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文档简介

2024届安徽省”皖南八校“高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.,则与位置关系是()A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面或相交2.已知直线,,则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.设是虚数单位,复数()A. B. C. D.4.已知F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.45.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为()A. B. C. D.7.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切,则双曲线的离心率是()A.2或 B.2或 C.或 D.或8.已知实数,满足约束条件,则的取值范围是()A. B. C. D.9.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.10.已知定义在上的奇函数满足,且当时,,则()A.1 B.-1 C.2 D.-211.若,则下列关系式正确的个数是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.412.设集合,,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的各项均为正数,记为的前n项和,若,,则________.14.如图,在菱形ABCD中,AB=3,,E,F分别为BC,CD上的点,,若线段EF上存在一点M,使得,则____________,____________.(本题第1空2分,第2空3分)15.已知不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是;若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是___16.过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱锥A­BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.18.(12分)如图,在四棱锥中,平面平面,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若锐二面角的余弦值为,求直线与平面所成的角.19.(12分)底面为菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如图所示的几何体.若,.(1)求证:;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.21.(12分)在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.22.(10分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】结合图(1),(2),(3)所示的情况,可得a与b的关系分别是平行、异面或相交.选D.2、C【解析】

先得出两直线平行的充要条件,根据小范围可推导出大范围,可得到答案.【详解】直线,,的充要条件是,当a=2时,化简后发现两直线是重合的,故舍去,最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.【点睛】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.3、D【解析】

利用复数的除法运算,化简复数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,复数,故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.4、C【解析】

将直线方程代入抛物线方程,根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值.【详解】F(1,0),故直线AB的方程为y=x﹣1,联立方程组,可得x2﹣6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知x1+x2=6,x1x2=1.由抛物线的定义可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.5、C【解析】

化简复数为、的形式,可以确定对应的点位于的象限.【详解】解:复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内点的对应关系,属于基础题.6、A【解析】

由抛物线的焦点得双曲线的焦点,求出,由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为,由焦半径公式,联立求解.【详解】解:由抛物线,可得,则,故其准线方程为,抛物线的准线过双曲线的左焦点,.抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,,又,,则双曲线的离心率为.故选:.【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.7、A【解析】

根据题意,由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程,再分焦点在x、y轴上两种情况讨论,进而求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线C的渐近线方程为y=kx,是圆的切线得:,得双曲线的一条渐近线的方程为∴焦点在x、y轴上两种情况讨论:

①当焦点在x轴上时有:②当焦点在y轴上时有:∴求得双曲线的离心率2或.

故选:A.【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.解题的关键是:由圆的切线求得直线的方程,再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式,从而解出双曲线的离心率的值.此题易忽视两解得出错误答案.8、B【解析】

画出可行域,根据可行域上的点到原点距离,求得的取值范围.【详解】由约束条件作出可行域是由,,三点所围成的三角形及其内部,如图中阴影部分,而可理解为可行域内的点到原点距离的平方,显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值,此时,点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值,此时.所以的取值范围是.故选:B【点睛】本小题考查线性规划,两点间距离公式等基础知识;考查运算求解能力,数形结合思想,应用意识.9、C【解析】

根据直线与圆相交,可求出k的取值范围,根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心,半径,直线与圆相交,所以,解得所以相交的概率,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,几何概型,属于中档题.10、B【解析】

根据f(x)是R上的奇函数,并且f(x+1)=f(1-x),便可推出f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,而由x∈[0,1]时,f(x)=2x-m及f(x)是奇函数,即可得出f(0)=1-m=0,从而求得m=1,这样便可得出f(2019)=f(-1)=-f(1)=-1.【详解】∵是定义在R上的奇函数,且;∴;∴;∴的周期为4;∵时,;∴由奇函数性质可得;∴;∴时,;∴.故选:B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值,此类问题一般根据条件先推导出周期,利用函数的周期变换来求解,考查理解能力和计算能力,属于中等题.11、D【解析】

a,b可看成是与和交点的横坐标,画出图象,数形结合处理.【详解】令,,作出图象如图,由,的图象可知,,,②正确;,,有,①正确;,,有,③正确;,,有,④正确.故选:D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.12、A【解析】

