人教A版高中数学必修四全部学案设计（无答案）

《必修四》

1。1»1角的概念的推广

一、复习：

角的概念：(1)在初中我们把有公共顶点的组成的叫做角，这个公共顶点叫做角

的—，这两条射线叫做角的O

(2)角可以看成是一条射线绕着它的从一个位置旋转到另一个位置所成

的»

二、自主学习：自学名一名，回答：

1«正角、负角、零角：

一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：方向和方向，习惯上规定：按

照方向旋转而成的角为正角；按照方向旋转而成的角为负角，当射线没有—

时为零角。

注意：(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的和旋转的,旋转生成的

角,又常叫做—角。

(2)引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即a—B可以化

为，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的。

2.终边相同的角：设a表示任意角，所有与a终边相同的角以及a本身组成一个集合，这个集合可记

为S—o

终边相同的角有个，相等的角终边一定,但终边相同的角不一定O

3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与重合，角的始边与重合，角的

终边在第几象限，就把这个角叫做,如果终边在坐标轴上,就认为这个角—属

于任何象限。

三、典型例题：

1»自学乙、4例1、例2、例4完成练习A

2o自学8例3完成下面填空：

终边落在x轴正半轴上角的集合表示为

终边落在x轴负半轴上角的集合表示为

终边落在x轴上角的集合表示为_______________________________

终边落在y轴正半轴上角的集合表示为

终边落在y轴负半轴上角的集合表示为

终边落在坐标轴上角的集合表示为_________________________________

.第一象限角的集合表示为_________________________________________

第二象限角的集合表示为_________________________________________

第三象限角的集合表示为______________________________________

第四象限角的集合表示为______________________________________

3。补充例题：

a

例5。已知a是第一象限的角，判断上、2a分别是第几象限角？

2

练习：2练习B2,3、5

4o小结：

5。作业：

1.在“①160°②480°③―960°④—1600°”这四个角中属于第二象限角的是（）

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

2.下列命题中正确的是（）

A.终边相同的角都相等B.第一象限的角比第二象限的角小

C.第一象限角都是锐角D.锐角都是第一象限角

3.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,

则NAOC=（）

A.150°B.-1500C.390°D.-3900

4.如果a的终边上有一个点P（0,-3）,那么a是（）

A.第三象限角B.第四象限角C.第三或四象限角D.不属于任何象限角

5.与405°角终边相同的角（）

A.k•360°-45°kSzB.k•360°-405°kSz

C.k»360°+45°kGzD.k•180°+45°kez

a

6.（2005年全国卷ID）已知a是第三象限角，则一所在象限是（）

2

A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限

7.把一1050°表示成k・360°+9（kGz）的形式，使网最小的。值是

8.（2005年上海抽查）已知角a终边与120°终边关于y轴对称,

则a的集合S=.

9.已知B终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），

那么6e_________________

10。在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们是哪个象限角:

①一45。②760°③―480°

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

一、复习：（1）1度角是指把圆周等份，其中每一份所对的圆心角的度数。这种用—来度量角

的制度叫角度制。

（2）设圆心角为〃。的圆弧长为/,圆的半径为r,则/=；-=。

r

二、自主学习：自学课本4-6回答：

1.1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角。这种用来度量角的制度叫弧度制。

弧度记作.

2。圆心角或弧长公式：在半径为r的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角为Crad,

贝!Ja=；I=o

3,角度与弧度的换算：

360°=____rad；1800=_rad；1°=rad—rad；n°=rad

1rad==»=；£rad=

4.完成下面的填空：

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

弧度

度210°225°240°270°300°315°330°360°

弧度

5.角的集合与实数集R之间是对应关系。

6.设扇形的圆心角是arad,弧长为/,半径为r,

则扇形面积公式S=

三、典型例题：自学课本玲-此例1-例5完成练习A、B

四、小结:

