受压构件的稳定(结构稳定原理)

第2章受压构件的稳定

2.1轴心受压构件的稳定

轴心压杆就其自身的截面形状和尺寸而言，有较长细的杆，也有较中短的杆,

这可用长细比4=/。”来表达。对于长细比大的长细压杆，可以认为是在弹性范围

内失稳；对于长细比小的中短杆件，则可能是在弹塑性范围内失稳。因此，应该

分别按弹性范围和弹塑性范围来分析理想轴心压杆的临界荷载。

2.1.1理想轴心压杆的弹性稳定

用理想轴心压杆的欧拉荷载4除以杆件的截面积A,可得轴心压杆欧拉临界

应力%,=丝=3X=坐，式中i为回转半径，i由此可计算出应力值

22

A(Z0/z)2VA

为材料比例极限5时的长细比左，并以此作为长细杆和中短杆的分界；压杆的长

细比大于乙时称为长细杆或大柔度杆，长细比小于4时称为中短杆或小柔度杆。

对于理想轴心压杆来说，长细杆是在弹性范围内工作的，所以压杆的稳定分

析为弹性稳定问题。通过弹性压杆的静力平衡条件,可以建立理想轴心压杆的平衡

微分方程式，解平衡微分方程则可求得轴心压杆的临界荷载。下面来看几个边界

条件不同的理想轴心压杆的弹性稳定分析。

1)一端固定一端钱接的压杆I、

(1)用静力法求解|p

如图2—1所示一端固定一端较接的等截面轴心受1g__Q

压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则取任'V

意截面的弯矩为

M^-Py+QQ-x)'T•

式中Q为上端支座反力。由/=-七犷'，压杆挠曲线x7

的平衡微分方程为：/力-y

EIy"^-Py+Q(l-x)图2一1一端固定一端较接压杆

即/+—y=-^-(/-x)(2.1)

EIEI

令42=£,则有

EI

y"+心y=k2-x)(2.2)

此微分方程的通解为

y-Acoskx+Bsinkx+—(l-x)(2.3)

式中A、B为积分常数，Q/P也是未知的。已知边界条件为

当x=o时，＞=0和y=o；

当％=/日寸，y=0和y"=0.

将边界条件代入式(2.3),可得关于A、B、Q/P的齐次方程组

A+©=0

P

Bk-Q=O(2.4)

P

AcosZ/+3sinZ/=0

对于新的弯曲平衡形式应要求A、B、Q/P不全为零，于是齐次方程组(2.4)

的系数行列式应为零，即

10I

0k-1=0

cosklsink/0

展开并整理得稳定方程为

tgkl=kl(2.5)

此稳定方程为超越方程，可用试算法并结合图解法求解，得4=4.493,故

如果以两端较接轴心压杆为标准的计算长度，则

4.493?£7//449327t2ElTV2EI

22222

I%2/4.493-(0.699)/〜(0.7/)

(2)用能量法求解

23

设压杆的挠曲线函数为y=tz,x(/-x)+a2x(/-x)

求得结构的势能为

।241223

n=-EZ(4ZV+8/%出+一户婚)——P(—l5af+—lbaa+—Z7^)(2.6)

2521510x235

由式(1.18)可知，—=0和-=0o将式(2.6)代入并经整理可得

拉Z]da2

21

23

(4EI-—lP)a]+(4ZEZ--/P)a2=0

(2.7)

(4£/__L/2p)^+(^/E/_A/3p)fl2=0

由于4、出不全为零，故方程（2.7）的系数行列式应为零，即

21

4E/——l-P41EI——13P

1510_n

1243-

4E/一一l-P-IEI-—PP

10535

展开并整理得

尸―128.P+224(X*)2=o(2.8)

20.92E/

解此方程取最小根，可得临界荷载为:匕=2

与精确解Pcr=2°」*相比较，大3.6%。

2）两端固定的压杆

如图2—2所示两端固定等截面轴心受压弹性直

杆，设其已处于新的曲线平衡形式，压杆挠曲线的平

衡微分方程为

EIy"+Py=M()(2.9)

式中为失稳变形后压杆固定端处产生的弯矩，是

未知数。

22

令左2=f,则y"+ky=k^-(2.10)

