人教A版高中数学选择性必修第一册重点训练：空间向量基本定理及范围最值

空间向量基本定理及空间范围与最值

1.空间向量基底..........................................................1

2.基底表示向量..........................................................3

3.共面..................................................................5

4.空间向量概念综合......................................................8

5.空间向量数量积.......................................................11

6.空间向量求长度.......................................................13

7.数量积最值与范围.....................................................16

8.空间长度最值与取值范围...............................................19

9.空间角度范围最值.....................................................23

10.轨迹................................................................27

L空间向量基底

【典例分析】

已知｛”,b,c｝是空间的一组基底，则下列向量中能与a+b，构成一组基底的是()

A.aB.bC.cD.a+2h

【答案】C

【分析】根据空间向量共面基本定理可知a，b，a+2b均与a+b，a-。共面即可得出答案.

【详解】因为a=L(a+6)+,(a-匕)，b=-(a+b)--(a-b),a+2h=—(a+b)-■-(a-b),

222222

所以由空间向量共面基本定理可知a，b，4+2〃均与a+h，a-。共面，不能构成一组基底，

故A、B、D错误，C正确.

【变式训练】

1.(2023•全国•高二专题练习)已知力,c｝是空间一个基底，p=a+b,q=a-b,一定可以

与向量p,夕构成空间另一个基底的是()

A.aB.bC.cD.-p-2q

【答案】C

【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，

即可判断出结论.

【详解】由题意和空间向量的共面定理，

结合向量P+g=(a+Z>)+(a-b)=2a,

得a与P，4是共面向量，

同理b与p,g是共面向量，

所以。与b不能与P、9构成空间的一个基底；

又C与a和b不共面，

所以<?与。、4构成空间的一个基底.

2•若日工"｝为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()

->—>->—>―>)(—>—>—>—>—

｛a,a+h,a-h\B.lh,a+h,a-h\

—>—>—»—>—f—>—>—>—>—>—>)

｛D,-仇2a+b)

【答案】c

【分析】A：分析得到向量Wl+H-Z是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；

B：分析得到向量^+^-了是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；

C：分析得到展是不共面向量，因此能构成一组基底，

D：分析得到向量a+b,a-〃,2a+6是共面向量，因此；+办,不能构成一组基底.

【详解】A：因为区+小+(。小=21所以向量1是共面向量，因此这三个向量

不能构成基底；

B：因为6+1)+(_1)(。］)=2。所以向量是共面向量,因此这三个向量不能

构成基底；

C：因为日上,&为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若不构成一组基底,

则有：=x(a+b)+y(a-b)=>^=(x+y)a+(x-y)b<所以向量薪是共面向量,这与这三

个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此-了能构成一组基底，

D：因为2〃+人=5(〃+〃)+Q(a—Z/),所以向量4+爪",24+6是共面向量，因此

。亡二42心力不能构成一组基底•故选：C.

3.己知向量｛a,B,c｝是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是()

A.a+b>a>a-hB,a+b<b>a-h

C.a+b>c>a-hD.a+b>2a—b>a-b

【答案】C

【解析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A、B、

。三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C中的向量不共面

【详解】解：(a+b^+(a-b^=2a,.".a，a+b»)共面，不能构成基底，排除A；

^a+bj-^a-b^=2b,:.b，a+b>a-/)共面，不能构成基底，排除8:

2a-b=T(a-〃)+g(a+b),a+匕，a-b12a—b共面，不能构成基底，排除:

若屋a+b，。-b共面，则c=2(a+〃)+""-6)=(4+m)a+(/l-m)b,则〃、b、c为共面向量,

此与｛a,Ac｝为空间的一组基底矛盾，故c、a+b>a-b可构成空间向量的一组基底.

2.基底表示向量

【典例分析】

UllU1,.,__

如图，在平行六面体A3c£>-431clZ)］中，AAy=a,AB=h,AO=c,点尸在A。上，且

B.匕+Z+Z

555

D-3

555

【答案】B

【分析】根据空间向量的线性运算法则计算求解.

2

【详解】因为点尸在4C上，且A/尸：PC=2：3,所以4尸=14。所以

AP=AAt+AlP=AAl+^AlC

=AAi+-（AC-AAt）=AA,+-（AB+AD）--AAl=-AA,+-AB+-AD=-a+-b+-c

555555555

【变式训练】

1.已知向量｛a，b，c｝是空间的一个基底，向量｛a+8,a-6,c｝是空间的另一个基底，一向量。在

基底,力,c｝下的坐标为(1,2,3),则向量0在基底｛a+OM-'c｝下的坐标为()

1331

A.(5,5,3)B.弓，-],3)

【答案】B

【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果.