五、作业:

lo12。等于（）rad

Ao30°Bo60°C,120PDo15tf

3.a=-2rad,贝lja终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（）

1乃a571„571

A.1B.-C.一或一7D.一或一

26633

7T

5.扇形圆心角为半径为R,则扇形内切圆面积与扇形面积之比（）

A.1；3B.2：3C,4：3D,4：9

6.24（f=rad;一工巴=度；22夕=rad;—=度。

38

7.一个扇形弧长为5cm,面积为5cm2,则这个扇形圆心角的弧度数

8.在1小时15分时，时针和分针所成最小正角是弧度。

1。1任意角的概念及弧度制习题课

一、复习：

1.正角、负角、零角的概念2o与a终边相同的角如何表示？

3.象限角是如何定义的？

4。用弧度表示

终边落在x轴上的角的集合表示为

终边落在y轴上的角的集合表示为

终边落在坐标轴上的角的集合表示为

5。用弧度表示

终边落在第一象限的角的集合表示为

终边落在第二象限的角的集合表示为

终边落在第三象限的角的集合表示为

终边落在第四象限的角的集合表示为

6«36（P=rad；10=rad®rad；71=度；n°=rad

lrad=〜=；arad=

7,设扇形的圆心角是arad,弧长为/,半径为r,

则1=;扇形面积公式S==

二、典型例题：

例1。已知a=1680°

(1)把a改写成k・360°+B(kGz,0°WB<360°)的形式。

(2)把a改写成8+2k冗(kGz,0WBV2n)的形式。

(3)求9,使。与a终边相同且一360°<0<360°并判断。属第几象限。

yrSjr

例2.若集合A=<a2k7i-\——〈aQk兀'--,kGZ

.42

B={a|2k;r-^-(a{2k7r,ke

求ADB；AUB

例3如图扇形AOB的面积为4cmM周长为10cm,求AB弧的长及扇形中心角a

三、练习：心习题LIA、B

补充：

1.已知下列各角①787°②-957°③-289°©1711°,其中在第一象限的角是()

A.①@B.②③C.①③D.②④

2.已知集合M=｛第一象限角｝,N=｛锐角｝,P=｛小于90°的角｝,则下列关系式中正确的是

()

A.M=N=PB.MPC.MnP=ND.NUPcP

3.下列各组两个角中，终边不相同的一组角是（）

A.-430与677°B.9000与一1260。C.1500与630°D.-1200与960°

k兀\

4.设集合\aa-——,keZ>u<aa=T■一,k&Z>,

2f4

N=邛。=卷，攵Gz>,则集合M与N关系是（)

A.MNB.MNC.M=ND.MDN=。

5.下列诸命题中，假命题是（）

A.“度”与“弧度”是度量角两种不同的度量单位

B.一度的角是周角的上，一弧度的角是周角的，一

3602万

C.根据弧度定义，180°一定等于打弧度

D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关

6.三角形三个内角之比为2：5：8则各角的弧度数分别为。

7。终边在直线y=6x上的角表示为o

8»将下列各角化成2k“+a（kSz,0WaV2n）的形式，并确定其所在象限

„19^-„31

①——②——万

66

四、小结:

五、作业:

1.若a、6终边相同，则a-B的终边在（）

A.x轴正半轴B.y轴正半轴C.x轴负半轴D.y轴负半轴

2.已知a是第四象限角，则^是（）

2

A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第二或第四象限角

TTTT

3..若一一VaVBV—,则a-6的范围是（）

22

71「

A.—汽Va—B<0B.--<a-BVO

2

7t-c冗

C.--<a-BV冗D・-n<a—g<—

22

4.终边在直线y=x上的角的集合为（）

.1冗IF37r

a=K7T+—eZB.〈aa=女"+——,keZ、

4

冗3万

C.<a-2kjr-\——，左eZD.<aa-2K7T-\------,kGZ

44

5.集合M=<aa=与-2,女eZ>,N={a]—"〈a〈；r},则MDN等于（）

A.{--,—}B.{-------，——}C.{—，——,-----}D.{—,--------}

5101055105101010

6.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为()

1万一571„5万

A.lB.-C.一或一7D.一或---

26633

7.扇形的圆心角为72°,半径为5cm,圆心角=rad;它的弧长为;

面积为«

8.与一496°终边相同的角是:它是第象限角，它们中最小正角是,

最大负角是。

jr

9.(2005吉林调研)如图动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转;

7T

弧度。点Q按顺时针方向每秒钟转二弧度，则P、Q第一次相遇时P、Q点各自走过的弧度

为_____________

1.2.1任意角的三角函数

一、复习：锐角三角函数的定义：

如图：设P(x,y)是角a终边上不同于原点的任意一点，PM_Lx轴，IOPI=r,

当a为锐角时sina=;cosa=;tana=.

y

O|XMx

二、自主学习：自学片4・4完成下面的填空：

1o三角函数的定义：设P(x,y)是角a终边上不同于原点的任意一点，IOPI=r,(r=ylx2+y2,

r>0)

贝!j：sina=;cosa=;tana-.

seca=;csca=;cota=.