-P

方程式(2.10)的通解为：y=AsinZ:x+Bcoskx+-^-

x=0,y=y'=0

根据边界条件

x=/,y=y'=0

可得B+”

A%=0

M

AsinZ/+Bcoskl+―-=0

P

同样应要求A、B、不全为零，于是上面齐次方程组的系数行列式应为零,

即

011

k00=0

sinklcoskl1

可得稳定方程cos%/=1(2.11)

解此超越方程可得k=2兀/I

则临界荷载p”型L

位移函数为y=%(i_cos2竺)

EII

换算为标准计算长度，临界荷载为匕,=互巴

(0.5/)2

3)一端固定一端自由的压杆

如图2—3所示一端固定一端自由等截面轴心受压

弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，压杆挠曲

线的平衡微分方程为图2—3一端固定一端自由压杆

Ely"+Py=P§(2.12)

式中日为失稳变形后压杆自由端处产生的位移，是未知数。

P

令％2=工，则y"+k2y=k23(2.13)

EI

方程式(2.13)的通解为

y=Asinkx+3cosZx+S

根据边界条件x=0yV—:M=0

x=l,y=o

可得B+5=O,6=—3

Ak^O,A=O

AsinA7+6cosA7+3=3,Bcoskl=0,B0

则稳定方程为cos%/=0(2.14)

解此超越方程可得kl=兀/2

则临界荷载

位移函数为y=6(1-cos多

换算为标准计算长度，临界荷载为p/2EI

“(2/)2

由上面的讨论可知，在理想轴心压杆的弹性稳定问题中，尽管边界条件不同,

但临界荷载均可表达为

兀2El7T2EI

(2.15)

F0(⑷2

式中称为轴心压杆的计算长度。/为压杆的构造长度；〃为压杆的长度系

数，与压杆的边界条件有关。各种端支承条件下，弹性轴心受压杆件的长度系数〃

见表2—1。

计算长度/o的几何意义是：轴心压杆失稳后，挠度曲线上的两个相邻反弯点之

间的距离。其物理意义为：各种端支承下的轴心压杆，其临界荷载与一两端钱接

支承的轴心压杆的临界荷载相等时，两端较接轴心压杆的长度。

如前所述，在临界状态下弹性轴心压杆横截面上的应力称为临界应力，用。”

表示，即(2.16)

式中：A—长细比，2=/0/z；i—回转半径，z=V777o

理想轴心压杆的临界荷载P/称为欧拉荷载，其应力也称为欧拉应力b"欧拉

应力的计算公式（2.16）,只有在杆件的材料为线弹性时才适用。设材料的比例极

限为巴,，则式（2.16）的适用范围是

当轴心压杆的长细比九24时，称为长细杆，只有长细压杆才能应用欧拉公式。

如轴心压杆采用Q235钢，则其E和%,的平均值可分别取为E=2.06XlO'MPa和巴,

=200MPa,此时4=100o

4）任意端支承条件下的稳定微分方程

从以上讨论可知，轴心受压杆件的临界荷载与压杆两端的支承条件有关。对

于任意边界条件，也可采用下列方法建立稳定微分方程。

如图2—5所示两端较接轴心压杆，杆件的位移有：截面形心的纵向和水平方

向的线位移，及截面的角位移。假设只考虑水平位移y和截面转角0；微段的变

形中只考虑弯曲变形，则

(2.23)

dxdx

Q+dQ

取微段/如图2—5b),由于在失稳时荷载P的方向保持不变，因此微段〃，的

截面上剪力和轴力的合力应等于P,并沿竖直方向作用。

截面上的轴力N=PcoseXP,N+dN=Pcos(6+d6)aP,故可知轴力的增

量初=0；对于剪力来说，Q=Psine*Pe,Q+dQ^Psin(0+dd)«P{0+d0),

考虑几何关系式(2.23),于是有

dQ=PdO=Pd^~y(2.24)

dx-

因为。=也，1。=妇3(2.25)

dxdx~

故可得雪=P”(2.26)

dx~dx

考虑到物理关系知=-£勿"，代入式(2.26),得到轴心压杆任意端支承条件

下的稳定微分方程

《(E/R+P雪=0(2.27)

dx2dx2dx2

p

当轴心压杆为等截面时，其抗弯刚度EI为常数，可提到括号外，令心=二,

E1

方程(2.27)可写成夕+左2雪=o(2.28)

dxdx

方程(2.28)是一个常系数四阶线性齐次微分方程，方程的通解是

y=GsinZx+C2coskx+C3x+C4(2.29)

