执行程序，可得：

n=6,S=3sin60°=^Zl,

2

不满足条件S23.10,n=12,S=6Xsin30°=3,

不满足条件S23.10,n=24,S=12Xsinl5°=12X0.2588=3,1056,

满足条件S23.10,退出循环，输出n的值为24.

故选：C.

【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力,注意判断框的条件的应用,

属于基础题.

7.已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()

主视图侧视图

2

俯视图

A.8nB.16nC.32RD.64n

【分析】由三视图判断出几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，求出对

应的高和底面的边长，根据它的外接球是对应直三棱锥的外接球，由外接球的结

构特征，求出它的半径，代入表面积公式进行求解.

【解答】解：由三视图知该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，

直三棱锥的高是2,底面的直角边长为斜边为2,

则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，

设几何体外接球的半径为R，因底面是等腰直角三角形，则底面外接圆的半径为

1,.*.R2=1+1=2,故外接球的表面积是47IR2=8TI,

故选A.

【点评】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空

间想象能力，计算能力.

8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在［-1,0］上单调递减,

设a=f(-2.8),b=f(-1,6),c=f(0.5),则a,b,c大小关系是()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

【分析】由条件可得函数的周期为2,再根据a=f(-2.8)=f(-0.8),b=f(-

1.6)=f(0.4)=f(-0,4),c=f(0.5)=f(-0.5),-0,8<-0.5<-0.4,且函数

£6)在［-1,0］上单调递减，可得a,b,c大小关系

【解答】解：•••偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),...函数的周期为2.

由于a=f(-2.8)=f(-0.8),

b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4),

c=f(0.5)=f(-0.5),

-0,8<-0,5<-0.4,且函数f(x)在［-1,0］上单调递减，

.\a>c>b,

故选：D

【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数

学思想，属于中档题.

9.在二项式(2x+a)§的展开式中，含X2项的系数等于320,则J；(eX+2x)dx=

()

A.e2-e+3B.e2+4C.e+1D.e+2

【分析】二项式(2x+a)5的展开式中，含x2项，利用通项公式求出含有x2的项，

可得系数，从而求出a,利用定积分公式求解j；(eX+2x)dx即可.

【解答】解：二项式(2x+a)§的展开式中，含x2项，

由通项公式T讨女洛^屹乂)5^，

•••含X?项，

：.r=3.

，含有X?的项的系数为比&322=320,

可得：a=2.

贝UJJ(ex+2x)dx=J：eXdx+J：2xdx=e2-e+22_l=e2-e+3.

故选：A.

【点评】本题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及定积分公式的计算.属

于基础题

x-y+2》0

10.过平面区域什2》0内一点P作圆0：x2+y2=l的两条切线，切点分别为A,

x+yl-240

B,记NAPB=a,则当a最小时cosa的值为（）

A.B.11C.AD.1

1020102

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使a最小,

则P到圆心的距离最大即可,

由图象可知当P位于点D时，NAPB=a最小，

由产=。,解得卜二-4,即D(-4,-2),

IXT1H'2=0ly=-2

此时l°D।=V(-4)2+(-2)2=V20=2V5,l°AI=1,

则NAPO二色，SPsinA=JAO]_1,

乙22|0P|275

止匕时cosa=l-2sin2^-=l-2(—2=1-

22V51010

故选：C

222

11.双曲线--J=i(a>l,b^l)的离心率为2,则与士L的最小值为()

a2b2V3a

A.道B.3+畲c.2D.1+畲

332

22

【分析】根据双曲线^--J=i（a21,b'l）的离心率为2,可得a,b的关系,

2,21

ab

22

代入耳」上化简，利用单调性，即可求得与H的最小值.

V3aV3a

22

【解答】解：・・•双曲线三三二1(a2l,b2l)的离心率为2,

a2b2

*e*—=2

a

/.b2=3a2

•b2+l=3a?+l=11

V3aV3aM&a

Va^l

.♦._l(3a+L)在[1,+8)上单调增

V3a

••♦⑶+工户唱

V3a3

故选A.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查函数的单调性，正确运用双曲线的几

何性质是关键.

12.定义在R上的可导函数f(x),其导函数记为f(x),满足f(x)+f(2-x)

=(x-1)2,且当xWl时，恒有f'(x)+2<x.若f(m)-f(l-m)?|-37n,则

实数m的取值范围是()

A.(-8,1]B.(，，1]C.[1,+8)D.(-oo,工]

、32J

【分析】令g(x)=f(x)+2x_求得g(x)+g(2-x)=3,则g(x)关于

2

(1,3)中心对称，则g(x)在R上为减函数，再由导数可知g(x)在R上为

减函数，化f(m)-f(l-m)2|-3m为g(m)(1-m),利用单调性求解.