思考：三角函数是函数吗？

2.三角函数的定义域：完成下表

三角函数定义域

sina

cosa

tana

3。三角函数符号：

sina=2,若y>o,贝!|sina_0;此时a的终边在第象限或第象限

r

或在±；

若yV0,则sina0；此时a的终边在第一象限或第一象限

或在上.

若y=0,则sina_0;此时a的终边在轴上。

X

cosa=—：若x>0,则cosa0;此时a的终边在第象限或第象限

r

或在上；

若x<0,则cosa0;此时a的终边在第象限或第一象限

或在上.

若x=0,则cosa0;此时a的终边在轴上。

tana=2,若乂、y号，则tana>0,此时a的终边在第_象限或第一象限

X

若X、y号，则tana<0.此时a的终边在第象限或第象限

若y=0,则tana___0；此时a的终边在轴上。

若x=0,则tana不存在，此时a的终边在轴上。

记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”

三、典型例题：

lo自学小例1、例2,完成q7练习A1、2、3题

2。自学&例3、例4,完成片8练习A4题、练习B

3。补充：

例：已知角9的终边落在直线y=3x上，求sin。、cos。和tan。的值。

四、小结：

五、作业：

1.已知a的终边过点P(4,-3),则下面各式中正确的是()

3433

A.sina=—B.cosa=.—C.tana=--D.cota=-—

5544

34

2.若角a的终边上有一点P()(仪0),则sina-tana的值是()

1616八1515

A.—B.——C.—D.——

15151616

3.已知角a的终边经过点P(a,b),其中a<0,bVO,在a的六个三角函数中，符号为正的是()

A.sina与escaB.cosa与secaC.tana与cotaD.seca与esca

4.若角a的终边与直线y=3x重合，且sinaVO,又P(m,n)是a终边上一点，且|OP|二J市，

则m—n=()

A.2B.-2C.4D.-4

3

5.已知点P(3,y)在角a的终边上，且满足yV0,cosa=y,贝!jtana的值为()

434

B.-C.一D.--

343

6若sin。cos。>0,贝!I。在第象限。

7.若Jcos2j=cosx,则X的取值范围是,

8.已知f(x)=cosnx(x<l)

f(x-l)-l(X>1)

sinxIcosx\tanxcotX

9.函数y=+：----；4-J——值域是

COSXtanxcotX

.71.3乃

10.5sin—+2cos0+4tan()-3sin——+10cos,r-2tan^

22

n.已知。角的终边上一点p(x,3)(xHo),且cose=Yl0x.

10

求sin0,tan。

lo2o2单位圆与三角函数线

一、复习：

lo什么是向量？数轴上向量的坐标或数量是如何定义的？

如图：A(x)是数轴上一点，则OA的坐标OA=；AO的坐标AO=

2O设P(x,y)是角。终边上不同于原点的任意一点，IOPI=r,(r=Jx?+,r>0)

贝!J：sina-;cosa=;tana-.

当r=l时sina=;cosa=。

.兀71.

3.sin—=;cos—=；sin/r=；cos乃二;tan；

2-----2--------------------

.3冗3万

S1Vi—=；cos—=；

4o三角函数在各象限的符号如何？

二、自主学习：自学也•层。完成下面的填空：

lo单位圆：半径为的圆叫单位圆。

2o正射影：如图示：单位圆的圆心在坐标原点O,设角a的顶点在圆心O,始边与x轴的正半

轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)过点P作PM_Lx轴于点M,作PNJ_y轴

于点N,则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的(简称)

由三角函数定义可知：sina=;cosa-o

又r=l,所以sina=;cosa=。

即P点的坐标为（,）,其中OM=；ON=»

由此可得：角a的余弦和正弦分别等于角a终边与单位圆交点的—坐标和—坐标。

3.三角函数线：

在上面图2中，向量______、、分别叫做角a的余弦线、正弦线和正切线。

71

思考：当a=x（rad）且0<x<—,则a、sina、tana的大小关系是__________________。

2

三、典型例题：

1.自学go例，完成练习A、B

2.补充

例1。在单位圆中画出适合下列条件的角a终边的范围，并由此写出角a的集合:

1

（1）sina》——；（2）cosaW---.

