2025版高考数学一轮总复习素养提升第4章三角函数解三角形第6讲解三角形

三角形中的实际测量问题角度1测量距离问题(2023·武汉模拟)如图，一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(A)A．6eq\r(2)海里 B．6eq\r(3)海里C．8eq\r(2)海里 D．8eq\r(3)海里[解析]过点C向正南方向作一条射线CD，如图所示，由题意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，所以∠ACB＝110°－65°＝45°.AB＝24×0.5＝12(海里)．在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，即eq\f(12,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(1,2))，所以BC＝6eq\r(2)(海里)．故选A．名师点拨：距离问题的常见类型及解法1．类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸．2．解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：(1)基线的选取要恰当准确；(2)选取的三角形及正、余弦定理要恰当．若图中涉及多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其他三角形从而求解．角度2测量高度问题(2024·郑州模拟)如图，一栋建筑物AB的高为(30－10eq\r(3))米，在该建筑的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30°，则通信塔CD的高为60米．[解析]在Rt△ABM中，AM＝eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(30－10\r(3),sin15°)＝eq\f(30－10\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))＝20eq\r(6).如图过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°.又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以eq\f(AC,sin105°)＝eq\f(AM,sin∠ACM)＝eq\f(20\r(6),sin30°)，所以AC＝60＋20eq\r(3)，所以CN＝30＋10eq\r(3)，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－10eq\r(3)＋30＋10eq\r(3)＝60.故填60.名师点拨：求解高度问题的三个关注点1．在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．角度3角度问题在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[解析]如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为eq\f(5\r(3),14).名师点拨：角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角．【变式训练】1．(角度1)如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则树的高度为(30＋30eq\r(3))m.[解析]在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理得eq\f(PB,sin30°)＝eq\f(AB,sin15°)，所以PB＝eq\f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))，所以树的高度为PB·sin45°＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝(30＋30eq\r(3))m.2．(角度2)(2024·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了600m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为300eq\r(2)m.[解析]在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠MCA)＝eq\f(AC,sin∠AMC)，即eq\f(600,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝300eq\r(6).在Rt△ACD中，因为tan∠DAC＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，所以DC＝ACtan∠DAC＝300eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝300eq\r(2)(m)．3．(角度3)(2023·宜昌模拟)如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(B)A．30° B．45°C．60° D．75°[解析]依题意可得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq