2024高考数学常考题型第7讲 导数中的5种同构函数问题 （解析版）

2024高考数学常考题型精华版第6讲导数的极值与最值题型总结

【考点分析】

考点一：函数的驻点

若/'々0)=0,我们把与叫做函数的驻点.

考点二：函数的极值点与极值

①极大值点与极大值：函数〃X)在点X。附近有定义，如果对毛附近的所有点都有/(x)</(x。)，则称/(%)

是函数的一个极大值，记作y极大值=/(X。)，其中与叫做函数的极大值点

②极小值点与极小值：函数〃x)在点/附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/(x)>/(x0),则称/(X。)

是函数的一个极小值，记作y极小值=/(x。),其中X。叫做函数的极小值点

考点三：求可导函数/(x)极值的步骤

①先确定函数/(x)的定义域；

②求导数f'(x)；

③求方程f'(x)=0的根；

④检验/'(外在方程/'(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函

数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=/(x)在这个

根处取得极小值.

注意：可导函数/(x)在x=x0满足/•'&)=()是/(x)在/取得极值的必要不充分条件，如f{x)=xi,

/'(0)=0,但％=0不是极值点.

考点四：函数的最值

一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。

求函数最值的步骤为：

①求V="X)在［a,b］内的极值(极大值或极小值)；

②将y=/(x)的各极值与/(a)和/(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

【题型目录】

题型一：求函数的极值与极值点

题型二：根据极值、极值点求参数的值

题型三：根据极值、极值点求参数的范围

题型四：利用导数求函数的最值(不含参)

题型五：根据最值求参数

题型六：根据最值求参数范围

【典例例题】

题型一：求函数的极值与极值点

【方法总结】

利用导数求函数极值的步骤如下：

(1)求函数/(X)的定义域；

(2)求导；

(3)解方程/'(/)=0,当/(x0)=0；

(4)列表，分析函数的单调性，求极值：

①如果在飞附近的左侧/'(力<0,右侧/、'(x)〉0,那么是极小值；

Y2

【例1】(2022石泉县石泉中学)函数f(x)=j的极小值为()

1,

A.0B.-C.2D.4e2

e

【答案】A

x2x

v2.、2xe-xe-x(x-2)

【解析】由/(x)=j，得/3=.㈤2—=—/一，

当0<x<2时，/'(x)>0,单调递增；

当x<0或x〉2时，/'(x)<0,/(尤)单调递减；

V2

所以当x=0时，函数/(x)=1取得极小值，

极小值为"0)=*=0.

e

故选：A.

【例2】(2021•河南新乡市)已知函数/(工)二111］一。工的图象在％=1处的切线方程为1+»+6=0,则/&)

的极大值为()

A.—In2—1B.—In2+1C.—1D.1

【答案】A

【解析】因为/(x)=lnx-av,所以/''(x)=L-a,

x

又因为函数/(x)在图象在x=l处的切线方程为x+N+b=O,

所以/(1)=一a=-b—1,/'⑴=1—a=-1,解得。=2,b=l.

由/，(幻='一2=匕2，0<x<-,f'(x)>0,x>-,f\x)<0,知/(x)在x=1处取得极大值,

xx222

/、(；)=ln；_l=_ln2_l.故选：A.

【例3】若函数/(x)=e*-ax-/在R上有小于o的极值点，则实数。的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-»,-1)D.(1,+8)

【答案】B

【解析】由f(x)=ex-ax-a2=>r(x)=e、-a

因为/(x)="—ax—1在R上有小于o的极值点，所以/'(x)=e*-。=0有小于0的根，由y=e，的图

像如图：

可知/'(x)=e*-。=0有小于0的根需要0<a<1,所以选择B

Y

【例4】(2022•江西师大附中三模(理))已知函数/(x)=F—sinx,g(x)为/⑴的导函数.

e

(1)判断函数g(x)在区间(og)上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由;

【答案】(1)存在；极小值

【分析】(1)转化为判断导函数是否存在变号零点，对g'(x)求导后，判断g'(x)的单调性，结合零点存在性

定理可得结果；

Xp'v—YPX1—Y

【解析】(1)由/(x)=-7-sinx,可得g(x)=,，八,-一cosx=——cosx,

।，/、—c'—(1—x)evx—2

则ng(x)=-----s------+sinx=——+smx,x

(e)e

令〃(x)=^~~-+sinx,其中4)，可得——+cosx=--^-+cosx>0,

exV2J(ex)e'

所以h(x)在(0目上单调递增，即g'(x)在其)上单调递增,

使得g'(x())=0，

当xe(O,Xo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当xc(xo，/1寸,

g(x)>0,g(x)单调递增,

所以当X=x°时，函数g(x)取得极小值.