式中的积分常数可由两端支承的边界条件确定。

常用的杆端支承边界条件有：

(1)简支端时，丁=0和〈=0；

(2)固定端时，＞=0和；/=0；

(3)自由端时，y"=0和y”+/y，=o；

根据轴心压杆的上下端支承情况，可得四个边界条件，将其代入式(2.29)

可建立四个线性齐次方程，并组成一个方程组，用矩阵表示为

“120'

%3。14

0

。23424>或[A]{C}={0}(2.30)

a0

32。33。34

为2〃43“440

式(2.30)中的系数矩阵［A］是一个四阶方阵，其元素均随边界条件而定。为

了得到式(2.30)中积分常数G的非零解，就要求系数矩阵［不相应的行列式等于

零，即

网=0(2.31)

方程(2.31)是一个以k为唯一未知量的特征方程或稳定方程，解此超越方

程从而可得心值。在无限个分根中取最小根，利用式k2=P/EI即可求的轴心压

杆的临界荷载巴,。把片的最小根代入式(2.29)中，可以得到轴心压杆的弹性挠

曲线方程，式中的积分常数G则由线性齐次方程式(2.30)解出。

由此可知，求解理想轴心压杆的临界荷载，在数学上是一个求解特征值的问

题，满足网=0的k值称为特征值；与k值相应的挠曲线函数y(x)称作特征向量或

特征函数。需注意的是：轴心压杆的弹性挠曲线方程只能给出挠曲线的形状，而

不能决定其变形的幅度。

具体解题时，可以从确定边界条件开始，利用式(2.29)和式(2.31)求解,

无需每次都要先建立微分方程，然后求解。下面利用任意端支承条件轴心压杆稳

定微分方程，求解一端固定一端较接轴心压杆的临界荷载。

如图2—1中所示，一端固定一端钱接轴心压杆两端的边界条件分别为

当％=0时，y=0和y'=0；

当工=/时，y=0和y"=0°

将边界条件代入式(2.29)可得

C2+C4=0

kCx+C3=0

C)sink/+C2cosk/+/。3+C4=0

Gsink/+C2cosA/=0

利用第i、2式消去第三式中的c：，、a可得

(sinkl-kl)C]+(cos/r/-l)C2=0

和sinkg+cosHQ=0

因为c、c2,c3>a有非零解，由上列两式的系数行列式等于零，可得稳定方程

tgkl=kl

解此方程，求得kl的最小值kl=4.493

由此求得轴心压杆的临界荷载

20.19E/兀°EI

PC.=HE1=

-(0.7/)2

2.1.2理想轴心压杆的非弹性失稳

1)非弹性失稳问题

由于假定轴心受压杆件的材料服从虎克定律，因此，要求压杆的临界应力低

于材料的比例极限o从欧拉应力公式名,.=病£/汇可知，它仅适用于巴，〈巴，的

长细压杆，因为在长细压杆材料的弹性模量E是常量。而临界应力在比例极限％与

屈服极限％之间的中短压杆，它们的弹性模量应该是E,,且不是常量，此时必须

考虑材料的非弹性性能。

对于短柱，即X特别小的轴心压杆，其与临界应力相对应的值必然是屈服极限

%。而中短轴心压杆的临界应力处在比例极限生，到屈服极限明的范围内，所以中

短压杆的稳定分析属非弹性稳定问题。

2）切线模量理论

假设理想轴心压杆失稳时为小变形，

仍用y"代表曲率，且压杆横截面变形后仍

为平面。随着轴向荷载的增加，如图2—6

所示，当压杆中应力达到冬以后，应力一

应变曲线将不是直线，其斜率为变量，记

作欧=3。E,称为切线模量，其值随着

ds

应力的变化而变化，已经不再是常量。图2—6切线模量理论

切线模量理论就是假定当轴心压杆的临界应力q,超过了巴，时，其弹性模量E

应以相应于该的切线模量E,来代替。于是，压杆截面上的内力矩应用-耳代

替-E",从而导出非弹性状态的临界荷载，如在两端较接的轴心压杆中

(2.32)

