第十四章整式的乘法与因式分解（小结与复习）

八年级数学上分层优化堂堂清十四章整式的乘法与因式分解小结与复习（解析版）知识体系构建考点整合考点一幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0,为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.【例11】计算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据积的乘方求解；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加法；（3）先算乘法，再算加减法．解：（1），=，=；（2），=，=，=；（3）=，=，=【点拨】本题考查了整式的混合运算，整式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，再加减．如果有括号，先算括号内．【例12】计算：（1）；（2）．【答案】（1）16；（2）【分析】（1）按有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的进行计算；（2）先把中括号里的和绝对值里面的化简，再进行乘法运算；解：（1）原式=，=79，=16；（2）原式=，=，．【点拨】本题考查了有理数的混合运算，正确利用运算法则和运算性质是解题的关键．针对练习11.解答下列问题：（1）已知，，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）1500；（2）27【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答；（1）先由得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∴．【点拨】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键．2.下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．a6÷a3=a2 C．4x2﹣3x2=1 D．（﹣2a2）3=﹣8a6【答案】D【解析】解：试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可知a2·a3＝a5，故不正确；根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知a6÷a3＝a3，故不正确；根据合并同类项法则，可知4x2－3x2＝x2，故不正确；根据积的乘方，可知(－2a2)3＝－8a6，故正确.故选D.考点二整式的乘除单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.注意：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：【例21】计算：（3a2b）3•（﹣2ab2）2÷6a3b2；（2）计算：3a（a﹣4）+（3a﹣1）（a+3）．【答案】（1）18a5b5；（2）6a2﹣4a﹣3【分析】（1）根据整式的乘除运算法则即可求出答案．（2）根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．解：（1）原式＝27a6b3•4a2b4÷6a3b2＝108a8b7÷6a3b2＝18a5b5．（2）原式＝3a2﹣12a+3a2+8a﹣3＝6a2﹣4a﹣3．【点拨】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．【例22】当，＝4时，求代数式的值．【答案】解：【例23】已知A＝（4x4﹣x2）÷x2，B＝（2x+5）（2x﹣5），若变量y满足y﹣A＝B，求y与x的关系式．【答案】．【分析】根据题意可知，代入利用整式运算法则进行计算即可．解：A＝（4x4﹣x2）÷x2=4x2﹣1，B＝（2x+5）（2x﹣5）=，∵y﹣A＝B，∴．=．=．即．【点拨】本题考查了整式除法和乘法公式，解题关键是熟记相关法则，准确运用法则或公式进行计算．【例24】计算：（1）x2•x3﹣（x3）4÷x7；（2）（x+2）（2x﹣3）．【答案】（1）0；（2）2x2+x﹣6．【解答】解：（1）x2•x3﹣（x3）4÷x7＝x5﹣x12÷x7＝x5﹣x5＝0；（2）（x+2）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+4x﹣6＝2x2+x﹣6．【例25】若的积中不含x项与x3项，（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+3pq的值．【答案】（1）3，﹣；（2）33．【解答】解：（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx﹣x2+x﹣q＝x4+（﹣3+p）x3+（q﹣3p﹣）x2+（pq+1）x﹣q，∵（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项和x3项，∴﹣3+p＝0且pq+1＝0，∴p＝3，q＝﹣；（2）当p＝3，q＝﹣时，（﹣2p2q）2+3pq＝4p4q2+3pq＝4×34×（﹣）2+3×3×（﹣）＝4×81×﹣3＝36﹣3＝33．针对练习21.已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，根据展开式中不含x2和x3项得：，解得：．即m＝﹣4，n＝﹣12；（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，当m＝﹣4，n＝﹣12时，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．2.聪聪和同学们用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形；B型卡片是长方形；C型卡片是边长为b的正方形．（1）请用含a、b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；（2）如果a＝10，b＝6，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．【答案】（1）长为：a+b，宽为：a﹣b；（2）364．【解答】解：（1）由题意得：B型卡片的长为：a+b，宽为：a﹣b；（2）所拼成的长方形的面积为：（a+a+b）（a+a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，当a＝10，b＝6时，原式＝4×102﹣62＝400﹣36＝364．3.长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，若它的一边长为2a，则它的另一边长为（）A．2a﹣3b+1 B．4a2﹣6ab C．4a﹣3b+1 D．2a﹣3b【答案】A【解答】解：由题意得：（4a2﹣6ab+2a）÷2a＝4a2÷2a﹣6ab÷2a+2a÷2a＝2a﹣3b+1，∴它的另一边长为2a﹣3b+1，故选：A．考点三乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【例31】化简求值：（1），其中；（2），其中，．【答案】（1），；（2），1．【分析】（1）根据平方差公式计算，再将的值代入求解即可；（2）根据单项式乘以多项式，完全平方公式计算，再将的值代入求解．解：（1）当时原式（2）当，时原式【点拨】本题考查了乘法公式的计算，平方根的定义，代数式求值，熟练乘法公式是解题的关键．【例32】先化简，再求值：，其中．【答案】，2021【分析】先根据平方差公式，完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把x，y的值代入计算．原式，∵，∴原式．【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：平方差公式，完全平方公式，单项式乘以单项式，合并同类项等知识．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．【例33】已知xy=3，x2+y23xy=4．求下列各式的值（1）（2）【答案】（1）5；（2）95【分析】（1）根据完全平方公式求出（x﹣y）2＝9，进而得出x2＋y2＝9＋2xy，代入x2＋y2－3xy＝4求解即可；（2）利用x2＋y2－3xy＝4和（1）式的值，得出x2＋y2＝19，再将所求代数式因式分解，进而代入数值即可求解．解：（1）由x－y＝3，得（x－y）2＝9即x2＋y2－2xy＝9∴x2＋y2＝9＋2xy代入x2＋y2－3xy＝4，得9＋2xy－3xy＝4解得：xy＝5（2）∵x2＋y2－3xy＝4，xy＝5∴x2＋y2＝19又∵x3y＋xy3＝xy（x2＋y2）∴x3y＋xy3＝5×19＝95．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及整体思想的应用，根据已知得出x2＋y2与xy的值是解决问题的关键．【例34】解下列方程(组)：【答案】解：原方程组化简得，解得．针对练习31.已知a﹣b＝5，ab＝﹣2，求：（1）（a+b）2；（2）a2﹣ab+b2的值．【答案】（1）（a+b）2=17；（2）a2﹣ab+b2的值为23．【分析】（1）将ab=5两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入求出a2+b2的值，即可确定出所求式子的值．（2）把a2﹣ab+b2加上3ab再减去3ab，配成（a+b）23ab，再代入求值即可．解：（1）将ab=5两边平方得：（ab）2=a2+b22ab=25，∴a2+b2=21