2

【解答】解：令g(x)=f(x)+2x--x.

gf(x)=f(x)+2-x,当xWl时，恒有f*(x)+2<x.

・•・当xWl时，g(x)为减函数，

而g(2-x)=f(2-x)+2(2-x)-"2"(2-X)2,

22

.,.f(x)+f(2-x)=g(x)-2x+A-x+g(2-x)-2(2-x)+A.(2-X)

=g(x)+g(2-x)+x2-2x-2=x2-2x+l.

/.g(x)+g(2-x)=3.

则g(x)关于(1,3)中心对称，则g(x)在R上为减函数，

2

2j

由f(m)—f(l—m)>|—3m,得f(m)+2m蒋11122f(1-m)+2(1-m)-)

即g(m)2g(1-m),

.♦.mWl-m,即

，实数m的取值范围是(-8,1],

2

故选：D.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是

压轴题.

二.填空题(共4小题)

13.花园小区内有一块三边长分别是5m,5m,6m的三角形绿化地，有一只小

狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形

三个顶点的距离均超过2m的概率是1-工.

【分析】根据题意，记"小狗距三角形三个顶点的距离均超过2"为事件A,则其

对立事件仄为"小狗与三角形的三个顶点的距离不超过2”,先求得边长为4的等

边三角形的面积，再计算事件仄构成的区域面积，由几何概型可得P(N)，进而

由对立事件的概率性质，可得答案

【解答】解：记"小狗距三角形三个顶点的距离均超过2"为事件A,则其对立事

件仄为"小狗与三角形的三个顶点的距离不超过2",

三边长分别为5m、5m、6m的三角形的面积为S=-Lx6X4=12,

2

则事件吊勾成的区域可组合成一个半圆，其面积为S(A)=ljiX22=2n,

2

由几何概型的概率公式得P(A)=2兀J；

126

P(A)=1-P(A)=1-—；

6

故答案为：1-生

6

【点评】本题考查几何概型，涉及对立事件的概率性质；解题时关键是求出小狗

与三角形三个顶点的距离均不超过2m区域面积.

14.已知。为原点，点P为直线2x+y-2=0上的任意一点.非零向量W=(m,n).若

瓦・二恒为定值，则为2.

n

【分析】设点P(X,y),由P为直线2x+y-2=0上的任意一点，用x表示而，

写出而・W的解析式；

根据而・力恒为定值，x的系数为0,求出m、n的关系，可得见的值.

n

【解答】解：设点P(X,y),

•.•点P为直线2x+y-2=0上的任意一点，

y=2-2x,

/.0P=(x,2-2x)；

又非零向量4=(m,n),

OP*a=mx+n(2-2x)=(m-2n)x+2n恒为定值，

Am-2n=0,

•ID_n

••—―£.♦

n

故答案为：2.

【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题.

15.对于数列5｝,定义Hn=2li竺吐*A为⑸｝的“优值"，现在已知某数

n

列｛an｝的"优管H=2叫记数列｛an-kn｝的前n项和为Sn,若SKS6对任意的n

恒成立，则实数k的取值范围是rli,11.

【分析】由题意，Hn=±li竺竺竺二&=2M，则ai+2a2+...+2-、产”2日，n

n

n2n

22时，ai+2a2+...+2-an-i=(n-1)2,相减可得a/2(n+1),对a1也成立，

可得an-kn=(2-k)n+2.由于数列｛a0-kn｝为等差数列，S°WS6对任意的n(n

GN*)恒成立可化为a6-6k»0,a7-7k^0,即可得出.

a+2a+，+2nla

【解答】解：由题意，Hn=l2-n=2n^i>

n

n1n1

贝ijai+2a2+...+2-an=n«21,

n2n

n»2时，ai+2a2+...+2'an-i=(n-1)2,

则2nTan=n2"i-(n-1)2n=(n+1)2n,

则an=2(n+1),对ai也成立，

故an=2(n+l)>

贝Uan-kn=(2-k)n+2,

则数列｛a。-kn｝为等差数列，

故SnWS6对任意的n(ndN*)恒成立可化为

a6-6k20,a7-7kW0；

即(6(2-k)+2>0

'l7(2-k)+2<0

解得,毕《《春

故答案为：型，Li.

【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与单调性、数列递推关系，考

查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16.已知函数f(x)=COS(U)x+(j))(3>0,4)|<2—),当x=-工时函数f(X)

24

能取得最小值，当X=2L时函数y=f(x)能取得最大值，且f(X)在区间(工,

418

旦L)上单调.则当3取最大值时力的值为-2L.

367~

【分析】根据X=-2L时f(x)取得最小值，X=2L时f(x)取得最大值，得出(n+

44

1)«T=2L,求出T以及3的值；再由f(X)在(生，12L)上单调，得出T以

221836

及3的取值；讨论3的取值，求出满足条件的3的最大值以及对应6的值.