由于式（2.32）中E,是一个变量，具体应用时应把式（8.32）写成

P-EJ

(2.33)

A22

并据此画出曲线。必须注意，绘制。”）,-/1曲线时，由于要利用材料的

应力一应变曲线来确定日,因此，所得曲线只能适用于某一种特定的材料。

在轴心压杆中直接应用切线模量公式是困难的，因此，常用熟知的抛物线公

式来模拟说明切线模量理论。设抛物线有下列形状

acr=a-b^（2.34）

式（2.34）中。和b是常数，由轴心压杆的实际条件确定。显然当；1=0时，％,=q；

时，于是可以确定常数。和b。考虑到。=兀管2E，则式（2.34）为

这就是轴心压杆非弹性失稳的抛物线公式，只要知道材料的E、％和q即可得到

非弹性阶段的柱子曲线。

3）双模量理论（折算模量理论）

双模量理论认为当轴心受压杆件弯

曲失稳时，压杆外凸一侧纤维的应力是

降低的，相当于卸载，故弹性模量应取

E,如图27所示；而在压杆内凹一侧纤

维的应力是增加的，此时弹性模量应是

Evo由于E和E,是不相等的，所以压杆

截面的中性轴将不与形心轴相重合，这

与轴心压杆弹性失稳和切线模量理论的

结论不同。图2—7双模量理论

折算模量的表达式如下

人

E_EI\+E(2.36)

式中：I一为整个压杆截面对形心轴的惯性矩；L和L分别为压杆中性轴以右和以

左的截面对中性轴的惯性矩。

在折算模量E,中包含了E和E”这样临界荷载为

2

7TErl

P,2

临界应力为

（4）=竽

这个理论就称为双模量理论。E,.的大小不仅与压杆材料的应力一应变曲线有

关，还与压杆的截面形状有关。

对于矩形截面折算模量为E一4附

’（在+厄丫

对于理想工字形截面折算模量为

由于E>E,>E,,故区>匕>夕。双模量理论曾一度被认为更为完善，但实

验证明切线模量理论所得临界荷载P,更接近实验结果；“香雷理论”也证明了后者

的可靠性。

2.2初始缺陷对临界荷载的影响

工程实际中的压杆，总存在着初弯曲、初偏心或残余应力等初始缺陷，因而

理想轴心受压杆件在工程实际中是不存在的。

2.2.1初弯曲的影响

如图2—8所示，两端较接压杆的形心轴在加载之前就已经弯曲，假设其初

弯曲的形状为

X)"s.i.nh71X

若加教后附加挠度为y,则荷载产生的弯曲应

变应由曲率y"变化引起，而不是由总曲率+

引起。由静力平衡条件，x截面处的内力矩等于外

力矩，得

-EIy"=P(y+yo)

由%=/oSin9和抬=5，则

IEI

22

y"+ky^-kf^m—(2.37)

方程(2.37)的齐次通解为

yc=Asinkx+Bco&kx(2.38)图2—8初弯曲轴压杆

特解为=Csin—+£)cos—(2.39)

将式(2.39)代入式(2.37),合并同类项，可得

-2~|r2~|

222

C(k-^-)+kf0siny+D(kcos亍=0

对于一切x值，仅当正弦项和余弦项前的系数都为零时，上式才能满足。因此

D=0或左2=72〃2

和C=fo=fo=_f^_=

(-)2-l土—1--11-7

kipn

式中〃=P/七,PE为欧拉荷载。如果取左2=万2〃2,则y的解将局限为

P“=dEll,不是所要研究的，因此必须D=0,由此可得

4.1jnfo•

y=y+y=AsinZx+Bncoskx-\-——sin—(2.40)

1-7I

A和B由边界条件确定。

当x=0时，y=0,可得B=0；

当》=/时，y=O,可得AsinZ/=O,应取A=0o

〃上.我

则y=W/oSin7(2.41)

