2024届辽宁省锦州市高三上学期期末考数学试题及答案

2023~2024学年度第一学期期末考试高三数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号：答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.､一选择题：本题共小题，每小题分，共8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.U2,3，集合）A2,2,B2,1，则ðAB（U1.设全集A.3B.3C.3D.012.复数在复平面内对应的点位于（）z1i5A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限ab3,ab3,7，则ab（3.已知向量a,b满足）A.-12B.-20C.12D.204.《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，它标志着中国古代数学体系的形成.其中记载了这样一个数学问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰“我羊食半马.”马主曰“我马食半牛.”今欲衰偿之，问牛主出几何.意思是：牛､马､羊吃了别人的禾苗，苗主人要求三牲畜的主人共赔偿他五斗粟，羊的主人说：“我的羊吃了马一半的量.”马的主人说：“我的马吃了牛一半的量.”现在若依据三牲畜吃苗的量按比例赔偿苗主，牛主应偿还（）粟？（1斗=10升）1246A.1斗7升B.1斗4升C.2斗升8D.2斗升7777，则下列说法错误的是（XN,25.若随机变量）yA.X的密度曲线与轴只有一个交点xB.X的密度曲线关于对称2P(X)P(X)C.XD.若YEYDY1，则6.若abmcR，则下列结论一定正确的是（）bcac22ba22B.D.A.bcacbabmambaC.7.已知F是抛物线C:y4x的焦点，过F的直线与C交于,B两点，过A作准线l的垂线，垂足为P.若2线段的垂直平分线与准线l交于点，点到直线的距离为，则当QQdAB4d时，直线的方程为（）A.x3y10或x3y10x2y10或x2y102xy20或2xy20xy10或xy10B.C.D.128.已知函数的定义域为，且，当fxRfx1fxf1,fxfxf0x时，118fx2x，则f（）299891D.A.B.C.218､二多选题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（）A.162B.242C.422D.562π3fx2x10.关于函数xR有下列命题，其中正确的是（）π,0yfx的图像关于点A.对称6ππ123yfx在区间,B.上是单调递减函数π52yfx0),4C.若在区间上恰有两个零点，则的取值范围为3πyfx的图像关于直线xD.对称6ABCDABCD中，M为11.如图，棱长为2的正方体线Γ.下列结论正确的有（N的中点，动点在平面ABCD内的轨迹为曲11111）1NA.当B.当动点N到直线C.当直线与平面ABCD所成的角为60时，Γ是抛物线时，Γ是一个点DD1,BBΓ的距离之和为22时，是椭圆1D.当直线与平面1A所成的角为60时，Γ是双曲线1x24x5,x0efx12.已知函数x，若关于的方程fx有四个不同的解kx,x,x,x且41123x,x0xxxxxxxxx，则的可能取值为（）12341234A.e4B.2e47ln2C.D.e5､三填空题：本题共小题，每小题分，共4520分.13.已知事件A与事件B互斥，如果PAPB0.3，那么PAB__________.12sinsincosyx3在x1处的切线的倾斜角为，则__________.14.曲线3xx22y222c(c0)，已知点Aa,0,Bb，点0到直线ab0)的焦距为的距15.双曲线ab40到直线dd的距离为，且1d2c，则双曲线离心率的取值范围为__________.离为，点12516.已知矩形ABCD,AB25,AD45,AE垂直于点E,CF垂直于点，将矩形FABCD沿对角线折起，使异面直线AE,CF成60角，若,B,C,DOO四点都在球的表面上，则球的半径为__________，此时,C两点间距离为__________.（第一空2分，第二空3分）､四解答题：本题共小题，共670分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..､17.（本题满分10分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB2ADPAPA1.平面ABCD,E为中点，且（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面PCD所成角的余弦值.18.（本题满分12分）的前项和，*0，且__________.S已知为数列an3Snn2anN,ann1113a,a3成等比数列；③S123a,,a从①成等差数列；②这三个条件中任选一个补充在上面的横线1244上，并解答下列问题.（1）求数列的通项公式；anan,为偶数bn的前2n1项的和2n1b求数列（2）记.na,为奇数3n注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.19.（本题满分12分）b在ABC中，内角,B,C所对的边分别为a,b,c，其外接圆半径为4，sinAsinC1.1cosB（1）求cosB；（2）求ABC的面积.20.（本题满分12分）为不断提升社区服务质量，某物业公司监察部门对其服务的甲､乙两个社区开展“服务满意度大调查”，随机对两社区多名业主发放调查问卷，对物业公司服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中40,50为非常不满意，60为不满意，70为一般，70,80为基本满意，80,90为满意，90,100为非常满意.