【解答】解：当x=-2L时f(x)能取得最小值，x=2L时f(x)能取得最大值,

44

/.(n+l)・T=2L-(-2L),

244

gpT=—(nSN)

2n+l

解得3=4n+2,(nGN)

即3为正偶数；

,/f(x)在(2L,且L)上单调，

1836

•5兀_71_K<T

3618122

即T=22L>2L,

36

解得0)^12；

当3=12时,f(x)=cos(12x+。),

且x=-2L,12X(--2L)+4)=-n+2kn,kez,

44

由仲得4)=o,

2

此时f(x)=cosl2x在(工，且L)不单调，不满足题意；

1836

当u)=10时，f(x)=cos(lOx+巾)，

且X=--ZL,10X(-2L)+6=-7i+2kn,kGZ,

44

由〔巾〔得巾=--L,

22

此时f(x)=cos(10X-2L)在(2L,I2L)单调，满足题意；

21836

故3的最大值为10,此时力的值为-2L.

2

故答案为：-2L.

2

【点评】本题考查了余弦型函数的图象和性质的应用问题，也考查了转化思想与

分类讨论思想的应用问题，难度较大.

三.解答题(共7小题，满分70分)

17.(12分)设等差数列｛a/的前n项和为S”，a5+a6=24,Sn=143,数列｛bj的

li1

前n项和为Tn，满足2a=Tn-a1（n€N*）,

（1）求数列｛aj的通项公式及数列｛」一｝的前n项和;

anard-l

（II）判断数列｛4｝是否为等比数列？并说明理由.

【分析】(I)由Sii=l：la6=143,得a6=13,由as+a6=24,得25=11,从而d=2,进

崎｛an｝的通项公式是an=2n+l（n£N*）,再由

1=1=1(11能求出前n项的和.

ananfl(2n+l)(2n+3)22n+l2n+3

n

(II)由ai=3,4n,丁=4+3，得bi=7；当n22时，

bT-T-4n-4n-1=3Xd11-1，从而b.i=4b（n22.若｛bj是等比数列，则

n=nn-1nn

有b2=4bi，与b2=4bi矛盾，从而得到数列｛bn｝不是等比数列.

【解答】（本小题满分12分）

解：（I）设数列｛aj的公差为d,*Sn=lla6=143,.*.a6=13.

又a$+a6=24,解得@5=11,d=2,因此｛aj的通项公式是an=2n+l（nWN*）,

所以—1一=_____1_______=上（-A_____」），

ananM（2n+l）（2n+3）2、2n+l2n+3

从而前n项的和为：

---------1----------1.•••_1---------------------------

3X55X7(2n+l)(2n+3)

25万72n+l2n+3'

--(―--)=—2-...(6分)

22n+3)6n+9

(II)因为a1=3,2ali1=4%T=4n+3e当n=l时，bi=7；

当n22时，匕=1工-1=4"4n_Wxqkl；

所以bn—i=4bn（n22.若以J是等比数列,则有b2=4bi，

而b】=7,b2=12,所以与b2=4bi矛盾，故数列｛bn｝不是等比数列....（12分）

【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查数列是否是等比数列

的判断与求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质

的合理运用.

18.（12分）某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋

捕捞队.经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直

方图.对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为0.6,不赔不赚

的可能性为0.2,亏损30%的可能性为0.2.假设该公司投资本地养鱼场的资金为

x（x20）千万元，投资远洋捕捞队的资金为y（y20）千万元.

（1）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润£的分布列和数学期望E2

（2）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于

远洋捕捞队的一半.适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两

个项目的利润之和最大.

【解答】解：（1）随机变量£的可能取值为0.6y,0,-0.3y,

随机变量£的分布列为，

《0.6y0-0.3y

P0.60.20.2

AE^=0.36y-0.06y=0.3y；

x+yC6

•①,

（2）根据题意得，x,y满足的条件为

x》0

y>0

由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为:

-0.3X0.2X0.5+(-0.1)X0.2X0.5+0,1X0.2X1.0+0.3X0.2X2.0+0.5X0.2X

1.0=0.20,

/.本地养鱼场的年利润为0.20X千万元，

,明年连个个项目的利润之和为z=0.2x+0.3y,

作出不等式组①所表示的平面区域若下图所示，即可行域.

当直线z=0.2x+0.3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.

0.3

x+y=6（

解方程组i，得，x-2

x^-yIy=4

，z的最大值为：0.20X2+0.30X4=1.6千万元.

即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明

年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD，平面ABCD,AD〃BC,CD=13,

AB=12,BC=10,AD=5,PD=8,点E,F分别是PB,DC的中点.