压杆总的挠度为

“71、c.71X1.71X

…=(1+亏)"7=亏r旧7

从而压杆中点（x=//2处）的总挠度为

八匕/。=4(2.42)

1一尸/外

上式表明了荷载P与位移S之间的关系。图2—9是表示这种关系的P—b曲线,

从图2—9中可以看到初弯曲降低了轴心压杆的承

载力。

初弯曲轴压杆的特性是：一旦施加荷载，压杆

即产生弯曲，在P—5曲线图中，曲线的起始点不

在原点。初弯曲越大，压杆中点的挠度S也越大,

承载能力的降低也越显著。由于材料不是无限弹性

的，图中曲线只在3<//10时才有效，而且有初弯

曲的轴压杆的承载力总是小于欧拉应力R。图2—9初弯曲P—S曲线

2.2.2初偏心的影响

现在讨论具有初始偏心的两端钱接压杆，如图2—10所示，在压杆任意截面

处，使抵抗力矩-E/y"和相应的外力矩Py相等，可得

-Ely"=Py

令火之则y"+k2y=O(2.43)

EI

其通解为y=AsinBcosloc(2.44)

由压杆边界条件：》=干//2时，y=e0

可得A=0,B=0

cos/://2

故y------coskx=esec—coskx

-cosH/2n°2

在压杆中点x=0处

kl产厂、

Wax=e°secy=%sec(^l—)

由上式可得压杆中点的最大挠度为

…卜吗6T(2.45)

图2—10初偏心轴压杆

上式表明了荷载P与位移5之间的关系。

图2—11是表示这种关系的P—3曲线，从图

2-11中可以看到初偏心降低了轴心压杆的

承载力。这与初弯曲情况相近，图中曲线②的

初偏心00大于曲线①的初偏心0

图2—11初偏心P—6曲线

2.2.3残余应力的影响

钢质杆件在制造和加工过程中，由于局部的塑性变形、不均匀冷却和冷加工

等的影响，在未受到荷载作用之前，杆件截面上已残留有自相平衡的应力，这种

应力称为残余应力。r。残余应力可以通过实际测量获得，热轧型钢中残余应力的

分布主要取决于截面的几何形状和各部分尺寸的比例。图2—12示出了工字形截

面翼缘的残余应力。

残余应力的存在对压杆的临界荷载有影响，当压杆失稳时的平均应力

P/A=cr小于有效比例极限与，时，压杆为弹性状态，其临界应力与无残余应力时

的相同。而当平均应力。大于有效比例极限与，时，压杆截面将出现塑性区，此时

压杆能抵抗弯曲变形的只是杆件截面弹性区的材料。以图2-12中工字形截面压

图2—12工字形截面翼缘的残余应力

杆为例，由于翼缘出现了塑性区，截面的有效惯性矩将只是截面弹性区的惯性矩

Ie,此时压杆的临界荷载为

(2.46)

临界应力为(2.47)

式中：4//一为压杆临界荷载的折减系数，

下面讨论工字形截面轴压杆件残余应力对压杆临界荷载的影响，首先计算折

减系数。当压杆失稳时，假设压杆

Ie_2"比2/2_2_

绕强轴(X轴)弯曲时7-2hth2/2~~\~T(2.48)

绕弱轴(y轴)弯曲时42^71243

==3=r(2.49)

/2b3t"2A

式中：A一为压杆截面积；A,一为压杆弹性部分的截面积。于是压杆的临界应力为

绕强轴弯曲时

前=空「3

绕弱轴弯曲时

由于z<l,上面计算表明当轴压杆件发生绕弱轴弯曲失稳时，残余应力对压

杆临界应力的影响更大。工是名,.的函数，T与b”之间的关系为

区(1—'

(2.50)

5

将式(8.50)代入式(8.48)和式(8.49),则

2

绕强轴弯曲时-詈)(2.51a)

3

2

绕弱轴弯曲时专子)(2.51b)

