2025版高考数学一轮总复习知识梳理第4章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数

第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理知识点一角的有关概念1．从旋转的角度看，角可分为正角、负角和零角.2．从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}.知识点二弧度制及弧长、扇形面积公式1．1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．2．角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).3．角度与弧度的换算(1)1°＝eq\f(π,180)rad；(2)1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.4．弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.知识点三任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).2．三角函数的符号三角函数在各象限的符号一定要熟记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.归纳拓展1．象限角2．轴线角3．终边相同的角与对称性拓展(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.4．若角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinα<α<tanα.双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角．(×)(2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×)(3)若sinα>0，则α终边落在第一、二象限．(×)(4)角α＝kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)是第一象限角．(×)(5)若sinα＝sineq\f(π,7)，则α＝eq\f(π,7).(×)[解析]根据任意角的概念知(1)(2)(4)(5)均是错误的．sinα>0，α也可落在y轴正半轴上，故(3)也不对．题组二走进教材2．(必修1P171T3改编)－2025°的角的终边所在的象限是(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]－2025°＝－6×360°＋135°，－2025°和135°的终边相同，所以－2025°的终边在第二象限．3．(必修1P176T5改编)下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是(C)A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)[解析]由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为eq\f(π,4)＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．4．(必修1P182T4改编)若角θ满足tanθ>0，sinθ<0，则角θ所在的象限是(C)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]由tanθ>0知，θ是一、三象限角，由sinθ<0知，θ是三、四象限角或终边在y轴非正半轴上，故θ是第三象限角．5．(必修1P176T10改编)已知角α的终边经过点P(－4，m)，且sinα＝－eq\f(3,5)，则m＝－3.[解析]利用任意角的三角函数的定义求解．∵已知角α的终边经过点P(－4，m)，且sinα＝－eq\f(3,5)，∴sinα＝eq\f(m,\r(－42＋m2))＝－eq\f(3,5)，解得m＝－3.6．(必修1P176T11改编)已知扇形的周长为4eq\r(2)cm，圆心角为2rad，则该扇形的弧长为2eq\r(2)cm，面积为2cm2.[解析]设扇形的半径为r，弧长为l，然后根据弧长公式以及扇形周长建立方程即可求出l，r，再根据扇形面积公式即可求解．设扇形的半径为r，弧长为l，则由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝4\r(2)，,l＝2r，))解得r＝eq\r(2)，l＝2eq\r(2)，所以扇形面积为S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2.题组三走向高考7．(2020·课标Ⅱ，2)若α为第四象限角，则(D)A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0[解析]解法一：∵α是第四象限角，∴－eq\f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin2α<0，cos2α可正、可负、可零．故选D．解法二：sin2α＝2sinαcosα<0.8．(2019·浙江，14)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，则sin(α＋π)的值为eq\