2020-2021学年湖北省武汉一中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年湖北省武汉一中九年级第一学期期末数学试卷

一、单项选择题（共io小题）.

1.一元二次方程N=3X的解为（）

A.x=QB.%=3C.x=0或％=3D.x=0且x=3

2.下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）

露

3.把抛物线y=-3尤2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物

线的解析式为（）

A.-3（x-2）2-3B.y=-3（x+2）2-3

C.y=-3（尤-3）2+2D.y=-3（x-3）2-2

4.平面直角坐标系内与点尸（-2,3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（3,-2）B.（2,3）C.（2,-3）D.（-3,-3）

5.已知。。的半径为5c",圆心。到直线/的距离为3&C",则直线/与。。的位置关系

为（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

6.若关于元的一元二次方程依2一31+1=0有实数根，则上的取值范围为（）

qqqq

A.k^—~B.我《丁日.左WOC.左<-7■且左WOD.A<—

4444

7.有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人

传染了尤个人，则无满足的方程是（）

A.（1+x）2=242B.（2+无）2=242

C.2（1+无）2=242D.（1+2尤）2=242

8.如图，。。是△ABC的外接圆，半径为3cm,若BC=3cm,则NA的度数为（)

o

A.30°B.25°C.15°D.10°

9.如图，四边形ABC。中，ZBAD=ZC=90°,AB=AD9AE±BC,垂足是E,若线段

10.抛物线y=〃x2+bx+c对称轴为1=1,与1轴的负半轴的交点坐标是(xi,0),且-IV

xi<0,它的部分图象如图所示，有下列结论：

@abc<0；@b2-4〃c>0；③9a+3Z?+cV0；④3〃+cV0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(每小题3分)

11.函数y二匠］中，自变量x的取值范围是

12.一个扇形的圆心角为60°,它所对的弧长为则这个扇形的半径为cm.

13.若关于x的方程无2+2蛆+〃=0的一个根为2,则代数式4m+n的值为.

14.如图，PA、尸8分别与。。相切于点A、B,直线EF与相切于点C,分别交PA、

PB于E、F,且PA=4«cm,则的周长为cm.

15.已知OO的直径A8=10,C£)是。。的弦，CD±AB,垂足为点P,且C£)=6,则AP

的长为.

16.在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐

标系，抛物线解析式为>=办2,水面宽AB=6〃z,AB与y轴交于点C,0C=3m,当水面

上升1小时，水面宽为m.

17.如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形042C绕点。逆时针旋转45°

后，得到正方形O4B1C1；第2次将正方形。4由1口绕点。逆时针旋转45°后，得到正

方形。4222c2；…；按此规律，绕点。旋转得到正方形。42020&020C2020,则点跳020的坐

标为•

三、解答题(本题共7道大题，共69分)

18.计算：(3--月)°+lV2■

19.(1)请你用公式法解方程：2N-4x-1=0；

(2)请你用因式分解法解方程：尤2-3X+2=0.

20.已知一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球.

（1）求从袋中任意摸出一个球是红球的概率.

9

（2）若要使摸到红球的概率为仔，则需要在这个口袋中再放入多少个红球？

O

21.如图，在△ABC中，NC=90°,点。在边A8上，点。在边上，以0A为半径的

O。经过点。，交于点E,连接A。，且平分NA4C.

（1）求证：8C是。。的切线；

（2）若/A4c=60°,。。的半径为2,求阴影部分的面积.

22.某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千

克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克.

（1）请你直接写出日销售利润y（元）与售价x（元/千克）之间的函数关系式.

（2）若每日销售利润达到800元，售价应定为多少元？

（3）当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元.

23.综合与实践

在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学

活动，探究线段长度的有关问题.

动手操作：

第一步：在图1中，测得三角形纸片A8C中，NACB=60°,BC<AC.

第二步：将图1中的AABC纸片折叠，使点B落在边AC上的点E处，然后展平，得到

折痕8,连接BE、DE,如图2.

解决问题：

请根据图2完成下列问题：

（1）BDDE（请正确选择“>"、"="、中的一个）；

（2）试判断ABCE的形状，并给予证明.

