2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习08 正反比例函数综合（考点讲解）（教师版）

专题08正、反比例函数综合【典例分析】【考点1】函数的概念1．正比例函数y＝2x与反比例函数y＝－的图象的交点的情况为(

C

)A．只有一个交点 B．有两个交点C．没有交点 D．不能确定【考点】正比例、反比例交点【专题】正比例反比例综合【分析】正比例函数经过一三象限、反比例函数经过二、四象限【解答】∵正比例函数经过一三象限、反比例函数经过二、四象限∴两函数图象无交点，故选C．【点评】考查函数图象的交点问题，掌握函数图象的交点坐标即对应两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键．2．如果k＜0，那么函数y＝（1﹣k）x与在同一坐标系中的图象可能是（C）A．B．C．D．【考点】正比例、反比例交点【专题】正比例反比例综合【分析】根据k>0正比例函数经过一、三象限，k<0反比例函数经过二四象限得出答案【解答】∵k<0，∴1-k>0∴y＝（1﹣k）x经过一、三象限经过二四象限故选C．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．3．若y与z成反比例关系，z与x成正比例关系，则y与x成__反比例____关系.【考点】正比例、反比例关系【专题】正比例反比例综合【分析】根据y与z成反比例，可得出；z与x成正比例，可得出z=k′x，两式结合即可得出y与x的关系．【解答】由y与z成反比例,可得出；z与x成正比例,可得出z=k′x，两式结合得：，故y与x的关系是反比例函数.故答案为反比例.【点评】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义.4．已知y＝y1+y2，其中y1与x2成正比例，y2与x成反比例，并且当x＝时，y＝5，当x＝1时，y＝﹣1，求y与x之间的函数关系式．【考点】正比例、反比例关系式【专题】正比例反比例综合【分析】根据题意分别表示出y1、y2与x关系式，得到y与x关系式，根据待定系数法即可求出函数解析式．【解答】∵y1与x2成正比例，y2与x成反比例，∴y1＝kx2，，∵y＝y1+y2，∴y＝kx2+，∵当x＝时y＝5，当x＝1时y＝﹣1，∴，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x2+．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是分别表示出y1、y2与x关系式，进而确定y与x关系式．【考点2】正、反比例函数综合1、已知正比例函数与反比例函数交于A、B两点，且点A的横坐标是-1，点B的纵坐标是2，求这两个函数的解析式．【考点】正比例、反比例解析式【专题】正比例反比例综合【分析】设点A坐标（x，kx），根据点A，C关于原点对称，可得出点C坐标，再根据三角形的面积计算即可．【解答】∵正比例函数与反比例函数交于A、B两点∴A、B两点关于原点对称∵点A的横坐标是-1，点B的纵坐标是2∴A(-1，-2)，B(1，2)代入正比例函数中，解得k=1代入反比例函数，解得m=3两个函数的解析式为y=2x和.【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的交点问题.2．如图，设函数与的图像相交于点A、C，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，则的面积是___1___.【考点】正比例、反比例面积【专题】正比例反比例综合【分析】设点A坐标（x，kx），根据点A，C关于原点对称，可得出点C坐标，再根据三角形的面积计算即可．【解答】点A坐标(x，kx)，∴点C坐标(−x，−kx)，∵AB⊥x轴，∴S△ABC=AB⋅(OB−x)=×kx×2x=kx2，∵比例函数y=kx(k>0)与反比例函数的图象相交于A.C两点，∴kx2=1，∴S△ABC=1.故答案为1.【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的交点问题.3．如图，点A、C在反比例函数的图像上，点B、D在x轴上，、均为正三角形，则点C坐标是______.【考点】正比例、反比例交点【专题】正比例反比例综合【分析】根据正三角形的性质得出OE=EB=1，设BF=m，进而表示出C点的坐标，代入解析式即可得出m的值，进而得出C点的坐标．【解答】作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F，∵△OAB,△BCD均为正三角形,A在反比例函数，设A的横坐标是−1，则A的纵坐标是−，∴OE=1,OA=2OE=2,AE=，∴易求OE=EB=1，设BF=m，则C(−2−m,-m)，代入得：m2+2m−1=0，解得：m=−1±，∵m>0，∴m=−1+，∴点C的坐标为：.【点评】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是掌握反比例函数的应用和正三角形的性质.4．如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点，且为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B.（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式.（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得与的面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.