第03讲 有理数的乘除法（5大考点）（解析版）

第03讲有理数的乘除法（5大考点）考点考点考向一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．考点考点精讲考点一：有理数的乘法运算 1．计算：(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.2.运用简便方法计算：25×﹣（﹣25）×+25×．【答案与解析】解：25×﹣（﹣25）×+25×，=25×+25×+25×，=25×（++），=25×，=．【总结升华】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法分配律并灵活运用是解题的关键．3.用简便方法计算：(1)；(2)．【答案】（1）原式．(2)＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314．考点二:有理数的除法运算1．计算：【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．【答案与解析】解：【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．2.计算：【答案】原式考点三：有理数的乘除混合运算1.计算：【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．2.计算：【答案】考点四：有理数的加减乘除混合运算1.计算：【答案与解析】方法1：方法2：所以【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c)＝a÷b+a÷c进行分配就错了．2.观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么计算：=．【答案】解：==．考点五：含绝对值的化简1.已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值．【答案与解析】解：分四种情况：(1)当a、b、c三个数都为正数时，；(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，；(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，；(4)当a、b、c三个数都为负数时，综上，的值为：【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.2.计算的取值.【答案】(1)当a＞0、b＞0时，；(2)当a＜0、b＜0时，；(3)当a＞0，b＜0时，；(4)当a＜0，b＞0时，．综上，的值为：巩固巩固提升一、单选题1．（2021·全国七年级专题练习）计算8÷（﹣2）的结果是（）A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10【答案】A【分析】根据有理数的除法法则进行计算即可．【详解】解：原式＝﹣8÷2＝﹣4．故选：A．【点睛】本题考查了有理数的除法法则．熟记法则是解题的关键．2．（2021·广东七年级期末）计算：﹣×□＝1，则□内应填的数是（）A．﹣7 B．﹣1 C． D．7【答案】A【分析】根据有理数的乘法法则计算可求解．【详解】解：∵，∴□内应填的数是﹣7，故选：A．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键．3．（2021·陕西西安·交大附中分校七年级期末）的倒数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据倒数的定义进行答题．【详解】解：的倒数是，故选：A．【点睛】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．4．（2021·内蒙古七年级期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完，一天之后“一尺之捶”剩尺，两天之后剩尺，那么3天之后，这个“一尺之棰”还剩（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】C【分析】两天之后尺，那么只要计算第三天截去的一半还剩多少即可求解．【详解】解：两天之后剩尺，那么第三天截去了×＝尺，所以三天后，这个“一尺之棰”还剩－＝尺．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的运算，读懂题意并掌握有理数的运算法则是解题的关键．5．（2021·全国七年级课前预习）下列把除法转换为乘法的过程中正确的是（）A． B．C． D．【答案】C6．（2021·湖南七年级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则的值等于（）A．2021 B．2020 C．2021！ D．2020！【答案】A【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，进而可得出结论．【详解】解：1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，故选A．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2020·浙江杭州·）若，且，则（）A． B．a，b异号且其中负数的绝对值较大C． D．a，b异号且其中正数的绝对值较大【答案】D【分析】根据有理数的乘法法则可得a、b为异号，再根据有理数的加法法则可得正数的绝对值较大，进而得到答案．【详解】解：∵ab＜0，∴a、b为异号，∵a+b＞0，∴正数的绝对值较大，故选：D．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法和加法法则，关键是掌握计算法则．8．（2021·全国七年级专题练习）下列运算过程中，有错误的是（）A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]【答案】A【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式＝3×2﹣×2＝6﹣9＝﹣3，符合题意；B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意；C、原式＝（10﹣）×16＝160﹣，不符合题意；D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题9．（2021·全国七年级专题练习）计算：3×（）＝____．【答案】【分析】利用有理数的乘法法则直接计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．10．（2021·全国七年级课前预习）计算：6×（－9）＝__________（－6）×0＝____________×＝________（）×＝_________（－2）×××＝_____（－6）×5××＝_______【答案】－5401011．（2020·浙江杭州·七年级期末）在数，1，，5，中任两个数相乘除，其中最大的积是_________，最小的商是_______．【答案】15-5【分析】根据有理数的乘除法法则分别计算，再比较可得结果．【详解】解：最大的积是：-5×（-3）=15，最小的商是：-5÷1=-5，故答案为：15，-5．【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法和比较大小，关键是掌握有理数的运算法则．