【例5】(2022•江苏苏州•模拟预测)函数/(x)=x-sinx-cosx.

⑴求函数/(x)在卜乃司上的极值；

【答案】(1)极大值，1-1;极小值，-1;

【分析】(1)由题可得/'(月=1-应侬[-£|,进而可得：

【解析】(l)：/(x)=x-sinx-cosx,

/[x)=l-cosx+sinx=l-V^co[,xe,肛,

由r(x)=0,可得x=-1,或x=0,

2

xe(―匹―,)，/'(x)>0,/(x)单调递增，xe,/'(x)<0,/(x)单调递减，xe]。,]],八x)>0J(x)单

调递增，

ITTTTT

.♦.》=一5时，函数/*)有极大值/(-5X1-5,x=o时，函数“X)有极小值/(o)=-i；

【题型专练】

1.已知e为自然对数的底数，设函数/(x)=xe、，则

A.1是/(X)的极小值点B.-1是/(x)的极小值点

C.1是/(x)的极大值点D.-1是/(x)的极大值点

【答案】B

【解析】

【详解】

试题分析：f'(x)-tX•X-9t=(l+x)-«x>当/'(xl=0时，X=-1，当x<-1时>/''0，当X>-1

时，/'〈XI>0,所以当x=-l时，函数取得极小值，-1是函数的极小值点，故选B.

考点：导数与极值

2.(2022福建省福建师大附中高二期末多选)定义在灭的函数/(X),已知Xo(x0W0)是它的极大值点，

则以下结论正确的是()

A.-%是/(—x)的一个极大值点

B.一与是—/(X)的一个极小值点

C.%是—/(X)的一个极大值点

D.-%是—/(—x)的一个极小值点

【答案】AD

【解析】玉)(玉)。0)是/6)的极大值点，就是存在正数阴，使得在(X。一私X。)上，f\x)>0,在

(%,%+加)上，f'(x)<0.

设g(x)=/(-x),g'(x)=,

r

当<x<-xQ+加时，xQ-m<-x<xQ,f(-x)>0,g\x)<0,同理-x0-m<x<-x0时,g'(x)>0,

♦••-X。是的一个极大值点，从而一X。是—/(T)的一个极小值点，X。是-/(X)的一个极小值点.不

能判定-%是不是-/(X)的极值点.故选：AD.

3.(2022江西高三期中(文))已知函数/(X)=alnx+ax,g(x)=x2+2x.其中aeR.

(1)求函数人(x)=/(x)+g(x)的极值；

(2)若g(X)的图像在Z(X1,g(xJ),B(X2，g(X2))(X]</<。)处的切线互相垂直，求吃一苦的最小值.

【答案】(1)答案见解析；(2)I.

【解析】

(1)函数力(x)=c/lnx+x2+他+2)x的定义或为(0,+<»),

2(x+l)|x+-I

h\x)=-+2x+(a+2)=-------一〃，

XX

若aNO,"(x)>0恒成立，此时/z(x)在(0,+8)上单调递增，无极值；

若”0时,"(x)=0,解得x=—

2

当0<x<—@时，h\x)<0,//(x)单调递减；

2

当x>-@时，h'(x)>0,A(x)单调递增.

2

当x=-'|■时，"(x)有极小值〃［一=aIn匕-一a,无极大值.

(2)g'(x)=2x+2,则(2再+2)(2々+2)=-1,其中,项</<0,

]

2X1+2<0<2x+2,且X|=-1—1<x<0,

24(%+1)2

・口一*r+1+^1222Tl1r1,

当且仅当/=—ge(—l,0)时取等号，

13

二当々=一］,X［=—5时，—西取最小值1.