根据式(2.51)即可用试算法确定计入残余应力影响时轴压杆的临界应力。

通过上面的分析可知，残余应力将降低压杆的刚度，其原因是由于残余应力

的存在，压杆的部分翼缘提前屈服，使压杆截面只有弹性部分能够继续承载。残

余应力也将降低承载力，压杆的承载力降低多少取决于/«//比值的大小。残余应

力的影响与杆件的截面形状、弹塑性区各部尺寸的比值、残余应力模式及峰值、

失稳的方向等有关，长细比较小的钢质压杆应该考虑残余应力的影响。

2.3轴心压杆的扭转失稳

上面所讨论的都是轴心压杆的弯曲失稳问题，即当轴心压杆失稳后只出现弯

曲变形。一般对于双轴对称界面的轴心压杆，失稳时可能绕截面的两个对称轴发

生弯曲屈曲，但是有些抗扭刚度和抗翘曲刚度较弱的轴心压杆，除了有可能发生

绕对称轴x或y的弯曲失稳外，还有可能发生绕截面纵轴z转动的扭转失稳。

对于单轴对称截面的轴心压杆，除了可能发生绕截面的非对称轴x发生弯曲

失稳外，还可能在绕截面的对称轴y弯曲的同时，又绕通过截面剪心s的纵轴扭

转而发生弯扭失稳。对于截面不具有对称轴的轴心压杆，因为截面的形心和剪心

不重合，则只可能发生弯扭失稳。因此，在分析轴心压杆的稳定问题时，除了要

研究其弯曲失稳之外，还必须考虑压杆有无发生扭转失稳和弯扭失稳的可能性。

2.3.1截面的剪力中心

截面的形心c与剪心s是杆件截面上

的两个点。剪心即剪力中心，它是内力剪三卷3

I

力在截面上通过的点，即主扇性极点。一-1二

剪心的位置与截面的对称轴有关，截

面有对称轴时，剪切内力通过对称轴，因

此截面的剪心必然在对称轴上。双轴对称图2-12

截面的杆件，剪心在两对称轴的交点上，并与形心重合。单轴对称截面的杆件,

剪心在对称轴上，但具体的坐标需另外求得。对于有几个狭长的矩形截面组成，

而且其中心线交于一点的截面，如角形、T形和十字形截面，其剪力中心必通过此

交点。轴心压杆截面剪心的位置如图2—12所示。

根据剪力流理论，杆件截面的剪应力公式为

(2.47)

式中：Q一截面剪力；L—截面对弯曲主轴

的惯性矩;出-所求剪力处的截面净矩;

(a)(b)

t-所求剪力处的构件壁厚，在翼缘中用t,在腹板中用t,。

现在以槽形截面为例，如图2—13所示，计算确定剪力中心S在x轴上的位

置。首先从自由边计算，任一距自由边距离r的截面处的剪应力为

7=a=2.2图2—13

IxtIx2

r*,Qht,Qth2h

P=rtdr---------rdr=------------

JoIx2J。4/v

⑵48）

再计算腹板中的剪应力，可得腹板中剪应力的合力就是Q。由截面上力矩平衡

可得

Ph=Qax

将截面对x轴的惯性矩=2+24!代入式（2.48）,并由/=P〃/Q可得

3必2

%

twh+6th

因此可知，槽形截面的剪力中心S在腹板外侧距腹板中心线处处。

剪力中心具有以下性质：

（1）如果压杆弯曲时的外力剪力不通过截面的剪心，则压杆在弯曲的同时还

伴随着产生扭转；

（2）截面的扭转是绕剪心S发生而不是绕形心C发生。

2.3.2自由扭转与约束扭转

1）自由扭转构件变形时截面翘曲可以自由产生，而又不受任何约束的扭

转称为自由扭转。自由扭转不产生正应力，只产生剪应变和剪应力。

利用弹性力学中已导出的自由扭矩加人与扭率，之间的关系式，可知

MLGIk孚=GIk（P'

az

(2.49)