12．（2021·浙江七年级期中）在的“□”内分别填入“”，“”，“”三个运算符号（每个符号只能填1次），最大的运算结果________．【答案】【分析】由运算的结果最大先确定乘号的位置，再确定加号与减号的位置即可.【详解】解：由运算的结果最大可得：的前面与后面都不能用“”，从而可确定第一个的后面是“”，第二个的前面是“”，故答案为：【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，乘法运算，有理数的大小比较，掌握有理数的加减运算与乘法运算的运算法则是解题的关键.13．（2021·全国七年级专题练习）计算：−2÷×2＝______．【答案】【分析】根据有理数乘除的性质计算，即可得到答案．【详解】−2÷×2＝故答案为：．【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算的性质，从而完成求解．14．（2021·陕西七年级期中）已知a、b都不为0，则的值为___________．【答案】，3【分析】分4种情况讨论：①a、b都是正数；②a、b都是负数；③a是正数，b是负数；④a是负数，b是正数【详解】①a、b都是正数，；②a、b都是负数，；③a是正数，b是负数，；④a是负数，b是正数，；综上所述，的值为，3故答案为：，3【点睛】本题考查了有理数的绝对值定义和有理数除法法则，解答关键是根据题意对a、b符号进行分类讨论．15．（2018·山东七年级期中）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则2*3=__________．【答案】4【分析】把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：，故答案为：4【点睛】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．（2021·全国七年级课前预习）根据“除法是乘法的逆运算”探究：正数除以负数：8÷（－4）＝8×（______）负数除以负数：（－8）÷（－4）＝（－8）×（______）零除以负数：0÷（－4）＝0×（______）可知，除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的_____【答案】倒数17．（2021·全国七年级课前预习）探究：规定一楼地面的高度为0，从一楼向上的方向为正，从一楼向下的方向为负．小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15cm．如果小亮从1楼向上走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？15×1＝____15×2＝____15×3＝____小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15cm．如果小亮从1楼向下走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？（－15）×1＝____（－15）×2＝____（－15）×3＝_____观察上面的式子，根据你对有理数乘法的思考，填空：正数乘以正数积为_____数负数乘以正数积为______数正数乘以负数积为______数负数乘以负数积为______数乘积的绝对值等于各乘数绝对值的_______【答案】153045－15－30－45正负负正积三、解答题18．（2021·全国七年级专题练习）计算：（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）；（2）（﹣2.4）；（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×0.01；（4）915．【答案】（1）40.5；（2）；（3）-84；（4）【详解】【分析】（1）原式变形后，约分即可得到结果；（2）原式变形后，约分即可得到结果；（3）原式利用乘法法则计算即可得到结果；（4）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式8＝40.5；（2）原式；（3）原式＝﹣（14×6）×（100×0.01）＝﹣84；（4）原式＝（10）×15＝150149．19．（2021·全国七年级专题练习）计算下列各题：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【详解】（1）原式（2）原式（3）原式．20．（2021·全国七年级课前预习）计算：（1）（2）【答案】（1）1；（2）【详解】21．（2021·江苏南京一中七年级月考）定义运算“”为：，求，．【答案】3，35．【分析】原式利用题中的新定义法则计算即可得到结果．【详解】解：，，．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义法则、熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2021·福建七年级期末）已知一些两位数相乘的算式：62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11．（1）观察上述算式，选出具有共同特征的3个算式，并说出它们的共同特征；（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；（3）在已知算式中，其他算式可以用上面的规律进行简便运算吗？如何能，写出你的变形过程并直接写出最后结果．【答案】（1）一个两位数与11相乘；（2）两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积；（3）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825．【分析】（1）确定因数为11的算式；（2）计算并发现规律；（3）根据发现的规律找算式即可．【详解】（1）解：62×11，34×11，54×11，这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘．（2）解：62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594，规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积．或表述成：某个两位数与11相乘，得数的百位上的数是这个两位数的十位数，得数的十位上的数是这个两位数各位数的和，个位上的数是这个两位数个位上的数．（3）解：18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825，【点睛】本题是计算类的规律题，观察所给的算式，找出算式之间数与数的关系，还有与结果的关系，得出结论，在根据规律解决问题．23．（2021·西安市铁一中学七年级月考）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“*”，满足x*y＝xy﹣5例如：1*2＝1×2﹣5＝﹣3（1）请仿照上面的例题计算下列各题：①2*（﹣3）；②（4*5）*（﹣）；（2）任意选择两个有理数，分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果；多次重复以上过程，你发现：□*〇〇*□（用“＞”“＜”或“＝”填空）．【答案】（1）①﹣11；②﹣；（2）＝【分析】（1）①利用题中的新定义计算即可求出值；②利