题型二：根据极值、极值点求参数的值

【方法总结】

解含参数的极值问题要注意：

①/'(Xo)=°是X。为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；

②若函数歹=/(X)在区间(a,b)内有极值，那么y=/(无)在(*。)内绝不是单调函数，即在某区间

上的单调函数没有极值.

【例0(2022全国课时练习)若函数/(x)=(--ax—的极小值点是x=l,则/(x)的极大值为()

A.-eB.-2e2C.5e-2D.-2

【答案】C

【解析】由题意，函数/(x)=(x?-ax-l)e”,可得/'(x)=+(2-a)x-l-a],

所以/'(1)=(2-2a)e=0,解得。=1,&/(x)=(x2-x-1)ex,

可得八x)=e*(x+2)(x-l),

则/(x)在(-8,-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以/(x)的极大值为/(_2)=5小2.故选：C.

【例2】(202卜全国课时练习)若函数/(x)=x(x-4)2在X=2处取得极小值，贝.

【答案】2

【解析】由/(x)=x(x-a)2=储-2ax2可得/口)=3》2-4公+/,

因为函数/(x)=x(x—op在x=2处取得极小值，

所以/'(2)=12-8a+/=0，解得a=2或a=6,

若a=2,则/'(X)=3X2-8X+4=(X-2)(3X-2),

当时，/'(x)>0,则/(x)单调递增；当时，f\x)<0,则/(x)单调递减：

当xe(2,+8)时，f'(x)>0,则〃x)单调递增；所以函数〃x)在》=2处取得极小值，符合题意；

当a=6时，/'(X)=3X2-24X+36=3(X—2)(X-6),

当xe(-a5,2)时，f\x)>0,则〃x)单调递增；当xe(2,6)时，f(x)<0,则〃x)单调递减；

当xe(6,+8)时，f'(x)>0,则/(x)单调递增；所以函数在x=2处取得极大值，不符合题意；

综上：a=2.

故答案为：2.

【例3】(2022•江苏南通•模拟预测)已知函数/(x)=(x-a)(x-b)e*在x=a处取极小值，且/(x)的极大值

为4,贝1]6=()

A.-1B.2C.-3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

对/(x)求导，由函数/(x)=(x-a)(x-6)e*在x=a处取极小值，所以/(。)=0,所以a=6,

.■./(x)=(x-«)2e\对〃x)求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4,列方程得解.

【详解】

解：〃x)=(x-a)(x-6)e*=(x2-亦-6x+R>)e*,所以

/,(x)=(2x-a-6)er+(x2-ax-bx+ab)ev=ev[^x2+(2-a-b')x+ab-a-b^

因为函数/(x)=(x-a)(x-b)e*在x=a处取极小值，所以

/,(tz)=efl[iz2+(2-a-/>)a+ab-a-b^=ea(a-^=C,所以“=b,.・./(司=(》-0)建工，

/'(x)=e*[x2+(2-2a)x+a2-2o]=et(x-亚x-("2],

令/'(x)=0,得x=a或尸a-2,当xe(-8,。-2)时，/,(x)>0,所以〃x)在(-刃，”2)单调递增，当

xe(a-2,a)时,，(x)<0,所以/(x)在(a-2,a)单调递增，当xe(a,+8)时,〃x)>0,所以/(x)在

(a,+8)单调递增,所以〃x)在尸a-2处有极大值为f(a-2)=4e"2=4,解得a=2,所以b=2.

故选：B

【题型专练】

3

1.设函数/(x)=lnx+ax2-]X,若％=1是函数/(x)是极大值点，则函数/(x)的极小值为

【答案】ln2-2

313

【解析】函数/(x)=Inx+ar2—x=>f\x)=~\-2ax----

2x2

13।

x=l是函数/")是极大值点则/⑴=,+2〃一或=0=>4=1

13113

f(x\=lnx+—x2——x=>fV)=一"I--x----=0x=]或x=2

''42x22

当x=2时/(x)的极小值为ln2—2故答案为：ln2—2

2.(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=Q"-lnx-l,设x=1是/(x)的极值点，则斫—,/(x)

的单调增区间为一.