式中：G—材料的剪切弹性模量；(p—截面的扭转角；人一抗扭惯性矩。

在式(2.49)中的G/,称为截面的自由扭转刚度。对于高度为b,厚度为t的

狭长矩形截面的抗扭惯性矩，可近似地取为

I=—bt3

k*3

对于有几个狭长矩形截面板件组成的开口薄壁构件截面，如角形、T形、槽形

和工字形等截面，构件总的抗扭刚度可近似地取各板件抗扭刚度之和，即

4=范33

i=]J/=1

式中：。，和，，分别表示第i块板件的高度和厚度，而n表示组成截面的板件的序号。

自由扭转使构件截面只产生剪应力，它在截面的厚度范围内形成封闭的剪力

流。此剪力流的方向与壁厚的中心线平行，而且大小相等，方向相反，成对地形

成扭矩。剪应力在壁厚中心线处为零，在壁厚的外表面最大，沿壁厚按线性变化,

板件的最大剪应力为Tk=Mkt/k

2)约束扭转

非圆截面构件扭转时，由于截面受

到约束而不能自由翘曲时称为约束扭

转。槽形和工字形等开口薄壁截面杆

件，作为压杆仅受纵向荷载作用时，失

稳时可能出现扭转变形，由于约束扭转

杆件中翘曲受到约束，从而产生翘曲扭

矩，翘曲正应力和剪应力。

现以工字形截面构件来说明约束图2-14

扭转的内力，如图2-14所示，截面上的内力必须和外力相平衡，而构件上的外

力只有扭矩。把由约束扭转产生的剪力。/所组成的扭矩称为翘曲扭矩，

=Qfh,则内力扭矩为M:=Mk+M(0,即

m

M:=GIx(p'-EIm(p

(2.50)

式中：It~为截面的翘曲惯性矩，或扇性惯性矩。

式(2.50)就是约束扭转平衡微分方程。解此方程可求得扭角夕及其对z的导

数('、"和",分别代入式(2.49)和式(2.50),即可求得内力矩丁人和”3,

进而可求出翘曲正应力名,和翘曲剪应力九。

3)截面扇形几何特性

在扇性坐标系中有：扇性坐标G=

扇性静距创公

扇性惯性积&=£'coytds\1^,=£'coxtds

扇性惯性距〃=不储以s=\a)2dA

式中：CO—为截面上各点的扇性坐标；Si是截面中心线的总长，t是截面的厚度。

对于不同形状的截面有不同的翘曲惯性矩，如

J=b3112t=、仔

工字形截面01244/(，

/_b3h2t2ht+3bt

槽形截面w

°-126bt+htw

而由两个狭长矩形相交组成的角形、T形和十字形等截面，/°=0。

4)双力矩纥

约束扭转的构件，上下翼缘的弯矩大小相同，但方向相反，形成一种双力

矩纥,，B“=一时，。双力矩也可以视为以主扇性坐标。为力臂所组成的力矩，

B,=[cr.­cotdso

“Jo©

m

翘曲扭转力矩与双力矩Bl0有如下关系：M(a=dBm/dz=-EIa(po

2.3.3轴心压杆的扭转失稳

扭转失稳是指轴心压杆失稳后，压杆的

轴线仍是直线，但是杆件发生了扭转变形。

对于两端简支的轴心压杆，杆件扭转时全截

面形成的非均匀扭矩为

\p2dA(p'(2.51)

受力纤维因扭转而倾斜时，诸分力绕截

面的剪心而形成的扭矩称为华格纳效应，

-fp2dA则称为华格纳效应系数。

AJA

对于双轴对称截面

=+/v图2-15

而¥=&+/、,)“，是截面对剪心的极回转半径。式(2.51)可写为

%=Pi押

(2.52)

由式(2.50)约束扭转平衡微分方程“2=G/"'-©3。”可得

E/"+(*G/.)d=O

(2.53)

令％2=(Pi：—G4)/E/0,则式(2.53)可写作

(p"'+k2(p'=O

(2.54)

式(2.54)的通解为

(P-Cxsinkz+C2coskz+C3

(2.55)

根据压杆端部的边界条件z=0冲=0"=0

可得+。3=0及Gsin%/=0；由纥,=—E//"(0)=0,可知C2=0,故Ca

=0。因为GWO,所以只有sink/=O,4/=4,2肛3肛一5不,其中最小值为4=万。

222

由k=(Pi^-GIk)/El(0=7r/l,可得扭转临界荷载

(2.56)

