专题16 解直角三角形中的拥抱模型和12345模型(解析版)

专题16解直角三角形中的拥抱模型和12345模型【模型展示】特点分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.结论“拥抱模”型关键是找到两个直角三角形的公共边【题型演练】一、单选题1．如图，某学校大楼顶部有一个LED屏AB，小明同学在学校门口C处测得LED屏底部A的仰角为53°，沿大门楼梯CD向上走到D处测得LED屏顶部B的仰角为30°，D、E、F在同一水平高度上，已知大门楼梯CD的坡比，米，米，大楼AF和大门楼梯CD的剖面在同一平面内，则LED屏AB的高度为（

）（参考数据：，，，）A．24.6米 B．30.6米 C．34.6米 D．44.6米【答案】C【分析】如图，过作水平线于，延长交水平线于则过作于则利用坡度的含义求解再求解从而可得答案.【详解】解：如图，过作水平线于，延长交水平线于则过作于则由题意得：而故选C【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度的含义，熟练的构建直角三角形是解本题的关键.2．如图，某建筑物AB在一个坡度为i＝1：0.75的山坡BC上，建筑物底部点B到山脚点C的距离BC＝20米，在距山脚点C右侧同一水平面上的点D处测得建筑物顶部点A的仰角是42°，在另一坡度为i＝1：2.4的山坡DE上的点E处测得建筑物顶部点A的仰角是24°，点E到山脚点D的距离DE＝26米，若建筑物AB和山坡BC、DE的剖面在同一平面内，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin42°≈0.67．cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）A．36.7米 B．26.3米 C．15.4米 D．25.6米【答案】D【分析】如图所示，过E点做CD平行线交AB线段为点H，标AB线段和CD线段相交点为G和H由坡度为i＝1：0.75，BC＝20可得BG=16,GC=12,由坡度为i＝1：2.4，DE＝26可得DF=24,EF=10，分别在在中满足，在中满足化简联立得AB=25.6．【详解】如图所示，过E点做CD平行线交AB线段为点H，标AB线段和CD线段相交点为G和H∵在中BC＝20，坡度为i＝1：0.75，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．在中DE＝26，坡度为i＝1：2.4，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中满足，在中满足,即,其中BG=16、BG=12、BH=BG-EF=6、DF=24，代入化简得，令2-有∴，∴AB=25.6．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键．3．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物CD的高度，如图，已知斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，小明在坡底点E处测得建筑物顶端C处的仰角为45°，他沿着斜坡行走13米到达点F处，在F测得建筑物顶端C处的仰角为35°，小明的身高忽略不计．则建筑物的CD高度约为（）（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）A．28.0米 B．28.7米 C．39.7米 D．44.7米【答案】D【分析】过点F作FG⊥BD于G，FH⊥CD于H，设FG=x米，则EG=2.4x米，在Rt△FGE中，由勾股定理解得FG=5，EG=12，证明△CDE是等腰直角三角形，则CD=DE，设CD=y米，在Rt△CHF中，由三角函数定义求解即可．【详解】过点F作FG⊥BD于G，FH⊥CD于H则∠CFH＝35°，四边形DGFH是矩形，∴HF＝DG，DH＝FG，∵斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，∴设FG＝x米，则EG＝2.4x米，在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF2＝FG2+EG2，即：132＝x2+（2.4x）2，解得：x＝5，∴FG＝5，EG＝12，∵∠CED＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，设CD＝y米，则CH＝（y﹣5）米，Rt△CHF中，tan∠CFH＝，即tan35°＝，则y﹣2＝tan35°×（y+12），解得：y≈44.7，即建筑物的CD高度约为44.7米；故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键4．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60 B．70 C．80 D．90【答案】D【分析】作AH⊥ED交ED的延长线于H，根据坡度的概念分别求出CE、DE，根据正切的定义求出AB．【详解】解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，设DE＝x米，∵CD的坡度：i＝1：2，∴CE＝8x米，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD8，即x2+（2x）2＝（30）2，解得，x＝30，则DE＝30米，CE＝60米，设AB＝y米，则HE＝y米，∴DH＝y﹣30，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y，∴AH＝BE＝y+60，在Rt△AHD中，tan∠DAH＝则≈0.4，解得，y＝90，∴高楼AB的高度为90米，故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73）A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米【答案】A【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，再求出EF即BG的长；在Rt△CBG中求出CG的长，根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．【详解】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，i=tan∠BAF=＝，AB=26米，∴BF=10（米），AF=24（米），∴BG=AF+AE=54（米），Rt△BGC中，∠CBG=43°，∴CG=BG•tan43°≈54×0.93=50.22（米），Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，∴DE=AE=30（米），∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-30≈8.3（米）．故选：A．【点睛】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．6．如图，小明在距离地面米的处测得处的俯角为，处的心角为，若斜面坡度为，则斜面的长是（