【详解】设P在基底｛a+Aa-。,。｝下的坐标为(x,y,z),

则p=x(a+Z?)+y(4-Z?)+zc=(x+y)a+(x-y)〃+zc=a+2Z?+3c,

3

x=—

x+y=l

所以“x-y=2,解得<>=-2，故p在基底｛〃+h,a-Z?,c｝卜的坐标为3).故选：B.

2.如图的平行六面体ABCD-ABCD中，点M在3以上,点N在DD］上,

DIN=；DID,若M/V=xAB+yAD+zAAj,则x+y+z=（）

2

D.

2

【答案】B

【分析】利用向量的三角形法则、向量的运算性质即可得出.

21

【详解】因为MNuAN-AM.ANuAQ+iAVAMuAB+iAA,

211

所以MN=4O+—AA-48--AA=-A8+AO+-AA,

326

所以x+y+z=-l+l+H

66

故选:B.

3.在四面体Q43C中，。4=.,OB=b，OC=c,点。满足8£>=28C，E为A。的中点,

S.OE=-a+-b+-c,则2=()

244

A.1B.-C.-D.\

2433

【答案】A

【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可

UUD1r1ririuuriuunimun

【详解】OE=-a+-h+-c=-OA+-OB+-OC,

244244

iiUUD1HIM1UUD

其中E为中点，有OE=^OA+^OD，故可知OD^-OB+-OC,

则知D为BC的中点，故点D满足BD=；BC,2=g.

3.共面

【典例分析】

已知空间中四个点。，A,B,C,｛。4,。民。4为空间的一组基底，则下列说法正确的是

()

A.O,A,B,C四点共线

B.0,A,B,C四点共面，但不共线

C.0,A,B,C四点不共面

D.|OA|=|OB|=|OC|=I

【答案】c

【分析】根据空间向量的基底分析判断即可.

【详解】•；{OA,。8,OC}为空间的一组基，

OA.OB,0c三个向量不共面，即0，A,B,C四点不共面.而OA,OB,0C不一定

为单位向量，

...ABD错误，C正确，

【变式训练】

1.已知空间四点A(4,l,3),3(2,3,1),C(3,7,-5),。(y—1,3)共面，则x的值为()

A.4B.1C.10D.11

【答案】D

【分析】求得AB、AC、4。的坐标，根据题意可知存在实数4、〃，使得AQEAB+/MC,

利用空间向量的坐标运算可得出关于；I、〃、x的方程组，进而可求得实数*的值.

【详解】依题意得"=(-2,2,-2),AC=(-1,6-8),AD=(x-4,-2,0),

A、8、C、。四点共面，AB、AC、AO共面，

存在实数；I、〃，使得4D=4AB+〃4C,

x-4=-IX-A=-4

即(x_4,_2,0)=(_24_〃,2/l+6〃,_24_8〃)，所以,-2=22+6//,解得=1.故选：D.

0=-2/l-8〃[x=\\

2.已知4,B,C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A,B,C

一定共面的是

A.OM=OA+OB+OCB.OM=OA+2OB+3OC

C.OM=-OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

222333

【答案】D

【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在4〃使得

AM=AAB+JLIAC,由此得出正确选项.

[详解】不妨设0(0,0,0),4(1,0,1),8(0,0,l),C(0,1,1).

对于A选项，OW=Q4+O3+OC=(1,1,3),由于M的竖坐标3>1,故M不在平血ABC上，

故A选项错误.

对于B选项，OM=OA+2O8+3OC=(1,3,6),由于"的竖坐标6>1,故M不在平面A8C上,

故B选项错误.

对于C选项，OM=：OA+；O8+：OC=(；,；,：),由于M的竖坐标;>1,故M不在平面

444\乙乙乙J乙

A8C上，故C选项错误.

对于D选项，OM=：OA+；OB+；OC=m，l),山丁M的竖坐标为1，故M在平面ABC

上，也即A,B,C,M四点共面.下面证明结论一定成立：

由OM=goA+goB+"c,得OM-OA=；(O3-0A)+他C-OA),

即AM=gA8+g4C,故存在4=〃=g,使得AM=2A8+〃AC成立，也即A,B,C,M四点

共面.