拓展探究：

(3)将图2中的纸片△BCE剪下来，在△BCE内选一点F,连接8尸、EF,BF=EF=^2,

NBFE=90°,如图3.

①将△EF8绕点E顺时针旋转60°得到△EMN,连接请你直接写出线段BM的长;

②将①中的△£射绕点E顺时针旋转360。的过程中，请你直接写出线段长的取值

范围.

24.综合与探究

如图，已知点8(3,0)、C(0,-3),经过8、C两点的抛物线y=N-6x+c与x轴

的另一个交点为

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，当△AC。的周长最小时，求点。的坐标；

(3)已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作E/〃y轴交线段BC于点尸，连接EC,

若点E(2,-3),请直接写出△PEC的面积.

(4)在(3)的条件下，在坐标平面内是否存在点P,使以点A、B、E、尸为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、单项选择题（共10小题）.

1.一元二次方程N=3x的解为（）

A.尤=0B.x=3C.x=0或x=3D.x=0且x=3

解：方程移项得：X2-3x=0,

分解因式得：x（x-3）=0,

解得：x=0或x=3,

故选：C.

2.下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）

解：4；此图形旋转180。后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称

图形，故此选项错误；

2、：此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形,

故此选项错误；

C、此图形旋转180。后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图

形，故此选项正确；

。、：此图形旋转180。后不能与原图形重合，.•.此图形不是中心对称图形，是轴对称图

形，故此选项错误.

故选：C.

3.把抛物线y=-3N先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物

线的解析式为（）

A.y=-3(x-2)2-3B.y=-3(尤+2)2-3

C.y=-3(尤-3)2+2D.y=-3(x-3)2-2

解：将抛物线y=-3N向左平移2个单位所得直线解析式为：y=-3(x+2)2；

再向下平移3个单位为：y=-3(x+1)2-3,即y—-3(尤+2)2-3.

故选：B.

4.平面直角坐标系内与点尸(-2,3)关于原点对称的点的坐标是()

A.(3,-2)B.(2,3)C.(2,-3)D.(-3,-3)

解：由题意，得

点P(-2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,-3),

故选：C.

5.已知的半径为552,圆心。到直线/的距离为则直线/与的位置关系

为()

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

解：：圆心到直线的距离为3&CH7,。。的半径为55，

5>3加，

...直线和圆相交.

故选：A.

6.若关于x的一元二次方程区2-3x+l=0有实数根，则人的取值范围为()

Q.Q9,Q

A.B.&<三且左WOC.■且左#0D.

4444

解：；关于%的一元二次方程依2-3尤+1=0有实数根，

.(,，

"[△=(-3)2-4XkX1>0'

Q

且kWO.

4

故选：B.

7.有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人

传染了无个人，则无满足的方程是()

A.(1+x)2=242B.(2+无)2=242

C.2(1+x)2=242D.(1+2%)2=242

解：依题意得：2(1+x)2=242.

故选：C.

8.如图，。0是△ABC的外接圆，半径为3c如若5C=3s,则NA的度数为（）

A.30°B.25C.15°D.10°

解：如图，连接05,OC,

根据题意可知：

OB=OC=BC=3,

・・・△05。是等边三角形，

：.ZBOC=60°,

-30°.

故选：A.

9.如图，四边形A8CZ）中，ZBAD=ZC=90°,AB=AD9AE.LBC,垂足是若线段

解：过A点作AbLCQ交CQ的延长线于尸点，如图,

VAE±BC,AF_LCF,

：.ZAEC=ZCFA=90°,

而NC=90°,

四边形AECF为矩形，

.-.Z2+Z3=90°,

又•.•/BA£»=90°,

.\Z1=Z3,

在△ABE和△AD/中，

fZl=Z3

<NAEB=NAFD,

,AB=AD

AABE^AADF(AAS),

••A£"—A/^=4jS&ABE=SMDF,

四边形AECF是边长为4的正方形,

••S四边jgABc®=S正方形AECF=41=16,

10.抛物线y=aN+bx+c对称轴为苫=1,与无轴的负半轴的交点坐标是（尤i,0）,且-1<

xi<0,它的部分图象如图所示，有下列结论：

@abc<0；@b2-4ac>0；③9a+36+c<0；④3a+c<0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（无2,0）且2<&<3；

①函数对称轴在y轴右侧，则漏<0,而c>0,故abc<0,

故①正确；

②抛物线与无轴有2个交点,

/.b1-4〃c>0,

故②正确；

③：尤=3时，y<0,

9〃+3b+cV0,

故③正确；

④\9x=-1,即/?=-2〃，

2a

而x=-1时，y=0,即〃-b+c=Of

・・〃+2〃+c~~0>

3〃+c=0,

故④正确；

故选：D.