【考点】正比例、反比例交点【专题】正比例反比例综合【分析】（1）用待定系数法进行求解，即可得到正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q（x，x），使得△OBQ与△OAP面积相等，则B（0，x）．根据三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程即可．【解答】（1）设反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为.∵正比例函数和反比例函数的图像都经过点，∴，.∴，.∴正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为.（2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这一的点，使得与面积相等，则.∵，∴，解得.当时，.当时，.故在直线MO上存在这样的点或，使得与面积相等.【点评】本题考查正比例函数和反比例函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求解.5．如图，已知长方形OABC的顶点在正比例函数的图像上，点A在x轴上，点C在y后上，反比例函数的图像过BC边上点M，与AB边交于点N，且.求此反比例函数的解析式及点N的坐标.【考点】正比例、反比例交点、解析式【专题】正比例反比例综合【分析】先将代入正比例函数得到，再结合题意得到，用待定系数法得到，将点N的坐标代入计算即可得到答案.【解答】∵在正比例函数的图像上，∴，.∴，而.∴.∴.设反比例函数的解析式为，将代入解析式得到k=2，故解析式为.∵M、N在反比例函数的解析式为.设点N的坐标为，则，即点N的坐标为.【点评】本题考查反比例函数和正比例函数，解题的关键是掌握待定系数法进行求6．如图，A(3，m)是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P(2，)．(1)求m的值和点B的坐标；(2)连接AP，求△OAP的面积．【考点】正比例、反比例交点、面积、解析式【专题】正比例反比例综合【分析】（1）将点P的坐标代入解析式求解可得解析式，再把A点的坐标代入得到m的值，求OA的解析式，由AB∥x轴即可得点B的坐标；（2）根据点B坐标和点P的坐标，得到AE＝1、PE＝3−、PD＝，再利用割补法求解可得．【解答】(1)将P(2，)代入y═，得：k＝12，则反比例函数解析式为y＝，把A(3，m)代入y＝得m＝4，如图，过点A作AC⊥x轴于点C，则OC＝3、AC＝4，∴OA＝＝5，设OP的解析式为y=kx，则∴∵AB∥x轴，∴可设B（x,4），∴x=8∴点B的坐标为(8，4)；(2)∵点B坐标为(8，4)，点P坐标为(2，)，过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为(2，4)，∴AE＝2﹣3、PE＝4﹣、PD＝，则△OAP的面积＝×(4+)×(2﹣3)＝5．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是用割补法求三角形的面积．【课后练习】1．函数y＝k1x和（k1＜0且k1k2＜0）的图象大致是（B）A．B． C． D．【考点】正比例、反比例图像【专题】正比例反比例综合【分析】根据k<0正比例函数经过二、四象限，k>0反比例函数经过一、三象限得出答案【解答】∵k1＜0，∴y＝k1x经过二、四象限∴k1k2＜0∴k2>0，经过一、三象限故选B．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．2．已知y＝y1+y2，且y1与成正比例，y2与x+2成反比例．又当x＝1、x＝2时，y的值都为1．求y与x的函数解析式．【考点】正比例、反比例解析式【专题】正比例反比例综合【分析】（1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可；【解答】（1）∵y1与成正比例，y2与x+2成反比例∴y=k1+．∵当x=1时，y=1．当x=2时，y=1，∴，解得，，∴y=【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．3、已知反比例函数和正比例函数的图像交于点（2，3），（1）求这两个函数解析式；（2）判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上；（3）求两个函数图像的另一个交点．【考点】正比例、反比例交点、解析式【专题】正比例反比例综合【分析】（1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可；【解答】（1）∵反比例函数和正比例函数的图像交于点（2，3），∴∴（2）点（1，6）代入反比例函数中成立，∴在函数图像上（3）正反比例函数的交点关于原点对称∴另一个交点是（-2，-3）【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．4、在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数和正反比例函数的图像相交于P、Q两点，点A在x轴的负半轴上，且与原点的距离是4，(1)求P、Q两点的坐标；(2)求△APQ的面积．【考点】正比例、反比例交点、面积【专题】正比例反比例综合【分析】（1）根据正比例与反比例的方程联列得出点的坐标（2）切割法求面积【解答】（1）令，即，解得：，，对应值分别为和，即得P、Q两点坐标分别为和或和；（2）点A在x轴负半轴，且与原点距离为4，可得，则有，直线过原点，即可得：．【点评】考查正反比例函数两交点坐标关于原点中心对称的综合应用．5．如图，正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数的图象上，已知正方形OAPB的面积为9．