3.已知A,B,C三点不共线，对于平面ABC外的任一点0,下列条件中能确定点M与点A,B,C一

定共面的是

A.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA-OB-OC

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23236

【答案】D

【分析】根据点“与点A民C共面，可得x+y+z=l,验证选项，即可得到答案.

【详解】设0M=x0A+y0B+z0C,若点M与点4民。共面,，则x+y+z=l,只有选项D

满足，.故选D.

【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点”与点AB,C共面时，且

OM=xO4+yO8+zOC,则x+y+z=l是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能

力.

4.空间向量概念综合

【典例分析】

下列命题中正确的个数是（）.

①若a与b共线，6与e共线，则a与e共线.

②向量d,b,C共面，即它们所在的直线共面.

③如果三个向量a,b,C'不共面，那么对于空间任意一个向量?，存在有序实数组（X,y,z）,

使得p=xa+yb+zc.

④若a,。是两个不共线的向量，而c=+且则｛〃力,。｝是空间向量

的一组基底.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】举例。=0,判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共

面向量定理和空间向量基本定理判断④.

【详解】①当匕=0时.，。与c不一定共线，故①错误；

②当a,b.C共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，

故②错误；

由空间向量基本定理知③正确；

④当a,/?不共线且c=+时，a,b>C共面，故④错误.

故选：B.

【变式训练】

1.以下命题

①忖51=4+61是4,方共线的充要条件;

②若｛a,b,c｝是空间的一组基底，则｛a+6,8+c,c+a｝是空间的另一组基底：

③［伍0）0\=\a\\b\-\c\.

其中正确的命题有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】①共线,反之不成立,即可判断出结论；

②利用基底的定义即可判断出真假；

③l（a.5）CRaM〃McMcosva,b>|,即可判断出真假.

【详解】①|alT&ITa+〃l=a，6共线，反之不成立，

|〃|_|切=|〃+/,|是d,b共线的充分不必要条件，因此不正确；

②若伍，h,，｝是空间的一组基底，假设a+6,b+c,c+a共面，

则存在唯——组实数X，y，使<7+。=H6+°)+丫(C+“)成立，

即a+6=xb+(x+y)c+ya,

所以x=l,y=I,x+y=O,显然无解，

假设不成立，即a+5,5+C,C+a不共面，

则伍+〃，b+c,c+a｝是空间的另一组基底，正确；

®|(«.*)<?1=1«W*Mc|cos<a,b>,而cos<a,b>不一定等于1,

因此不正确.

其中正确的命题有一个.

2.以下四个命题中正确的是()

A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B.若｛“涉,c｝为空间向量的一组基底，则｛〃+伉〃+c,c+〃｝构成空间向量的另一组基底

C.A/WC为直角三角形的充要条件是AB-AC=0

D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

【答案】B

【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，

逐一分析A,B,。可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的

几何特征，可判断C的真假.

【详解】对A,空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A中忽略三个基底

不共面的限制，故A错误；

对B,若｛a,b,c｝为空间向量的一组基底，则a,瓦工三个向量互不共面；则a+0,b+c,c+a,也

互不共面，故｛a+"b+c,c+a｝可又构成空间向量的一组基底，故8正确；

对C,AB.AC=OoAABC的ZA为直角nAABC为直角三角形，但AABC为直角三角形时，

ZA可能为锐角,此时AC>0，故C错误;

对D,任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，

故D错误；

3.在以下命题中，不正确的个数为()

①同一怜|=|a+可是。，力共线的充要条件；②若a〃/>,则存在唯一的实数人使a=A；

③对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若。？=2。乂-208—0。，则尸，A,B,

C四点共面；④若｛a,b,c｝为空间的一个基底，贝弘a+力，b+c,c+。｝构成空间的

另一个基底；⑤l(a*>c|=|a|-|“|c|.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】利用不等式母I-出留a+川等号成立的条件判断①即可；利用0与任意向量共线，

来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间

一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断④；代入向量数量积公式验证即可判

断⑤.

【详解】对①，：向量4、匕同向时，向-也罔。+可，,不满足必要性，二①错误；

对②，当人为零向量，d不是零向量时，不存在人使等式成立，.•.②错误；

对③，若P,A,B,C四点共面，则存在唯一使得c/>=xC4+yCB.