）米．A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作于点，根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，求得，解直角三角形即可得到结论．【详解】如图所示：过点作于点，斜面坡度为，，在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，，，，，，解得：，故AB，故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确得出是解题关键．7．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i=5：12，求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程（）米.（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：，）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先过点P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，由题意可知i=PH：CH=5：12，然后设PH=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，则可得，利用正切函数的知识可求AB，在Rt△AEP中，，利用正切函数可得关于x的方程，从而得出PH，在Rt△PHC中，利用勾股定理可求CP的长度，进一步可求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程．【详解】解：如图：过点P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，设PH=BE=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，则，即，∴AB=180(米)，在Rt△AEP中，，AE=AB-BE=180-5x，BH=EP=BC+CH=90+12x，∴，解得，经检验是原方程的解，且符合题意，∴(米)，在Rt△PHC中，(米)，故此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程是：(米)，故选：D．【点睛】本题考查了仰角的定义，以及解直角三角形的实际应用问题，解题的关键是要能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．二、填空题8．一名高山滑雪运动员沿着斜坡滑行，他在点D处相对大树顶端A的仰角为，从D点再滑行米到达坡底的C点，在点C处相对树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上），则大树的高度___________米（结果保留根号）．【答案】6+4【分析】作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH，CH，过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，用a表示出AG、DG，根据tan∠ADG＝列式计算得到答案．【详解】解：过点D作DH⊥CE于点H，过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，由题意知CD＝米，∵斜坡CF的坡比为i＝1：3，∴，设DH＝x米，则CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴，∴x＝2，∴DH＝2米，CH＝6米，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a＋6）米，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝a（米），∴AG＝（a−2）米，∵∠ADG＝30°，∴，∴，∴a＝，∴AB＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．9．如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝30m．若斜面AB坡度为，则斜坡AB的长是______m．【答案】30【分析】根据斜面AB坡度为，求出，再利用角之间的关系求出，，进一步得到．【详解】解：∵斜面AB坡度为，∴，即，∵在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：30【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．三、解答题10．大楼AB是某地标志性建筑，如图所示，某校九年级数学社团为测量大楼AB的高度，一小组先在附近一楼房CD的底端C点，用高为1.5米的测杆CE在E处观测AB大楼顶端B处的仰角是72°，另一小组到该楼房顶端D点处观测AB大楼底部A处的俯角是30°，已知楼房CD高约是45米，根据以上观测数据求AB大楼的高（精确到0.1米）．（已知：≈1.73，sin72°≈0.951，cos72°≈0.034，tan72°≈3.08）【答案】241.3米【分析】过E作EF⊥AB于F，则四边形ACEF是矩形，得到EF=AC，AF=CE，利用三角函数在Rt△ACD中求出AC，在Rt△BEF中求出BF，即可得到AB大楼的高．【详解】解：过E作EF⊥AB于F，则四边形ACEF是矩形，∴EF=AC，AF=CE，在Rt△ACD中，∠DAC=30°，CD=45，∴AC=，在Rt△BEF中，∠BEF=72°，EF=AC=，∴BF=EF∙tan72°=×3.08=239.78，∴AB=AF+BF=239.78+1.5≈241.3(米)，答：AB大楼的高为241.3米．【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造直角三角形解决问题是解题的关键．11．如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？【答案】(1)7.0(2)建筑物高约为米【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再证，推出，代入数值即可求解；（2）过点作，垂足为，利用矩形的性质求出，，，解可得，进而得出，再解，列等式求出，则．【详解】（1）解：由题意知，，，，∴设，则，由勾股定理得：，即，解得，∴，．∵，，∴，∴．由题意，，∴，又∵，∴，∴，∴，，，∴米；则平台的长为，（2）解：过点作，垂足为．在矩形中，，，∴．在矩形中，，，在中，，∴，，，解得：，（米），即建筑物高约为米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．12．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：）【答案】该建筑物的高度约为31.9m【分析】如图，作交于点E，作交于点F，作交于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据即可求解．