【答案】-(L+8)

e

【解析】

由题意可得：/'(x)=ae「(

・.・%=1是/(工)的极值点

二.r(l)=ae-1=0

e

即/(x)=e，T—Inx-]=>/,(x)=ex-1--

令/'(x)>0,可得x>l

：.f(x)的单调递增区间为(L+8)

1jr

3.(2023河南省实验中学高二月考)函数y=45足》+-5皿3*在彳=一处有极值，则。的值为()

"33

A.-6B.6C.-2D.2

【答案】D

【解析】y'=acosx+cos3x,由V1/=°得，acos^+cos乃=0,”=2,选D.

33

点睛：函数/(X)在点x=q处由极值，则必有,/''(0)=(),但要注意/'(?)=(),x=2不一定是“X)的极值

点.

题型三：根据极值、极值点求参数的范围

【例1】(2022•四川绵阳•二模(文))若X=2是函数/(可uf+zg-Zb-dalnx的极大值点，则实数a的取

值范围是()

A.(-no,-2)B.(―2,+co)C.(2,+oo)D.(-2,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

求出了'(X),分a<-2,-2<a<0,。=-2分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而

得出答案.

【详解】

/，(x)=2x+2(”2)-竺2.八2("2卜-4、2鼻心),(x>0)

XXX

若“20时，当x>2时，r(x)>0；当0<x<2时，/'(x)<0；

则/(x)在(0,2)上单调递减；在(2,+8)上单调递增.

所以当x=2时，/(x)取得极小值，与条件不符合，故满足题意.

当。<-2时，由/'(x)>0可得0<x<2或x>-a：由/'(x)<0可得2Vx<-4

所以在(0,2)上单调递增；在(2,一。)上单调递减，在(-凡+⑹上单调递增.

所以当x=2时，/(x)取得极大值，满足条件.

当-2<〃<0时，由/'(x)>0可得0<x<-a或x>2；由/'(x)<0可得-"x<2

所以在(0,-a)上单调递增；在2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

所以当x=2时，/(x)取得极小值，不满足条件.

当。=-2时,/'(x)±0在(0,+8)上恒成立，即/(x)在(0,+8)上单调递增.

此时/(x)无极值.

综上所述：a<-2满足条件

故选：A

【例2】(2022・河南•高三阶段练习(文))若函数/(*)=(/+如+2)@在R上无极值，则实数a的取值范围

()

A.(-2,2)B.(-273,2^3)C.[-2行,2君]D.[-2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

求/'(x)=[x2+(a+2)x+a+2)e，，由分析可得夕+(a+2)x+a+220恒成立，利用A40即可求得实数

”的取值范围.

【详解】

由+ax+2)-e"可得

/,(jr)=(2x+6/)-e'+(j?+ax+2>e'=[x)+(a+2)x+a+2]e",

e*>0恒成立，丁=/+(〃+2)X+。+2为开口向上的抛物线，

若函数/(力=卜2+办+2)〃在R上无极值，

则V=x~+(〃+2)x+a+2N。恒成立，所以△=(Q+2)~-4(Q+2)40,

解得：—2<tz<2,

所以实数。的取值范围为[-2,2],

故选：D.

【例3】(2022•全国•高三专题练习)函数f(x)=C--Inx)在(0,1)内有极值，则实数。的取值范围是()

x

A.(-00,e)B.(0,e)C.(e,+oo)D.[e,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】

由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.

【详解】

由/(x)=J-a(x-lnx)得，/,(x)=et(-—l)-a(l--)=0

XXXXXX

因函数/(x)=-—々(％-111%)在(0,1)内有极值，则xe(0』)时、f'(x)=0oa=J有解，

xx

即在X£(O,1)时，函数g(x)=C与直线y=a有公共点，

X

而g，(x)=C(l-_L)<0,即g(x)在(0,1)上单调递减，Vx€(O,l),g(x)>g(l)=e,则a>e,显然在。=纪零点

XXx

左右两侧/‘(X)异号，

所以实数a的取值范围是®4W).

故选：C

【点睛】

结论点睛：可导函数y=f(x)在点xO处取得极值的充要条件是f(xO)=O,且在xO左侧与右侧F(x)的符号不

同.

【例4】(2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测(理))已知函数/")=["2-(4“+l)x+4a+3]e",若

x=2是“X)的极小值点，则实数。的取值范围是()

；,+8

A.B.C.(-8,0)D.(-1,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据导函数的正负，对。分类讨论，判断极值点，即可求解.