则OP-0C=x(0A-0C)+y(0B-0C),即OP=xOA+yOB+(l-x-^),OC.

x=2

又OP=2OA-2OB-OC，所以，y=-2,方程无解，故③错误；

1-x-y=-1

对④，用反证法，若｛a+b,6+c,c+a｝不构成空间的一个基底；

设a+Z?=x(/?+d)+(l—x)(c+a)nxa=(x-1)b+c^>c=xa+(1-x)b,IJa,b,C共

面，；｛a,b,c｝为空间的一个基底，，④正确；

对⑤，V|(a-b)•f|=|d|x|ft|x|cos<a,^>|x|c|<|a||Z>||c|,二⑤错误.

故选C.

5.空间向量数量积

【典例分析】

己知正四面体A3。的棱长为2,E为AB中点，尸为5c中点，则访.启=()

A.gB.1C.-D.2

22

【答案】A

【分析】利用向量h),6,n为基底表示访,石，再根据数量积求解即可.

【详解】解：如图，因为E为AB中点，F为BC中点

TT1—TT'I—I->

所以EZ>===

因为止四面体ABC£>的棱长为2,

所以访./=(访-；/

~2

1—T1—IT->1—T

=-ABAD——AB+-ADAC——ABAC

2424

=—x2x2xcos60-—x22+—x2x2xcos60--x2x2xcos60

2424

一

—1—1+1i—1=-1

22

【变式训练】

1.设正四面体ABC。的棱长为a,E,尸分别是8C,AD的中点，则AEAE的值为()

A.-a2B.-a2C.a2D.^-a2

424

【答案】A

T1T

【分析】利用向量的中点公式表示几和然后利用向量的数量积公式运算即可

求解.

【详解】由题意，正四面体A8C7)如图所示,

因为E,尸分别是BC,AO的中点，

->]TT—>1

所以AE=—(AB+AC),AF=-AD,

22

又因为正四面体A8C£>的棱长都为a,所以<第?,&)>=</,AB>=60，

f-*1fT1TlfTf711

故AE.AF=-(AB+AC)-AD=-(AB.AD+AC.AD)=-(a2cos60°+<rcos60°)=-<r.故选:A.

22444

2.四面体OA8C的所有棱长都等于0,E,F,G分别为04,OC,8c中点，则GE-GF=

【答案】1##0.5

【分析】取定空间的一个基底，用基底表示GE,GF>再计算空间向量数量积作答.

【详解】四面体。43c的所有棱长都等于收，则此四面体是正四面体，040B,。。不共面,

OAOB=OCOB=>/2xy/2cos60=1.因E,F,G分别为。4,OC,BC中点，

则GE=GC+C0+0E=1BC-0C+10A=』0A-，08-L0C,GF=--OB,

222222

所以G£GF」(-OA+O8+OC)-O8」(-OA.OB+O82+OC.O8)=L

442

故答案为：；

3.如图，空间四边形ABCO的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是48,AD,

0c的中点，则尸G-A8=()

【答案】B

【分析】根据空间向量运算求得尸G-AB.

【详解】依题意，£,£6分别是48,4£>,。。的中点,

所以FG〃AC,FG=，AC,

2

三角形ABC是等边三角形，且边长为1.

所以FG-A8=gACA3=gkcHA@-cos60°=；.

6.空间向量求长度

【典例分析】

如图，平行六面体ABC。-48cA的底面ABC3是边长为1的正方形，且

NAAO=NAAB=60。，A4,=2,则线段AG的长为（）

A.76B.V10C.VHD.2G

【答案】B

【分析】先以为基底表示空间向量4G,再利用数量积运算律求解.

【详解】解：AC：=(A8+8C+CG『=(A8+AO+AAj，

2-2-2

=AB+AD+A4t+2ABAD+2ABAA]+2ADAA]，

=1+1+4+2x1x2xcos60+2xlx2xcos60，

=10,所以AC|=JiU,故选：B

【变式训练】

1.在平行六面体ABC。-4与GR中，AB=BC=BB『1,ZABB、=ZABC=NB、BC=(,

AE=2BDt,贝iJlgEh()

A.733B.5C.3亚D.3

【答案】B

UUUUUUUUUUtl

【分析】由4E=3BA+8M+25C,则结合已知条件及模长公式即可求解.

uuiruuiruiruimuuuruir/uiruuurnisi、uiruuurnun

【详解】解：B]E=B]B+BA+AE=B]B+BA+liBA+BB,+BC\=3BA+BB}+2BC,

所以

iUULi|2/uiriiuiruun"iinrp.uuirplUun!?uiruuiruuruunuiruun

++2BC]=32倒+阴+22BC+6BA•BB1+4BB】•BC+12BA・BC

=32+l2+22+6xlxlxi+4xlx1X14-12xlxlxl=25,

222

IuuirI

所以|耳目=5,

2.如图，在平行六面体ABCD-ABCQ中，M为AC与的交点，若A⑷=|A闻=|A%=1,

ZAA,Dt=90,NA4,4=4A〃=60,则心闸的值为()

【答案】D

【分析】将4M用基底｛AA,4耳,AR｝表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结

果.