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11.函数了二库中，自变量x的取值范围是且xW2.

解：根据题意得，1-120且％-2老0,

解得工21且％W2.

故答案为：且1W2.

12.一个扇形的圆心角为60°,它所对的弧长为2伍利，则这个扇形的半径为6cm.

解：由扇形的圆心角为60°,它所对的弧长为2Tlz7W,

即〃=60°，/=如,

根据弧长公式/=嚅5

ioU

60兀r

得2TI=

180

即r=6cm.

故答案为：6.

13.若关于x的方程/+23+几=0的一个根为2,则代数式4加+〃的值为-4

解：把x=2代入方程x2+2mx+n=0得4+4m+n=0,

所以4m+n=-4.

故答案为-4.

14.如图，PA,尸5分别与。0相切于点A、B,直线即与。。相切于点G分别交尸4

PB于E、F,且则的周长为8依cm.

解：•••PA、尸8分别与。。相切于点A、B,

：.PA=PB,

•.•直线EF与OO相切于点C,

：.EA=EC,FC=FB,

：.AP£F的周长=PE+EF+PF=PE+EC+CF+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA=2X

473=873(cm).

故答案为8日.

15.已知。。的直径AB=10,CO是。。的弦，COLA3,垂足为点P,且8=6,则AP

的长为9或1.

解：分两种情况：

①当点尸在。2上时，连接0C,如图所示：

的直径48=10,弦COLA8于P,

；.OC=OA=OB=5,CP=DP=*D=3,

OP=7OC2-CP2=V52-32=41

；.AP=OA+OP=5+4=9；

②当点P在。4上时，

同①得：。尸=4,

：.AP=OA-0P=5-4=1；

综上所述，AP的长为9或1,

故答案为：9或1.

16.在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐

标系，抛物线解析式为水面宽AB=6A5与y轴交于点C,0C=3m,当水面

上升1m时，水面宽为2遍m.

>4

解：AB=6m,OC=3m,

・••点B坐标为(3,-3),

将8(3,-3)代入得：

-3=«X32,

・,・_〃=-1-，

O

尸-^-x2.

O

二・当水面上升1根时，即纵坐标y=-2时，有：

1

021

-2=--oX,

...N=6,

・,.xi=-正，

二・水面宽为：-(-(加).

故答案为：276.

17.如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形0ABe绕点。逆时针旋转45°

后，得到正方形04B1C1；第2次将正方形04SC1绕点。逆时针旋转45°后，得到正

方形。4282c2；…；按此规律，绕点。旋转得到正方形。42020&020。2020,则点&020的坐

标为(-1,-1).

解：,四边形OA8C是正方形，且。4=1,

：.B(1,1),

连接08,05,OB2,0Bb,。&…，

由勾股定理得：OB=M，

由旋转得：。5=。51=。&=。83=~=如，

:将正方形OA8C绕点。逆时针旋转45°后得到正方形O4B1G,

相当于将线段0B绕点0逆时针旋转45°,依次得到/A0B=/BOBi二NBIOB2=,一

45°,

/.Bi(0,扬，&(-1,1),&(-&,0),&(-1,-1),­

发现是8次一循环，所以2020+8=252…余4,

二・点B2020的坐标为(-1,1),

故答案为(-1，-1).

三、解答题(本题共7道大题，共69分)

18.计算：2一1+，百互-(3-^|.

解：2-(3-^/3)°+|^2

g+4-1+互总

=3+&.

19.(1)请你用公式法解方程：2x2-4x-1=0；

(2)请你用因式分解法解方程：N-3X+2=0.

