湖南省郴州市第十二中学高三数学理知识点试题含解析

湖南省郴州市第十二中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中

项,,则等于

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(

)参考答案：C3.若复数满足，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C，故选C.4.设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知函数f（x）=4x3﹣ax+1存在n（n∈N）个零点对应的实数a构成的集合记为A（n），则（）A．A（0）=（﹣∞，3] B．A（1）={2} C．A（2）=（3，+∞） D．A（3）=（3，+∞）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=0得出a=4x2+，令h（x）=4x2+，判断h（x）的单调性，作出h（x）的函数图象，利用函数图象判断方程h（x）=a的解的个数，从而得出A（n）．【解答】解：令f（x）=0得a=4x2+，∴当f（x）有n个零点时，方程a=4x2+有n个不同的解．设h（x）=4x2+，则h′（x）=8x﹣=，∴当x＞时，h′（x）＞0，当x＜0或0时，h′（x）＜0．作出h（x）=4x2+的大致函数图象如下：由图象可知当a＜3时，h（x）=a只有一解，当a=3时，h（x）=a有两解，当a＞3时，h（x）=a有三解．∴A（0）=?，A（1）=（﹣∞，3），A（2）={3}，A（3）=（3，+∞）．故选D．6.某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（

）

参考答案：D7.观察下列各式：，则（

）（A）28

（B）76

（C）123

（D）199参考答案：C8.是虚数单位，复数满足，则A.或

B.2或5

C.

D.5参考答案：C1.因为，所以，解得，所以，故选C.9.设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，则a的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：A10.下列函数中周期是2的函数是

（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小正周期T=．参考答案：π考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用二阶矩阵化简函数式f（x），再把函数y=f（x）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．解答：解：函数=（sinx+cosx）（﹣sinx+cosx）﹣2sinxcos（π﹣x）=cos2x+sin2x=sin（2x+），它的最小正周期是：T==π．故答案为：π点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．12.若存在正数x使ex（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是．参考答案：a＞﹣1考点：特称命题．专题：函数的性质及应用．分析：由不等式将参数a进行分离，利用函数的单调性进行求解．解答：解：由ex（x﹣a）＜1，得x?ex﹣a?ex＜1，∴a＞x﹣，设f（x）=x﹣，则f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=﹣1，∴若存在正数x，使ex（x﹣a）＜1成立，则a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．点评：本题主要考查函数的单调性的应用，将参数分离是解决本题的关键，利用函数的单调性是本题的突破点，考查学生的转化能力，综合性较强．13..已知数列{an}为等差数列，若，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为________．参考答案：略14.已知=．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知条件推导出向量3，4，5构成一个封闭的三角形ABC，根据勾股定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，由此能求出结果．【解答】解：∵||=||=||=1，设向量，，分别是向量3，4，5的单位向量，3+4+5=0，∴向量3，4，5构成一个封闭的三角形ABC，向量=3，=5，=4，根据勾股定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，cos＜＞=﹣，∴⊥，∴=0，∴===||?||?cos＜＞=1×1×（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，解题时要认真审题，合理地构造三角形，用勾股定理解题是关键步骤．15.参考答案：16.从1,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=

．参考答案：17.与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________。参考答案：、三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数（I）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）若对均有成立，求实数的取值范围。参考答案：解析：由题意（I）当时。由得，解得，函数的单调增区间是；由得，解得，函数的单调减区间是当时，函数有极小值为（2）当时，由于，均有，即恒成立，，由（I）知函数极小值即为最小值，，解得19.如图，是圆柱的上、下底面圆的直径，是边长为2的正方形，是底面圆周上不同于两点的一点，.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.参考答案：证明：(1)由圆柱性质知：平面，又平面，∴，又是底面圆的直径，是底面圆周上不同于两点的一点，∴，又，平面，∴平面.(2)解法1：过作，垂足为，由圆柱性质知平面平面，∴平面，又过作，垂足为，连接，则即为所求的二面角的平面角的补角，，易得，，，∴，由(1)知，∴，∴，∴，∴所求的二面角的余弦值为.解法2：过在平面作，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，，∴，∴，，，∴，，平面的法向量为，设平面的法向量为，，即，取，∴，∴所求的二面角的余弦值为.解法3：如图，以为原点，分别为轴，轴，圆柱过点的母线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，，设是平面的一个法向量，则，，即，令，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，，即，令，则，.∴，，∴，∴所求的二面角的余弦值为.解法4：由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系：∵，，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，∴，，即，，，取，∴.∴所求的二面角的余弦值为.20.（14分）设数列的前项和为，对一切，点都在函数

的图象上．（Ⅰ）求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；（Ⅲ）设为数列的前项积，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：解析：（Ⅰ）因为点在函数的图象上，故，所以．令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以．由此猜想：．………………2分用数学归纳法证明如下：①当时，有上面的求解知，猜想成立．②假设时猜想成立，即成立，则当时，注意到，故，．两式相减，得，所以．由归纳假设得，，故．这说明时，猜想也成立．由①②知，对一切，成立．……5分（Ⅱ）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，

故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以．又=22，所以=2010.………………8分（Ⅲ）因为，故，所以．又，故对一切都成立，就是对一切都成立．设，则只需即可．由于，所以，故是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数存在，的取值范围是．…………14分注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分.（2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.

21.（本小题满分分）在平面直角坐标系xoy中，已知四边形OABC是平行四边形，，点M是OA的中点，点P在线段BC上运动（包括端点），如图（Ⅰ）求∠ABC的大小；（II）是否存在实数λ，使？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。参考答案：解：（Ⅰ）由题意，得，因为四边形OABC是平行四边形，所以，，于是，∠ABC=

………6分（II）设，其中1≤t≤5，于是

………9分若，则，即

………12分又1≤t≤5，所