【详解】因为四边形A8CO为平行四边形，且ACBD=M,则用为B。的中点，

B｝M=B,B+BM=B]B+^BD=B]B+^AD-AB^=AtA-^AtB1+^AiD],

则18M=畀（24"旦+匈

1I■■■»2♦2-2

=-^\A+44+4A_4AA.4g+4AA.A0_24%AQ

=—>/6-4xl2xcos60-2xl2xcos60=——.

22

3.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为平行四边形，且AB=”=6,4)=2,

Z&4£>=ZBAP=Zft4P=60°,E,尸分别为PB,PC上的点，且PE=2E8，PF=FC，|^|=

【答案】B

【分析】根据给定条件选定基底向量AB,ARAP，并表示出EF，再利用向量运算即可得解.

【详解】在四棱锥P-MCD中，底面ABCD为平行四边形，连接AC,如图，PE=2EB，

PF=FC，

则EF=EB+BA+AP+PF=；PB-AB+AP+^PC=1PB-AB+AP+^(AC-AP)

=-(AB-AP)-AB+AP+-(AB+AD-AP)=--AB+-AD+-AP=-(-AB+3AD+AP),

326266

又AB=A/>=6,AD^2,ZBAD=ZBAP=ZDAP=60°,

则AD=A尸•AO=6x2xcos60=6，AB-AP=6x6xcos60=18，

因此，|£F|=-{(-AB+3AD+AP)2=1VAZJ2+9AD2+AP1-6AB-AD+6ADAP-2ABAP

66

△136+9x4+36-6x6+6x6-2x18=&.故选:B

6

7.数量积最值与范围

【典例分析】

已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2,则

尸M/N的取值范围为（）

A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.[1,2]

【答案】B

【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得尸用.9=尸。27,根据正方体的特点确

定忸。|最大值和最小值，即可求解

【详解】设正方体内切球的球心为。，则OM=ON=L

PM.PN=（PO+OM、（PO+ON）=PO：PO.（OM+ON）+OM.ON,

因为MN是正方体内切球的一条直径，

所以OM+ON=0，溜?.揭=-1,

所以PMPN=PO'-1，

又点尸在正方体表面上运动,

所以当P为正方体顶点时，|「。|最大，且最大值为6；

当P为内切球与正方体的切点时，|「。|最小，且最小为1;

所以04Po2-142，

所以PM-PN的取值范围为[0,2],

【变式训练】

1.已知球。的半径为2,A、B是球面上的两点，月.48=26,若点P是球面上任意一点，则

P4P8的取值范围是（）

A.[-1,3]B.[-2,6]C.[0,1]D.[0,3]

【答案】B

【解析】作出图形，取线段AB的中点M,利用向量的加法法则可得=

PB=PM-MA＞可得出PA-PB=pM『-|M4]=pM2-3,求出卜必的最大值和最小值，即

可得!lIPA-PB的取值范围.

【详解】作出图形，取线段A8的中点M,连接OP、OA、OB、OM、PM，可知

由勾股定理可得卜=1,且有M8=-M4，

由向量的加法法则可得PA=/W+MA，PB=PM+MB=PM-MA<

PAPB=(PM+MA^PM-M4)=PM2-MA?二-=|PM|2-3.

PM=PO+OM，由向量的三角不等式可得卜。卜|OM|WPM卜|PO|+|OM],

,1.1<|PM|<3,所以，PA-PB=\PM^-3e[-2,6].

因此，PB的取值范围是12,6].故选：B.

2.已知q,6,6是空间单位向量，4•6=4,%=6W=§,若空间向量a满足

a=xq+y/(x>0,y>0),同=4,则的最大值是.

【答案】巫

3

【分析】由忖=4列方程，利用已知条件化简74,结合基本不等式求得的最大值.