（1）求证：EF〃平面PAD；

（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值.

【分析】取CB的中点G,连结DG,建立空间直角坐标系：

（1）DG=（12,0,0）为平面PAD的一个法向量，根据而1而，进而可证EF

〃面PAD

（2）平面PAD的法向量7（5,-12,0）,代和线面夹角公式，可得答案.

【解答】证明：取CB的中点G,连结DG,因为AD〃BG且AD=BD,

所以四边形ABGD为平行四边形，

所以DG=AB=12,

又因为AB，AD,

所以DGLAD,

又PD,平面ABCD,

故以点D原点建立如图所示的空间直角坐标系....（2分）

因为BC=10,AD=5,PD=8,

所以有D(0,0,0),P(0,0,8),B(12,5,0),C(12,-5,0),

因为E,F分别是PB,DC的中点，

所以E(6,-2.5,0),F(6,2.5,4),

(1)因为PD_L平面ABCD,DGu平面ABCD,

所以PD±DG,

又因为DGLAD,ADPPD=D,AD,PDu平面PAD,

所以DGJ_平面PAD,

所以奇（12,0,0）为平面PAD的一个法向量，…（4分）

又萨(0,5,4),EF-DG=0,

所以而1而，

又EFG平面PAD,所以EF〃平面PAD；...(6分)

(2)设平面PAD的法向量为(x,y,z),

所以但_L竺,即［二•上=0,即(12x+5尸0,

,nlDPln-DP=018z=0

令x=5,贝(5,-12,0)...(9分)

所以EF与平面PDB所成角0满足:

I而=60=60

sin0=.■V41,...（11分）

|EF|-|n|13-V41533

所以EF与平面PDB所成角的正弦值为其…（12分）

533^41

【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的证明，直线与平面的夹角，难度

中档.

22

20.（12分）如图，已知椭圆C：¥+'=1，其左右焦点为Fi（-1,0）及F2

ab

（1,0）,过点Fl的直线交椭圆C于A,B两点，线段AB的中点为G,AB的中

垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点，且|AFi|、|，、|AFzl构成等差数列.

（1）求椭圆C的方程；

（2）记aGFiD的面积为Si，AOED（。为原点）的面积为S?.试问：是否存在

直线AB,使得，=S2?说明理由.

【分析】（Q依题意，|AF】|、iFRl、lAFzl构成等差数列,求出a,再利用c=l,

求出b,即可求椭圆C的方程；

（2）假设存在直线AB,使得Si=S2,确定G,D的坐标，利用△GFDS^OED,

即可得到结论.

【解答】解：（1）因为|AFi|、"而|、IAF2I构成等差数列，

所以2a=|AFJ+|AF2|=2|FIF21=4,所以a=2....（2分）

又因为c=l,所以b?=3,...（3分）

22

所以椭圆C的方程为工+匚=1....（4分）

43

（2）假设存在直线AB,使得Si=S2,显然直线AB不能与x,y轴垂直.

设AB方程为y=k（x+1）

22

将其代入工+匚=1，整理得（4l?+3）x2+8k2x+4k2-12=0…（5分）

43

设A（xi，yi）,B（X2，y2）＞所以x,+x9=——

4k2+3

I22

故点G的横坐标为上—所以G（二芈T^）....（6分）

24k2+34k2+34k2+3

3k

4k2+3i2

因为DG_LAB,所以"kXk=-1,解得XD=3—,

-4kdb2+^

i2

即D(二一，0)…(8分)

4k2+3

•.•Rt^GDFi和•.•RtaODE相似，.•.若SE，则|GD|=|OD|

(o222i2

所以、T--弩一)+(毋)=|注一|，…(1。分)

V4k*+34k，34k巳+34k”+3

整理得8k2+9=0.

因为此方程无解，所以不存在直线AB,使得S1=S2....(12分)

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析

解决问题的能力，属于中档题.

21.(12分)已知函数f(x)=e-x-ax(xER).

(1)当a=-l时，求函数f(x)的最小值；

(2)若x20时，f(-x)+ln(x+1)21,求实数a的取值范围.

【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，

从而求出函数的最小值；

(2)得至ije*+ax+ln(x+1)-120.(*)令g(x)=ex+ax+ln(x+1)-1,通过讨

论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；

【解答】解：(1)当a=-l时，f(x)=ex+x,

贝I」F(x)=--1-+1.

X

e

令f'(x)=0,得x=0.

当xVO时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0.

，函数f(x)在区间(-8,o)上单调递减，在区间(0,+8)上单调递增.

.•.当x=0时，函数f(x)取得最小值，其值为f(0)=lf(x)的最小值为1.

(2)若x20时，f(-x)+ln(x+1)21,即e'+ax+ln(x+1)-120(*)

x