【详解】作交于点E，作交于点F，作交于点H则，，∵∴设，则在中，∴∴∴（负值舍去）∴，∴，设，则在中，∵∴在中，∵∴即∵∴∴∴答：该建筑物的高度约为31.9m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡AB的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角α为，然后小李沿斜坡AC走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看点E的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米，求建筑物DF的高度．（参考数据：，，，）【答案】40.8米【分析】如图于G，于H，连接，根据比例设，，结合勾股定理求出，得到，再次由勾股定理求出，设，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案．【详解】解：如图于G，于H，连接、，∵的坡比，设，，∴在中，，∴，∴，在中，，设，在中，，∴，∵四边形是矩形，∴，又∵，在中，，，，∴，答：建筑物的高度为40.8米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出正确的辅助线是解答此题的关键．14．某工程队计划测量一信号塔的高度，由于特殊原因无法直达到信号塔底部，因此计划借助坡面高度来测量信号塔C的高度．如图，在信号塔旁山坡脚A处测得信号塔顶端C的仰角为，当从A处沿坡面行走13米到达P处时，测得信号塔顶端C的仰角为．已知山坡的坡度，且O，A，B在同一条直线上．请根据以上信息求信号塔的高度．（侧倾器高度忽略不计，参考数据：，，）【答案】信号塔OC的高度约为米【分析】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，设PE=5x，则AE=12x，在Rt△AEP中根据勾股定理可得(5x)2＋(12x)2=132，解方程求出x，设CF=PF=m米，则OC=(m＋5)米，OA=(m－12)米，在Rt△AOC中，由求得m的值，继而可得答案．【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，则四边形OFPE是矩形，∴OF=PE，OE=PF，∵i＝1：2.4，，∴，∴设PE=5x，则AE=12x，在Rt△AEP中，由勾股定理得：(5x)2＋(12x)2=132，解得：或（舍去），∴PE=5，则AE=12，∵∠CPF=45°，PF⊥CF，∴∠CPF=∠PCF=45°，∴，设CF=PF=m米，则OC=(m＋5)米，OA=(m－12)米，在Rt△AOC中，，解得：，∴（米）∴信号塔OC的高度约为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角、坡度的定义，矩形的性质与判定，解题的关键是要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．15．感恩回馈，传播文化．2022年3月份，河南省绝大部分景点实施免门票政策，其中去嵩山少林寺的人数量巨大．如图，王林进入景区之后沿直线行至山坡坡脚C处，测得检票大厅顶点A的仰角为，沿山坡向上走到山门E处再测得检票大厅顶点A的仰角为，已知山坡的坡比，米．求王林所在山门E处的铅直高度．（结果精确到0.1．参考数据：）【答案】22.1米【分析】根据解直角三角形求得（米），如图，过点E作于点F，于点G，则四边形是矩形，设米，求得米，列方程，求解即可．【详解】解：在中，米，，∴（米）．如图，过点E作于点F，于点G，则四边形是矩形，∴，设米．在中，，∴（米），∴米．在中，，∴米．又∵米，∴，解得，即（米）．答：王林所在山门E处的铅直高度约为22.1米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．16．如图，某测绘小组在山坡坡脚处测得信号发射塔尖的仰角为56．31°，沿着山坡向上走到处再测得点的仰角为36．85°，已知米，山坡的坡度（坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且、、三点在同一条直线上，求塔尖到地面的高度的长．（测角仪的高度忽略不计，参考数据：，，，，，）【答案】约为130米【分析】过点作垂足为，则四边形是矩形，得，，根据，且，求出，的长度；在中，，设，由三角函数值求出，在中，，，根据列方程求出x，即可得到CD长度．【详解】解：过点作垂足为，则四边形是矩形，，，且，，，在中，，设，，，在中，，，，，，即，，，答：塔尖到地面的高度约为130米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，以及坡角问题，本题要求学生借助仰角关系，构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：）【答案】大楼的高度为92米【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE进行求解即可．【详解】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，四边形BENF为矩形，设，在中，斜坡的坡度，即，在中，在中，解得，所以，大楼的高度为92米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．18．如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【答案】(170+60)cm【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，则DF=CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180×=90（cm），由题意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，则=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度为(170+60)cm．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．19．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．(1)求，两点的高度差；(2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）【答案】(1)9m(2)24m【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．（1）解：过点作，交的延长线于点，在中，，，．．答：，两点的高度差为．（2）过点作于，由题意可得，，设，在中，，解得，在中，，，，解得，．答：居民楼的高度约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．20．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底AE的长为8米，在B处测得树顶部D的仰角为30°，在E处测得树顶