【详解】依题意q,6，华是空间单位向量，Ra=xe[+ye2(x>0,y>0),

,+：xy+y2

.2T

+2xyete2-kye2==4,

=16,

=ga+y),

e3=xex•e3+ye2•e3

16=x2+y2+|j£y=(x+y)2-1xy>(x+3；)2-1x

当且仅当x=y="时等号成立，所以(x+犷W24,x+yW2卡，

所以a-e：=2(x+y)4lx2\/^=4g.故答案为：

33V-7333

3.正四面体A-BCD的棱长为4,空间中的动点P满足|P8+PC|=2夜，则月尸.刊5的取值范

围为()

A.[4-2A/3,4+273]B.

C.[4-3血,4-a]D.[-14,2]

【答案】D

【分析】分别取8C,AC)的中点E,F,由题意可得点尸的轨迹是以E为球心，以及为半径

的球血，又APP£>=4-|"f,再求出网的最值即可求解

【详解】分别取8C,AO的中点E,F,则08+尸4=|2尸耳=2忘，

所以|PE卜近，

故点P的轨迹是以E为球心，以及为半径的球面,

APPD=-(PF+E4)(PF+FD)=-(PF+FA)(PF-FA]=|E4|2-|PF|2=4-|PF|2,

又ED=y]DC2-CE2=V16-4=疵=2&EF=4DE。一DF?=712-4=般=272，

所以依|=EF-®=五,PF\=EF+6=3五,

IIminImax

所以AP•尸。的取值范围为[T4,2].故选：口.

8.空间长度最值与取值范围

【典例分析】

如图，直三棱柱ABC-ABG中，侧棱长为2,AC=BC=\,NACB=90。，点。是A田的中

点，F是侧面例8由（含边界）上的动点.要使A81_L平面GDF,则线段GF的长的最大

c.半D.V5

272

【答案】A

【分析】取8月上靠近鸟的四等分点为E,山题易知A与，再利用空间向量证得

ABX1DE,即当F在。E上时，Ag_L平面CQF,然后求得答案.

【详解】取B与上靠近用的四等分点为E,连接DE,当点F在DE上时•，A耳，平面CQF,

证明如下：

因为直三棱柱ABC-A4G中，侧棱长为2,AC=BC=1,ZACB=90°,点。是A圈的中

点，所以G。，平面44g8,所以CQJ.A4

以C1为坐标原点，CM，GBC8分别为x轴，y轴，z轴建系；

所以41,0,2),B,(0,1,0),吗］，0)，4(0，1，1)

即明=(-l,l,-2),DE=(-l11)

222

此时曲・OE=0,即A4J.DE

所以平面GOE,故当F在DE上时，4瓦_1平面6。/，

很明显，当E、F重合时，线段C7最长，此时6尸=乎故选A

【变式训练】

1.棱长均为3的三棱锥S—A8C,若空间一点「满足SP=xS4+ySB+zSC(x+y+z=l),则

|SP|的最小值为()

A.y/6B.无C.在D.1

36

【答案】A

【分析】根据空间向量基本定理知，尸与A,B,C共面，则15Pl的最小值为三棱锥的高，

由条件求出三棱锥的高即可.

【详解】由SP=xS4+yS8+zSC(x+y+z=l),根据空间向量基本定理知，P与A,B,C

共面.

贝|JISP|的最小值为三棱锥的高,，

设。为$在面ABC上的射影，由条件可得三棱锥S-ABC为正三棱锥.

连接CO并延长交A8于点H，则CH±AB

所以CH=~~、CO=6所以〃=不3。—(6)=>/6故选：

s

2.设点M是棱长为4的正方体A88-ABCQ的棱的中点，点尸在面8CC内所在的平面

内，若平面QPM分别与平面ABCQ和平面BCG妫所成的锐二面角相等，则点尸到点C1的

最短距离是

A.—B.任C.2D.城

253

【答案】B

【分析】以。为原点，为x轴。c为y轴。。।为z轴，建立空间直角坐标系，计算三个

平面的法向量，根据夹角相等得到关系式：2x+z=0,再利用点到直线的距离公式得到答案.

【详解】'以。为原点，AO为X轴OC为y轴。A为z轴，建立空间直角坐标系.