（1）求k的值和直线OP的解析式；（2）求正方形ADFE的边长．【考点】正比例、反比例解析式【专题】正比例反比例综合【分析】（1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可；【解答】（1）∵正方形OAPB的面积为9∴BP=3，∴P（3,3）设代入得（2）设正方形ADFE的周长为a∴F（3+a，a）F点在反比例函数上∴∴∴ ∵F点在第一象限∴点F坐标为：．【点评】考查反比例函数几何意义的应用，用点在函数图像上进行解题．6．已知函数，其中与x成正比例,与x成反比例，且当x＝1时，y＝1；x＝3时，y＝5．求：（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝2时，y的值．【考点】正比例、反比例解析式【专题】正比例反比例综合【分析】（1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可；（2）把x=2代入（1）中的函数关系式进行计算即可．【解答】（1）设y1=k1x（k1≠0），y2=（k2≠0），∴y=k1x-．∵当x=1时，y=1．当x=3时，y=5，∴，解得，，∴y=（2）由（1）知，y=，当x=2时，y=.【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．7．如图，点A在曲线y＝(x＞0)上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB＝1时，△ABC的周长为_4___．【考点】反比例、垂直平分线【专题】正比例反比例综合【解答】∵点A在曲线y＝(x＞0)上，AB⊥x轴，AB=1，∴AB×OB=3，∴OB=3，∵CD垂直平分AO，∴OC=AC，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4，故答案为4．【点评】运用了线段垂直平分线的性质以及反比例函数的性质．解题时注意运用线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx和双曲线交于点A(－3，2)．（1）填空：k=，m=-6；（2）已知点B(0，6)，若点P在直线l上，且S△ABP=2S△ABO，请求出此时点P的坐标；（3）在双曲线上找出点M，使得∠AOM=45°，求出此时点M的坐标．【考点】正比例、反比例交点、面积【专题】正比例反比例综合【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设直线与双曲线的另一个交点为C，由对称性可知OA=OC，当点P与点C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P(3，－2)．当点P在AO的延长线上时，S△ABP=2S△ABO，再利用中点坐标公式求解即可；（3）如下图中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则OA=OA′，作AE⊥x轴于E，A′F垂直y轴于F，证明出△AOE≌△A′OF（AAS），进而得出A′(2，3)，取AA′的中点D，直线OD在第二象限交双曲线于点M，此时∠AOM=45°，求直线OD的解析式，再构建方程组确定M的坐标．【解答】解：（1）∵A(－3，2)在直线y=kx和双曲线的图象上，∴将A(－3，2)代入可得：解得：k=，m=－6；（2）设直线与双曲线的另一个交点为C，如下图所示，则由对称性可知OA=OC，∴C(3，－2)，∵当点P与点C重合时，S△ABP=2S△ABO，则点P不在线段AO上，∴当点P在AO的延长线上时，S△ABP=2S△ABO，即点P与点C重合，此时P(3，－2)；当点P在OA的延长线上时，S△ABP=2S△ABO，即PA=2AO，此时P(－9，6)，综上所述，满足条件的点P的坐标是(3，－2)或(－9，6)．（3）当点M在OA下方时，若∠AOM=45°，则点M在第三象限，此时不存在满足条件的点M；当点M在OA上方，如图，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则OA=OA′，∵∠AOM=45°，∴∠A′OM=45°，∠AOA′=90°，作AE⊥x轴于E，A′F垂直y轴于F，∴∠AEO=∠A′FO=90°，∵∠AOE+∠AOF=90°，∠A′OF+∠AOF=90°，∴∠AOE=∠A′OF，在△AOE和△A′OF中，∴△AOE≌△A′OF（AAS）∴AE=A′F=2，OE=OF=3，∴A′(2，3)，连结AA′，取AA′的中点D，直线OD在第二象限交双曲线于点M，此时∠AOM=45°．由A(－3，2)，A′(2，3)可知D(，)，∴直线OD的解析式为y=－5x．由，解得或．∵点M在第二象限，∴点M的坐标为(，)．【点评】本题属于反比例函数综合题，考察了一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9．已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．（1）求出反比例函数的表达式；（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】正比例、反比例表达式、等腰三角形【专题】正比例反比例综合【分析】（1）证明Rt△COE≌Rt△BAF，则，故点，故，即可求解；（2）翻折后点的坐标为：，则，即可求解；（3）分、、三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为：、，∵四边形为平行四边形，则，，∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF=OE=1，故点，故，则反比例函数表达式为：；（2）翻折后点的坐标为：，，∴D