解出集合,利用交集的定义可求得集合.【详解】因为,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查交集的计算,同时也考查了一元二次不等式的求解,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、127【解析】

已知条件化简可化为,等式两边同时除以,则有,通过求解方程可解得,即证得数列为等比数列,根据已知即可解得所求.【详解】由..故答案为:.【点睛】本题考查通过递推公式证明数列为等比数列,考查了等比的求和公式,考查学生分析问题的能力,难度较易.14、【解析】

根据题意,设,则,所以,解得,所以,从而有.15、【解析】

利用绝对值的几何意义,确定出的最小值,然后根据题意即可得到的取值范围化简不等式,求出的最大值,然后求出结果【详解】的最小值为,则要使不等式的解集不是空集,则有化简不等式有,即而当时满足题意,解得或所以答案为【点睛】本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式,要注意到绝对值的几何意义,数形结合来解答本题,注意去绝对值时的分类讨论化简16、【解析】

根据与已知直线垂直关系,设出所求直线方程,将已知圆圆心坐标代入,即可求解.【详解】圆心为,所求直线与直线垂直,设为,圆心代入,可得,所以所求的直线方程为.故答案为:.【点睛】本题考查圆的方程、直线方程求法,注意直线垂直关系的灵活应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析:(1)先由平面几何知识证明,再由线面平行判定定理得结论;(2)先由面面垂直性质定理得平面,则,再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.试题解析:证明:(1)在平面内,因为AB⊥AD,,所以.又因为平面ABC,平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面平面BCD=BD,平面BCD,,所以平面.因为平面,所以.又AB⊥AD,,平面ABC,平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因为AC平面ABC,所以AD⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型:(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.18、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性质可得平面,即可得到,从而得证;(Ⅱ)在平面中,过点作于点,则平面,如图所示建立空间直角坐标系,设,其中,利用空间向量法得到二面角的余弦,即可得到的关系,从而得解;【详解】解:(Ⅰ)证明:在中,,解得,则,从而因为平面平面,平面平面所以平面,又因为平面,所以,因为,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,过点作于点,则平面,如图所示建立空间直角坐标系,设,其中,则设平面的法向量为,则,即,令,则又平面的一个法向量,则从而,故则直线与平面所成的角为,大小为.【点睛】本题考查线面垂直的判定,面面垂直的性质定理的应用,利用空间向量法解决立体几何问题,属于中档题.19、(1)见解析;(2)【解析】

(1)先由线面垂直的判定定理证明平面,再证明线线垂直即可;(2)建立空间直角坐标系,求平面的一个法向量与平面的一个法向量,再利用向量数量积运算即可.【详解】(1)证明:连接,由平行且相等,可知四边形为平行四边形,所以.由题意易知,,所以,,因为,所以平面,又平面,所以.(2)设,,由已知可得:平面平面,所以,同理可得:,所以四边形为平行四边形,所以为的中点,为的中点,所以平行且相等,从而平面,又,所以,,两两垂直,如图,建立空间直角坐标系,,,由平面几何知识,得.则,,,,所以,,.设平面的法向量为,由,可得,令,则,,所以.同理,平面的一个法向量为.设平面与平面所成角为,则,所以.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法,重点考查了空间向量的应用,属中档题.20、(1)(2)【解析】

(1)分类讨论,去掉绝对值,化为与之等价的三个不等式组,求得每个不等式组的解集,再取并集即可.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案.【详解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集为.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,又,当且仅当时取等,只需最小值,即.所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查利用绝对值三角不等式求最值,属基础题.21、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点为线段的中点.【解析】

(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形,得到证明.(Ⅱ)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.(Ⅲ)设,计算,,根据垂直关系得到答案.【详解】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四

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