则M(2,0,0),D(0,0,4),P{x,4,z)易知：平面A3C£>的法向量为4=(0,0,1)

平面BCC、B、的法向量为%=(0,1,0)设平面RPM的法向量为：%=(a,b,c)

2x+z—4

贝ij々.M/[=0na=2c,取c=l,a=2n,-MP=0=>2(x-2)+4fo+z=0^>Z>=-———-----

2x+z—4

%=(2,-J)

4

平面DXPM分别与平面ABC。和平面BCG旦所成的锐二面角相等

=2x+z=0或2x+z=8看作BCB6平面的两条平行直线，到G的距离.

根据点到直线的距离公式得，点尸到点G的最短距离都是：卡=当故答案为B

3.正方体ABCD-AIBIGDI的棱长为1,平面AiBCQi内的一动点P,满足到点Ai的距离

与到线段CiDi的距离相等，则线段PA长度的最小值为

A.—B.立C.6D.41

222

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，由题意得点P在以点Ai为焦点、以CQi为准线的抛物线上,

由此可得点P坐标间的关系，然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果.

【详解】如图，以AQi的中点01为原点，以AQi为x轴建立如图所示的空间直角坐标系

O,-xyz,

由于动点P到点A,的距离与到线段CIDI的距离相等,

所以点P在以点Ai为焦点、以CQi为准线的抛物线匕由题意得，在xOy平面内，抛物线

的方程为V=2x,

设点P的坐标为P(x,y,0),则V=2x,所以

1PAi=J(x_；y+y2+]=«x-；y+2x+i=J(A+；A+I,

又xNO,所以当x=0时，IP*有最小值，且|PA|mM=JF=乎.故选C.

9.空间角度范围最值

【典例分析】

如图，在棱长为3G的正方体中，点P是平面48G内一个动点，且满足

IAPI+IP41=5+2万，则直线8f与直线AR所成角的取值范围为（）（参考数据：

43

sin53°=j,sin37°=|）

A.[37°,53°]B.[37%900]

C.[53°,90°]D.|37°,127°]

【答案】B

【分析】取BG的中点E,作点名在平面ABG内的投影。，过。作OFUBC、交AB于点尸，

连结用。、AtE,以。为坐标原点，分别以OF、OE、0B1所在直线为x、V、z轴建立空间

直角坐标系，设p5,y,。），利用IPOI+IP8/=后+旧求出的关系，然后根据

PR

cos<PB\,BC\的范围求角的范围.

Iy41,1-C1|

【详解】解：取BG的中点E，作点用在平面ABG内的投影0,过。作。尸〃BG交AB于

点F,连结4。、AE,以。为坐标原点，分别以。尸、0E、。用所在直线为X、y、Z轴建

立空间直角坐标系如图，

根据题意，得D(0,0,-6),3,(0,0,3),B&屈,—,0),G(-]#，典，。)，

2222

设p*,y,0),

则PQ=（-x,-6）,PBt=（-x,-y,3）,BC,=（-3x/6,0,0）,|DP|+|PBJ=5+2而，

222

.1Jx+/+36+JY+J+9=后+辰,.x+y=\6,PBt|=5,

记a为直线BF与直线BG所成的角，则a即为直线男尸与直线AQ所成的角，

二.cos<PB「BC、>=釜=/空屋,点尸的轨迹在平面ABG内是以。为圆心，4为半

IPBl|.|BCX|5X3V65

径的圆，

」.T效/4,>I，又Qa为锐角或直角，，蟋收)s<Pg,8。1>|,

sin53°=^4,则cos37o=?4.•.直线耳尸与直线AR所成角的取值范围为[37。，90°],故选：B.

【变式训练】

1.在长方体ABCD-AgCQ中，A8=4D=2,伍=1,O是AC的中点，点P在线段AG上,

若直线。尸与平面ACA所成的角为。，贝hose的取值范围是()

诋叵

A.V'Tc.T'T

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得sin。的取值范围，由此求得sin。，即可得解.

【详解】以。为原点，分别以。4。。，。2所在直线为了，)，*轴，建立空间直角坐标系，如图

所示

则0(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),0(1,1,0),D,(0,0,1),

muuuuuuu

设P(a,2-a,l)(0Va42),则OP=(a_l』_a,l),AR=(_2,0,l),AC=(_2,2,0),

设平面ACD,的法向量为n=(x,y,z)

n-AD=-2x+z=0

则〈X令x=l,得〃=（1,1,2）

n•AC=-2x+2y=0

ruiin

nOPa-l+l-。+221

所以sin夕=

V6^（4Z-1）2+（!-«）"+12m^2（6!-1）2+1