22

四、小结:

五、作业:

1.已知角a的正弦线的长度为单位长度，那么角a的终边（）

A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=—x上

2.下列判断中错误的是（）

A.a一定时，单位圆中的正弦线一定B.单位圆中，有相同正弦线的角相等

C.a和a+n具有相同的正切线D.具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上

3.角a（0<a<2n）的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么a的值为（）

乃T,3乃3万„171乃05万万—7乃

A.一或——B.——或——Y或彳D.一或——

444444

TTS77

4.已知日了丁，贝"与esx的大小关系是（）

A.sinx^cosxB.sinxWcosxC.sinx>cosxD.sinx<cosx

5.若2sin0=_3cos。，贝。的终边可能在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限

6.如图所，NPOx的正弦线为,

余弦线为,正切线为«

7.设M=«OsinOZ；,H,ee[O,利卜

N=<OcosO<g,0.6£[0,，且MPIN=.

8.在各坐标系内分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.

(1)一；(2)—71；(3)—71；(4)—71.

3643

9.利用三角函数线解答下列各题：

(1)已知a£[0,2兀)，且tana>sina,求a角的范围。

ccCt

(2)已知aG[0,2n),且sin—Vcos—,求a角的范围。

22

10.利用三角函数线证明卜in«|+|cosa|>1.

1.2。3同角三角函数的基本关系式

一、复习：

倒数关系：sinaesca=____________cosaseca=____________tanacota=

二、自主学习：利用学过的知识推导:一

1。平方关系：sin2x+cos2x=2o商数关系；包_£=

cosx

三、典型例题：

1.求值问题：

(1)自学七例1、例2、例3完成65练习A。1

(2)思考：若把例1中“a是第二象限的角”去掉，该题如何求解？

练习：与练习B。1

(3)“1”的妙用:

例：已知tare?=3,求下列各式的值。

⑴3sin<z+cosa

2sina+3cosa

(2)sin2a-2sinacosa+1.

练习：以练习B。2

2。化简：自学之例4、例5

注意：化简时尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化为同角、同名,

尽量化成最简形式等。

练习：以练习A。2、4Bo3

3.证明：自学例6。完成已练习A。3,练习B4、5

四、小结：

五、作业；

3

1.已知cosa,aW（0,n）,则tana等于（）

44,4,3

A.-B.-C.±-D.±-

3334

2.若Bs(0,2Ji),且—cos?4--sin2P-sin)3-cos/?,则B的取值范围是（）

7T3%、3万、

A.［0,-)B.［­,冗］C.［冗,—)D.［—，2n)

222

cos冗sinx

3。函数:=+-的值域是()

Vl-sin2x71-cos2xvtan2x

A.{3,—1)B.{1,3}C.{-3,—1,1)D.{-1,1,3)

772—34—

405•已知sin6=—,cos。=------,贝！Im()

m+5m+5

A.可取［-；，9］中的一切值B.等于0

C.等于8D.等于0或8

5.tan0=2,那么，1+sin0cos0=()

557

A.-B.一C.-D.一

3453

6.sin0+cos0=_1则(sin3)2006+(cos0)2006=

4

7.已知sina=j且tanaVO,则cosa=

8.化简sin2a+sin2B-sin2asin2B+cos2acos2B=.

34在

90已知sina二一，求cosa、tana的值.

10o已知sina+cosa=—,且0。<a<180°,求tana的值.

llo已知tan?a=2tai>2B+L求证：sin2P=2sin2a-1.