∴（a+b）2=（2）【点拨】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．2.乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是（a﹣b），长是（a+b），面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；小题2：由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；小题3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；小题4：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1﹣）×（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝＝．考点四因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.注意落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【例41】分解因式：（1）（2）；（3）；【答案】（1）（2）；（3）【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．解：（1）原式＝=；（2）原式＝=；（3）原式＝==；【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【例42】分解因式：(1)；(2)．【答案】解：(1)．(2)．【点评】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．【例43】先阅读下列材料，再解答下列问题：分解因式：将：将看成整体，设，则原式再将换回去，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想"是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）设，先利用平方差公式进行因式分解，再将换回去，计算整式的加减即可得；（2）设，先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解，然后将换回去即可得．解：（1）设，则原式，将换回去得：原式，，；（2）设，则原式，，，将换回去得：原式．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和“整体思想”是解题关键．【例44】阅读理解并解答：（方法呈现）（1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：，，．则这个代数式的最小值是__________，这时相应的的值是__________．（尝试应用）（2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值．（拓展提高）（3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．【答案】（1），；（2）这个代数式的最大值是，这时相应的的值是；（3）此时这根铁丝剪成两段后的长度均为150cm，两个正方形的面积之和有最大值【分析】（1）根据题意即可求解；（2）将化为即可求解；（3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意列出式子，通过配方求解．解：（1）由题意：，当时取到最小值；故最小值为，相应的，故答案：．（2）则这个代数式的最大值是，这时相应的的值是．（3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意得：当，两个正方形的面积之和有最大值．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是：会对代数式进行配方成完全平方公式再求解.针对练习41.阅读下列材料，并完成相应的任务：求根分解法是多项式因式分解的一种方法，是用求多项式对应的方程的根分离出多项式的一次因式．设f（x）是一元多项式，若方程f（x）＝0有一个根为x＝a，则多项式必有一个一次因式x﹣a，于是f（x）＝（x﹣a）g（x）．例如，设多项式7x2﹣x﹣6为f（x），则有f（x）＝7x2﹣x﹣6，令7x2﹣x﹣6＝0，容易看出，此方程有一根为x＝1，则f（x）必有一个一次因式x﹣1，那么得到7x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（mx+n）（m、n为常数）而（x﹣1）（mx+n）＝mx2+（n﹣m）x﹣n，所以7x2﹣x﹣6＝mx2+（n﹣m）x﹣n，由系数对应相等可得m＝7，n＝6，所以7x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（7x+6）．任务：（1）方程x3﹣3x2+4＝0的一根为x＝﹣1．（2）请你根据上面的材料因式分解多项式：x3﹣3x2+4＝（x+1）（x﹣2）2．解：（1）x3﹣3x2+4＝0（x+1）（x﹣2）2＝0，所以x＝﹣1，故答案为﹣1．（2）x3﹣3x2+4＝（x+1）（x﹣m）2＝（x+1）（x2﹣2mx+m2）＝x3﹣2mx2+m2x+x2﹣2mx+m2＝x3+（﹣2m+1）x2+（m2﹣2m）x+m2所以﹣2m+1＝﹣3，解得m＝2，所以因式分解多项式：x3﹣3x2+4＝（x+1）（x﹣2）2故答案为（x+1）（x﹣2）2．2.阅读材料：若，求，的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知，则________，________；（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长．（1）4，4；（2）的周长为9．【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x和y的值；（2）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a和b的值，从而得出c的取值范围，根据c为整数即可得出c的值，从而求得三角形的周长．解：（1）由得，，∴，，∴，故答案为：4，4；（2）由得：，，∴a1=0，b4=0，∴a=1，b=4，∴3＜c＜5，∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，∴c=4，∴的周长为9．【点拨】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系，本题难度中等．3观察以下等式：第1个等式：42+32=52；第2个等式82+152=172；第3个等式：122+352=372；第4个等式：162+632=652；……；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明．1）202+992=1012；（2）（4n）2+[（2n1）（2n+1）]2=[（2n1）（2n+1）+2]2；证明见分析．【分析】（1）观察等式中的3个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数是序号的4倍的平方，第二个数是从1开始的连续两个奇数的乘积的平方，第三个数是连续两个奇数乘积+2的平方，以此规律可得结论；（2）依据（1）中找到的规律得到第n个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确．解：（1）观察等式中的3个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数是序号的4倍的平方，第二个数是从1开始的连续两个奇数的乘积的平方，第三个数是连续两个奇数乘积+2的平方，∴第5个等式为(4×5)2+[9×11]2=202+992=1012；

故答案为202+992=1012；（2）依据（1）中找到的