【详解】

由/(x)=[a/-(44+1)x+4〃+3]e"得f\x)=(ox-l)(x-2)e",令

f\x)=(ajc-l)(x-2)ev>0=(ax-l)(x-2)>0,

若a<0,贝!|(ax-l)(x-2)>0=1<x<2,此时,在4<x<2单调递增，在x>2,x<'单调递减，这与x=2

aaa

是/(x)的极小值点矛盾，故舍去.

若。=0,可知x=2是〃力的极大值点，故不符合题意.

若1>a>0,(ax-1)(%-2)>0=>x<2,x>—,此时/(x)在x<2,x>1单调递增，在2<x<，单调递减，可

2aaa

知x=2是/(x)的极大值点，故不符合题意.

当,,(ax-l)(x-2)>0=>x>2,x<—,此时/(x)在x>2,x<L单调递增，在2>x>，单调递减，可

知x=2是/(x)的极小值点，符合题意.

若。=；,"X)在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.

综上可知：a>g

故选：B

【例5】(2022•吉林长春•模拟预测(文))已知函数/(x)=ax+sinx,xe(0,兀).

⑴当“=1时，过(0,1)做函数/(X)的切线，求切线方程；

(2)若函数/(x)存在极值，求极值的取值范围.

【答案】(l)y=x+l,(2)(09)

【解析】

【分析】

(1)设切点，再根据导数的几何意义求解即可；

(2)求导分析导函数为0时的情况，设极值点为％得到a=-cosx0,代入极值再构造函数

〃(x)=-xcosx+sinx,求导分析单调性与取值范围即可

⑴

由题，当a=l时，/(x)=x+sinx,/,(x)=l+cosx,

，

设切点为+sinx0),则/(x0)=l+cosx0,

故切线方程为y-Xo-sinx。=(l+cosxo)(x-x()),

又切线过(0,1),故l-厮-sinx0=-x0(l+cosx0),Bpsinx0-x0cosx0-1=0,

设g(x)=sinx-xcosx-l,XG(O,TT),则gf(x)=xsinx>0,

冗

故$皿/-/«^0-1=0有唯一解%=5，

故切点为斜率为1,故切线方程为夕-(彳+1)=,即y=x+l；

⑵

因为尸(x)=a+cosx,xe(0㈤为减函数，故若函数〃x)存在极值，

则/网、)=0在区间x©(0,71)上有唯一零点设为％,

贝！Ja+cosx0=0,即a=-cosxQ,

故极值/(/)=a/+sin/=cosx0+sinx0,

设〃(x)=-xcosx+sinx,X€(0,H),贝Ijh\x)=xsinx>0,

故〃(X)为增函数,故〃(0)<力(%)<力(")，故0<〃(x)<(，即f(Xo)e(O,T),

故极值的取值范围(0，公

【点睛】

本题主要考查了过点的切线问题，同时也考查了利用导数研究函数的极值问题，需要根据题意设极值点,

得到极值点满足的关系，再代入极值构造函数分析，属于难题

【例6】(2022•天津•耀华中学二模)已知函数/(x)=0《+lnx-x(a>O).

X

⑴若4=1,求函数“X)的单调区间；

(2)若/(X)存在两个极小值点看用,求实数。的取值范围.

【答案】⑴递减区间为(0,1),递增区间为0,+8),(2)(0,-)

e

【解析】

【分析】

(1)当。=1时，求得/(x)=(xTX：*x),令Mx)=e'-x,利用导数求得加(x)>0,进而求得函数的单

X

调区间；

(2)求得&、e，(x-l)(4--),令“3=三，结合单调性得到“(x)wL进而得到0<三八,分a/

JW=-------2------eeeee

x

和o<“<1,两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.

e

(1)

解：当。=1时，函数/(x)=±+lnx-x,

x

可得八X)=1午1)+1_1=(X7)CT),

XXX

令〃?(x)=e*-x,xe(0,+oo),可得M(x)=e*-1>0,所以函数机(x)单调递增，

因为zn(x)>〃?(0)=l,所以m(x)>0,

当xe(0,l)时，f^(x)<0,/(x)单调递减；

当xe(l,m)时，/(x)>0,f(x)单调递增，

即函数/(X)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).