解：(1)V2x2-4x-1=0,

.*.61=2,b=-4,c=-1,

•••△=16+8=24,

.-b±Vb2-4ac_4±^/24_2±V6

2a42

2-H/6-r2-娓

X\=­1—或X2=—1—

22

(2)Vx2-3x+2=0,

(x-1)(x-2)=0,

Ax-1=0或x-2=0,

••X1――1或iX2~~2.

20.已知一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球.

(1)求从袋中任意摸出一个球是红球的概率.

(2)若要使摸到红球的概率为件，则需要在这个口袋中再放入多少个红球？

O

解：(1),袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球，共有18个球,

.•.任意摸出一球，摸到红球的概率是义=春；

186

(2)设需要在这个口袋中再放入x个红球，根据题意得：

3+x_2

18+x~~3'

解得：尤=27,

经检验x=27是原方程的解，

答：需要在这个口袋中再放入27个红球.

21.如图，在△ABC中，/C=90°,点。在边上，点。在边BC上，以。1为半径的

O。经过点。，交A8于点E,连接A。，且A£＞平分/BAC.

(1)求证：8C是。。的切线；

(2)若NBAC=60°,。。的半径为2,求阴影部分的面积.

D

,.・A。平分NR4C,

・・・ZBAD=ZDAC,

9

：AO=DOf

：.ZBAD=ZADOf

：.ZCAD=ZADOf

J.AC//OD,

VZACD=90°,

・•・OD±BC,

・・・BC与。0相切；

(2)•：ZC=90°,ZBAC=60°,

：.ZB=30°,ZDOE=60°,

又二OD=2,

:・BD=2M，

**•阴影部分的面积=S^0%)-S扇形

1八60兀X4

=­XBD*D360

=yX273X2-^

乙O

=2愿吁

22.某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千

克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克.

（1）请你直接写出日销售利润y（元）与售价x（元/千克）之间的函数关系式.

（2）若每日销售利润达到800元，售价应定为多少元？

（3）当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元.

解：（1）由题意得：

y=（x-40）[50-1X（x-50）]

=（x-40）（100-x）

=-N+140X-4000,

日销售利润y（元）与售价x（元/千克）之间的函数关系式为y=-N+140X-4000.

（2）当y=800时，-N+140x-4000=800,

解得尤1=60,尤2=80.

售价应定为60元或80元.

（3）y=-x2+140x-4000

=-（x-70）2+900,

-1<0,抛物线开口向下，

当尤=70时，y最大值=900,

•••当售价定为70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元.

23.综合与实践

在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学

活动，探究线段长度的有关问题.

动手操作：

第一步：在图1中，测得三角形纸片ABC中，ZACB=60°,BC<AC.

第二步：将图1中的△ABC纸片折叠，使点B落在边AC上的点E处，然后展平，得到

折痕CD,连接BE、DE,如图2.

解决问题：

请根据图2完成下列问题：

（1）BD=DE（请正确选择“>"、“="、中的一个）；

（2）试判断ABCE的形状，并给予证明.

拓展探究：

(3)将图2中的纸片△BCE剪下来，在△8CE内选一点F,连接8只EF,BF=EF=^2,

NBFE=90°,如图3.

①将△EEB绕点E顺时针旋转60°得到△EMN,连接请你直接写出线段BM的长;

②将①中的△£射绕点E顺时针旋转360。的过程中，请你直接写出线段长的取值

范围.

：.BD=DE,

故答案为：—;

(2)△A8C是等边三角形，

理由如下：•..将△ABC纸片折叠，

：.BC=CE,

又•.•/ACB=60°,

.•.△BCE是等边三角形；

(3)如图3,连接8N,延长BM交EN与H,

:.BE=MEF=2,

\•将△E/1绕点E顺时针旋转60°得到△EMN,

:.EN=EB=2,ZNEB=60°,NM=BF=EM=EF,

.•.△NEB是等边三角形,

:.BN=BE,

又,：MN=ME,

：.BM是NE的垂直平分线，

：.BH±NE,NH=HE=\,

BH=^BE?-HE*"4-I=F，

■:/MEN=/MNE=45°,

：.ZHEM=ZHME=45°,

：.HE=HM=1,

：.MB=43-1;

②：将①中的绕点E顺时针旋转360°,

...点M在以E为圆心，EF为半径的圆上，

，当点M在线段BE上时，BM有最小值为BE-EM=2-