（1）求乙社区调查结果图中的值并估计乙社区调查结果的分位数（精确到0.01）；a（2）已知调查问卷中有来自甲社区业主.①若在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取一份，请估计这份问卷恰好来自甲社区业主的概率；②为了解业主对物业公司服务的具体意见，在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取70份进行细致分析，求这70份问卷中来自甲社区业主的问卷份数X的期望.21.（本题满分12分）EXx22y222已知椭圆E:ab0)的短轴长为4，离心率为.直线l:xty2与椭圆交于P,Q两点，ab2点不在直线上，直线与x4交于点B.A3,2l（1）求椭圆E的方程；（2）求直线的斜率.22.（本题满分12分）fxxxa的最小值为0，其中a0已知函数.a（1）求的值；fx（2）若对任意的x，有2k成立，求实数的最小值；n2ln(2n2nN.*（3）证明：i1i12023~2024学年度第一学期期末考试高三数学（参考答案及评分标准）､一选择题：本题共小题，每小题分，共8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-8CDACBDAB､二多选题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.CD10.ABC11.AD12.ABD､三填空题：本题共小题，每小题分，共4520分.35515,513.14.16.5，2或221（第一空2分，第二空3分）2､四解答题：本题共小题，共670分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..､17.（本题满分10分）（1）证明：连接，交AC所以∥O于点，连接O，因为为中点，为中点，E又因为EO平面ACE,PB平面，所以∥平面.（2）解：如图，以A为坐标原点，分别以AB,，xyz的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，A0,0,0,C0,B2,0,0,P0,1,D0111122E,,,,1,1，则22nPDyz0x,y,z，则设平面PCD的法向量为n，nPC2xyz0令y1，得n.π2所成角为，且设直线与平面，11n13，292sinBE,n所以n2222所以1sin，322即直线与平面PCD所成角的余弦值为18.（本题满分12分）.33Sa2a,nN*，当n2时，3Sn12a，1解：（1）由nn1n1n1aaa两式相减得n1，即a，nn2n11所以数列为等比数列，公比为.an21a,,a选①，由成等差数列，214112112aa2aa，解得a1，可得，即1211142n1n11所以an1122a,aaaaa22选②由成等比数列，得，123132211a1，解得a1，1即aa11122n1n11所以an112231a1123a11选③，由S3，得，1241n1n11所以an1122n（2）当为奇数时，n1n11212nlog3an3n1233记前2n1项的和2n1T中的奇数项之和为，奇,n12n奇b1352n10242n2log32nn12332n1n111n当为偶数时，b，2n2记前2n1项和2n1中的偶数项之和为，T偶n1111113122252n124121n12Tbbbb1偶2462n3414n21故Tnn1212n133419.（本题满分12分）bB1B解：（1）因为4且外接圆半径为1，根据正弦定理得4，1BsinB21B，即cosB)BB1，即21B1cosB1cosB，2代入sin22Bπ，则cosB，所以1cosB0，由于341cosB1cosB，解得cosB则.5ac（2）因为sinAsinC1，根据正弦定理得sinAsinC1，22即ac3485由（1）知cosB，所以sinB，所以bB，551616由余弦定理得b2a2c22cosB(ac)2ac4ac，559解得.19所以SABCacsinB25020.（本题满分12分）解：（1）由频率之和为1得：0.004a0.0180.0220.0220.028101，解得：a0.00680,90这组的频率为：0.0221090,100这组的频率为：0.018100.18，0.18180%,0.180.22180%，故分位数在80,90组，设x分位数为，0.02290x0.18180%，解得x则故分位数为89.09（2）①任抽一份问卷，是来自甲社区业主的问卷记作事件A，问卷评分不足60分记作事件B.根据题意可知：P()P(A)P(∣)P(∣A)0.10所以∣PPAPBA0.750.060.04P(AB)P(A)P(∣A)0.250.100.025，所以，P(B)P(AB)P(AB)0.0450.0250.07，所以，从不足60分的问卷中抽取一份，该份问卷是来自甲社区业主问卷的概率为PABPB0.0459P∣B0.07149XB②70份评分不足60分的调查问卷中来自甲社区业主的问卷份数，149EX4570所以1421.（本题满分12分）解：（1）因为椭圆的短轴长为4，所以bb2，2c2，又a2b2c2因为离心率为，所以e，2a2所以ca22，x2y2所以椭圆E的方程18422xy1（2）设，联立8，可得t22yty40，2Px,y,Qx,y41122xty224tΔ(4t)24t22320，t4t2yy,yy122，122t21因为不在直线上，所以3t2，即t，A3,2l212131213y2x8y2x3，令，则y211则直线方程为：x4，131312x81因为直线与x4交于点，所以BB，y2x8y21131t121214tyyyy，1所以kQB142ytyy22212t414yy,yy代入，可得k2，将212212221t2t所以直线的斜率为2.22.（本题满分12分）1xaxa1xafx,(xa)1解：（1）由得0fxx1aa，在上单调递增；1a,所以x1a时fxfx在上单调递减，a,1aax1a时，fxfxf(x)f