(2)

解：由函数f(x)="-+lnx-x,xw(0,+8),

X

X

可得/-1)=上华工R0，

XX

令"X)=W，可得

ee

所以函数"(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以“(x)vL

e

当x>0时，可得e，>l,所以0</4(,

①当时，。一三20,此时当xe(O』)时，/^(x)<0,/(x)单调递减；

ee

当xe(l,+oo)时，严(x)>0,〃x)单调递增，

所以函数“X)的极小值为/6=ae-l,无极大值;

②当0<°<1时，»((?)=—<-^-=a,w(l)=->a,

eeee

又由〃(x)在(a,1)上单调递增，所以"(x)在(a,1)上有唯一的零点为，且含=〃，

因为当1>e时，令g(x)=21nx-x,可得g，(x)=*-l=土三<0,

XX

又因为g(e)=2-e<0,所以g(x)<0,即21nx<x,所以21n1<L

aa

一

IIn-y221n1—]

所以〃(ln-)=—7=a-g-<a,u(\)=->a,

ain-y1e

ea"~

因为u(x)在(l,+8)上单调递减，所以/'C(x)在(O/nJ)上有唯一的零点巧，且竟=a，

所以当xe(0,xJ时，*(x)<0,〃x)单调递减：

当xe(x”l)时，#(x)>0,/(x)单调递增;

当》€(1户2)时，"(x)<0,“X)单调递减；

当工€区,+8)时，/^(x)>0,“X)单调递增，

所以函数/(X)有两个极小值点，故实数a的取值范围为(0一).

e

【题型专练】

1.(2022贵州遵义•高三)若函数/(x)=；d-⑪2+x-5无极值点则实数a的取值范围是()

A.(-1,1)B.[-1,1]

C.(-<x>,-l)U(l,+«)D.(-00,-1]U[!,+»)

【答案】B

【解析】

/(x)=3'-ax2+x-5,

：.f\x)=x2-2ax+1,

1a，

由函数/(x)=]/-or+x-5无极值点知，

/'(x)=0至多1个实数根，

.•.A=(-2a)2-4<0,

解得一iWaW1,

实数。的取值范围是[-1,1],

故选：B

2.(2022湖南湘潭•高三月考(理))已知函数=+有两个极值点，则.的取值范围是()

A.(e,+oo)B.C.(e2,+<x>)D.~,+^

)I2J

【答案】D

【解析】

因为f(x)=ex-ax2+2ax有两个极值点，所以/'(x)=0有两个不同实数根，所以靖一2ax+2a=0有

两个不同实数根，

所以e、=2a(x—1)有两个不同实数根，显然

]y__1y_17—Y

所以元=二7~有两个不同实数根，记g(X)=—7~，g'(x)=17-，

当xe(-oo,2)时g'(x)〉0,当xe(2,+oo)时g'(x)<0,

所以g(x)在(—8,2)上单调递增，在(2,+co)上单调递减，所以g(x)max=g(2)=5，

又因为xe(-oo,l]时，g(x)<0；当xe(O,2)时，；当xe[2,+a>)时，g(x)e[o，i,

所以当]=二有两个不同实数根时,

2ae2a\)

所以2a>e2,所以。>幺，

2

故选：D.

3.若函数〃x)=x2-2x+alnx有两个不同的极值点，则实数。的取值范围是()

1111

A.a>—B.——<a<0C.a<—D.0<a<-

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数〃的取值范围.

【详解】

；/(x)=x2-2x+“lnx有两个不同的极值点，

2xx+a

，f'(x)=2x-2+-=~~~=0在(0,+8)有2个不同的零点，

2x

：.2--2x+a=0在(0,+8)有2个不同的零点,

[A=4—8tz>0i

•••\，解得°<。<彳.

[a>0n2

故选：D.

4.(2020•辽宁高三月考)已知函数/(x)=a%2-2x+lnx有两个不同的极值点芭，％，则。的取值范围

；且不等式/(网)+/伍)〈玉恒成立，则实数/的取值范围.