对于轴心压杆，当截面的形心与剪心重合时，如双轴对称的工字形截面，或

点对称的Z字形截面，压杆有可能发生弯曲失稳，也可能发生扭转失稳。

从上面的讨论可知，构件扭转时产生的扭矩与截面的应力分布、截面的几何

性质人和〃有关，这些取决于截面的形状和尺寸。不同截面的人和〃的差别，将

反映出构件抗扭能力的差别。对于受压构件，他们也将反映出扭转失稳和弯扭失

稳性能的差别。构件抵抗扭转的能力，可以用扭转刚度参数K来衡量，将式(2.56)

写成

pG。4兀E1”、GI卜4K2、

(2.57)

卫4,K值越大，说明构件抗翘曲扭转的能力越高。

式中扭转刚度参数K

G"

由式(2.56)可以看出，如果轴心受压构件截面的翘曲惯性矩〃很小，如角

形、T形和十字形等截面的〃心0,则这些轴心受压构件的乜与构件的长度无关。

由Z:2=(PzJ-GZJ/£/,„=^2//2,式(2.56)还可以写成

11一兀2EI316-

2=K(Z92E/°+G4)=K

"ozo

1一1户I

写成通式为p=尸4+GJ_2(/2'

(0*

10%

(2.58)

式中%=7likl,称为扭转计算长度系数；而为扭转计算长度，取决于受

压构件两端的约束条件，且只影响构件的翘曲刚度而与抗扭刚度无关。

在轴心受压构件中由于扭转失稳决定构件临界荷载的情况很少，通常在解出

扭转临界荷载P"后，还应把它与构件的弹性弯曲临界荷载2或P,作比较，取其中

最小值作为构件的临界荷载。

2.4轴心压杆的弯扭失稳

弯扭失稳就是指轴心受压杆件失稳时，杆件既有弯曲变形同时也有扭转变

形。对于具有单轴对称截面的轴心受压构件，除可能发生绕非对称轴的弯曲失稳

外，还可能发生绕对称轴弯曲的同时绕纵轴扭转的弯扭失稳。对于无对称轴截面

的轴心压杆则只可能发生弯扭失稳。

2.4.1单轴对称轴心压杆的弯扭失稳

首先建立普遍使用的单轴对称截面轴心受压构件在微小弯扭变形时的平衡方

程。如图2—16所示单轴对称工字形截面轴心受压构件，截面绕对称轴有弯曲变

形，绕纵轴有扭转变形。由图2—16可知平面内的弯矩平衡条件为

-EI/"=-EIyu"=P(u+a、(p),即

Eluy"+Pu+PyaTw=0

(2.59)

图2-16

这时截面的非均匀扭矩应为此=&d+&”，式中幻=(/,+/v)/A+〃,

明为截面剪切中心坐标。则扭矩的平衡方程

EIm<p"'+(尸后—GI”+Pa”=0

(2.60)

对式(2.59)微分二次，对式(2.60)微分一次后可得

,v

Elvu+Pu"+PaY(p"^O

El"+(尸1；_GIk)(P〃+Pa"=O/

(2.61)

式(2.61)是耦联的高阶微分方程，适用于任意边界条件的单轴对称截面轴心受

压构件。联立求解式(2.61)方程组，可求解轴心压杆的临界荷载£,。

下面以两端简支的单轴对称截面轴心受压杆件为例，求出临界荷载的计算公

式。构件的边界条件为M(O)="(/)=M〃(O)=〃"(/)=O,

o(o)=°(/)=。"(0)=(p"(i)=oo

满足这些边界条件的变形函数为〃=Gsin干，°=。25山等，当n=l时

可得到临界荷载的最小值。将〃=Gsin等和夕=C2sin等代入式(2.61),并令

仁=器和2=4(64+华4,这样可得

-&6+(2")居=。

(4-P)G-P%G=O

G和1由非零解的条件为其系数行列式为零，即构件的稳定方程为

—Pa,(2—P)4

二0n

PyP-PCly

或(A-p)(2—尸)一(％/，o)2尸=0

(2.62)

解式(2.62)可得两个根，其中较小的为弯扭临界荷载，即

/二"+1-，(4+—)2-4松盘.

乙K

(2.63)

式中:4=1一(%"。)2。

实际中绕非对称轴的弯曲失稳与绕对称轴的弯扭失稳都是可能的，轴心压杆

发生弹性弯扭失稳的条件是［⑷应小于绕截面非对称轴的弯曲临界荷载

P,=/£7,〃2