【答案】fo,~j[-5,+oo)

【解析】

2ax~-2x+l

/'a)=(x>0),

x

因为函数/、(力=62-2x+lnx有两个不同的极值点看,》2,

所以方程2a?-2x+1=0有两个不相等的正实数根，

A=4—8(2>0

于是有：“$+工2=4>0，解得

a2

Xy=-->0

「22a

x-x

/(%】)+/(2)i-々-2xl4-lnXj-2x2+Inx2-x}-x2

2

="(X[+x2)-2X1X2J-3(X1+x2)+ln(x1x2)

21c

=-------11-InZ6f,

a

设〃(a)=-2-1-In2a,(0<Q<；),

2—i

“(0=一■>(),故人伍)在0<。<：上单调递增，

a2

故〃(a)<U=-5,所以4-5.

因此/的取值范围是[-5,+8)

故答案为：^0,—[-5,+oo)

5.(2022•江苏南通・高二期末)若x=a是函数/(x)=(x-a)2(x-l)的极大值点，则。的取值范围是()

A.a<\B.a<\C.a>\D.a>1

【答案】A

【解析】

【分析】

求导后，得导函数的零点。，手，比较两数的大小，分别判断在x="两侧的导数符号，确定函数单调性，

从而确定是否在x=a处取到极大值，即可求得。的范围.

【详解】

W：/(x)=(x-a)2(x-l),XGR

•*-f'(x)=(x-Q)(3X-a-2)

4'/"W=(^-a)(3x-a-2)=0,得：x=a,x=^^

当"誓，即a<l

此时〃x)在区间(-叫。)单调递增，(a,等)上单调递减，(誓，的)上单调递增，符合x=a是函数/(x)的极

大值点，

反之，当。>审，即a>1，此时/(x)在区间(-双营)单调递增，(等⑷上单调递减，(a,”)上单调递增，

x=a是函数/(x)的极小值点，不符合题意;

当。=小，即。=1,/'（幻20恒成立，函数“X）在xeR上单调递增，无极值点.

综上得：a<\.

故选：A.

6.（2020•江苏盐城•高三期中）若函数/（x）=；/+6ing在（1,2）上存在两个极值点，则b（3a+b+9）

的取值范围是.

【答案】P，fl）

【解析】

因为/(x)=+Mnx+ax(x>0),

x2+ax+b

所以f'^x^=x+—+a=

X

设g（x）=工2+QX+6,

因为函数/（X）在（1,2）上存在两个极值点，

所以/'（X）在（1,2）上存在两个零点，

所以g（x）在（1,2）上存在两个零点，设为外多且X尸吃，

所以根据韦达定理有：\,，

|%产2=6

故b(3a+b+9)=b2+3ab+9b

2

=(xt-x2)-3X1•x2(X]+x2)+9x,•x2

2

=(xj-3XJ(X2-3X2),

因为$e(l,2),

由于X]，

2

所以(X；-3X,)(X2-3》21(4号).

故答案为：(4,意].

7.(2018年北京高考题)设函数/(x)=[or2-(3a+l)x+3a+2]e*。

(1)若曲线V=/(x)在点(2,/(2))处的切线斜率为0,求

(2)讨论/(x)的单调性，若/(x)在x=l处取得极小值，求“的取值范围。

【解析】：(1)/(x)=ex[ax2-(a+l)x+1],v/(2)=0,得a=；；

(2)/(x)=ex[ax2-(a+l)x+1]=ex(ax--1).

①当a=0时，导数为一次函数型，当xe(-oo,l)时，/(x)单调递增，当xe(l,+8)时，/(x)单调递减。

/(I)是极大值；

②当。>0时，开口向上，两根分别为,，1；两根大小不确定，

a

i.当a>l时，1>),当8,；|，(L+⑹时，/(x)单调递增，当xe/,1卜寸，/(x)单调递减，/⑴

是极小值；

ii.当a=l时，/(x)单调递增，无极值；

iii.当0<a<l时，1<,，当xe(-8,1),时，/(x)单调递增，当时，/(x)单调递

减，/⑴是极大值；

③当a<0时，开口向下，1>工，当：，(1,+8)时・，/(x)单调递减，当时•，/(x)单

a\a)\a)

调递增，/(I)是极大值；综上可知。>1。

题型四：利用导数求函数的最值(不含参)

【方法总结】

导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数/（X）在［见句上连续，在（。,6）内可导，求/（X）在

［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数歹=/（X）在（a,6）内的极值；

②将函数y=/（x））的各极值与端点处的函数值/（a）,/伍）比较，其中最大的一个为最大值，最小

的一个为最小值.

X

【例1】（2022江苏单元测试）函数夕=三在［0,2］上的最大值是（）

e

121

A.—B.—rC.0D.--7=

ee22je

【答案】A

y1-y-

【解析】由f（x）=三,得/（x）=「一,

ee

当04x<l时，f'（x）>0,当1<XW2时，/（x）<0,

所以f（x）在［0,1）上递增,在以2］上递减,

所以“X）2=/（1）=L故选：A

e

Inx

【例2】（2022全国课时练习）函数y=一乙的最大值为（）

x

A.e~lB.eC.e2D.10

【答案】A

【解析】令1=lTnx.=0=x=e.当x>e时，/<0

；当0cx<e时，/>0

x~

1

所以函数得极大值为e-，因为在定义域内只有一个极值，所以乂1m故选：A.

【例3】函数y=x+sinx在［0,4］上的最大值为（）

A.—I-1B.itC.n-\D.万+1

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用导数研究V=x+sinx的单调性，进而求其最大值.

【详解】

由题意，在［0,句上y'=l+cosx20,即，=x+sinx单调递增，

♦,•”咏="+sin万=万・

故选：B

【例4】(2020•北京高三期中)已知函数/(x)=e*(2x2—3x)

(1)求不等式/(x)〉0的解集：

(2)求函数/(x)在区间［0,2］上的最大值和最小值.

【答案】(1){x［x<0或(2)最小值-e,最大值2e?.

【解析】

(1)因为e">0，

由/")=d(2——3x)>0,得2工2_3%>0.

_、3

所以x<0或x>—.

2

所以不等式/(X)>0的解集为{x|X<0或X>*；

x2x

(2)由〃力=0*(2/一3x)得:f\x)=e(2x+x-3)=e(2x+3)(x-1).

3

令/'(x)=0，得x=l,或光=一5(舍).

/(x)与/'(x)在区间［0,2］上的情况如下：

X0(0,1)1(1,2)2

/'(X)——0+

/(x)0减-e增2e2

所以当x=l时，/(x)取得最小值/、(l)=-e；

当x=2时，/(x)取得最大值/(2)=2e2.

【例5】(2022•全国•高三专题练习)函数/(x)=的最小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】

先证明出e'2/+1成立，对原函数进行同构构造后直接求解.

【详解】

记》=e'-t-\.

因为y'=e'-l.令y'>0,解得：r>0；令y'<0,解得：/<0；

所以歹=占一£一1在(-%0)上单减，在(0,+。)上单增，所以几而=5-0-1=0.

所以y=e'-f-lN0,即e'2/+l.

所以/(x)=xe'Tnx=e''"'-InXzX+lnx+In、,当且仅当x+lnx=0时等号成立.

x+1x+lX+1

记g(x)=x+lnx,(x〉o).

因为N=%在(0,+。)上单增，V=lnx在(0,+8)上单增，所以g(x)=x+lnx在(0,+功上单增.

Xg|—|=-+ln-=--1<0,g(l)=14-lnl=l>0,

Ve)eee

所以g(x)=x+lnx有且只有一个实根.

而存在唯---个/£(0,1)使得8(%)=%+仙%0=0.

即存在唯一一个/«0,1)使得/(x0)=l.

所以函数/(x)=xe：：：x的最小值为1

故答案为：1

【题型专练】

1.(2022•河南郑州•三模(文))〃x)=e，-x在区间［-1,1］上的最小值是()

A.1H—B.1C.e+1D.e-1

【答案】B

【解析】

【分析】

求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值.

【详解】

因为"x)=e、-x,所以=令/&)=0,解得x=0,

所以当x<0时，/(%)<0,函数/(x)=e'-x单调递减，当>0时，/(%)>0,函数/(x)=/-x单调递增,

所以函数/(x)=e*-x在［-1』上的最小值为/(0)=e0-0=l,

故选：B.

2.(2022・全国•高三专题练习)函数y=(x+l)eTxe［-3,4］的最大值为()

A.2e~2B.5esC.4e5D.-e''

【答案】B

【解析】

【分析】

先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值

【详解】

解：由y=