12•化简

TT1+sina1-sincr

①若,〈aS，化简

1-sina，1+sina

1-cosa1+cosa

②若半〈。〈2乃，化简

1+cosav1-cosx

124诱导公式(一)

一、复习：与a终边相同的角为o

二、自主学习：

lo思考：

(1)a终边与・a终边关于对称。

(2)a终边与a+(2Z+l)乃，(kGZ)的终边互为

(3)设a终边与单位圆的交点为P,则P(,)

若-a终边、a+(2k+l)万，(keZ)的终边与单位圆分别角于《、鸟两点，

则P与[关于对称，因此々(,)

P与鸟关于对称，因此g(,)

2,诱导公式：

(1)角a与a+k・2n(kGZ)的三角函数间的关系

cos(a+k•2n)=；sin(a+k•2n)=；tan(a+k•2Jr)=.

由三角函数定义可知：

P[(cos(-a),sin(-a)),P2(cos(a+(2A+1)%),sin(a+(2Z+1)不))

又由上面思考3可得：

(2)角a与一a的三角函数间的关系

cos(-a)=；sin(-a)=；tan(-a)=.

(3)角a与a+(2k+l)+(kGZ)

cos[a+(2k+l)n]=；sin[a+(2k+l)n]=；tan[a+(2k+l)n]=,

三、典型例题：

1.自学舄6、鸟7例1、例2完成舄7练习A、B

2,自学舄9例3、例4、例5完成勺练习A、B

3。证明：sin(乃-a)=sina；cos(乃-a)=-cosa；tan(4-a)=-tana

四、小结：

五、作业：

1.tan600°的值是()

A.--B.—C.-V3D.V3

33

2.对于aCR,下列等式中恒成立的是()

A.sin(2n-a)=sinaB.cos(-a)="cosa

C.cos(31-a)=cos(2n+a)D.tan(冗+a)=tan(2n+a)

3.sin2(n+a)-cos(兀+a)cos(-a)+1的值是()

A.lB.2sin2aC.OD.2

1Ji

4.若sin(n-a)=log8—，且aG(-—,0),则cos(n+a)的值为()

42

A好

D.以上都不对

3

5.Jl+2sin(n-3)cos(/r+3)化简的结果是()

A.sin3-cos3B.cos3-sin3C.±(sin3-cos3)D.以上都不对

贝qsin(a-3乃)+cos(乃一a)_(

6.tan(5n+a)=m)

sin(-a)-cos(»+a)

m+1m-1

A.-------B・-------C.-lD.l

m-1m+1

cotg"+a)-cos(a+4)•sin2(3^+a)

7.若Q=则a2+a+l的值等于)

tan(r+a)・cos3(-a-TI)

A.1B.sin2aC.cos2aD.3

41254/5»、

8.计算sin——cos------tan(-------)=

364

1

Sinnx(x<0)cosnx(x<—)

2

.1

f(x-l)+l,(x,0)g(x-l)+l,(xW-)

1153

则g(-)+f(—)+g(-)+f(-)的值为__________<

4364

10求下列三角函数式的值.

(1)sin495°•cos(-675°)；

(2)V3sin(-1200°)-cot-cos585°-tan(一-.

sin2(a+7i)cos(乃+a)cotG&-2〃)

IL化简

tan(r-a)cos3(-a-TC)

〜4口

12.已知sin(a+n)=彳且sinacosa<0

2sinc(-^)4-3tarB姐-a)

求--------------------------

4co(—3〃)

1.2.4诱导公式（二）

、复习：

lo完成下面填空：

sin30°=____；cos30°=____；tan30°=____

sin45°=__；cos45°=___；tan45°=____。

sin60°=__；cos60°=___；tan60°=_o

2o公式一：cos(a+k•2n)=___；sin(a+k,2n)=____；tan(a+k•2n)=

3o公式二：cos(-a)=；sin(-a)=____；tan(-a)=.

4o公式三：

cos[a+(2k+l)]=；sin[a+(2k+l)n]=；tan[a+(2k+l)兀]=»(kez)

5。根据公式三完成下面填空：

sin(Ji+a)=；cos(n+a)=；tan(n+a)=。

sin(n-a)=；cos(n-a)=；tan(n-a)=。

二、自主学习：自学々完成下面填空：

l.a与a+T£T的三角关系

2

717171

sin(a+——)=；cos(a+——)=tan(a+万)=.

22

TT

2・a与的三角关系

2

717t冗

sin(--a)=；cos(—a)=tan(ya)=

22

三、典型例题：

1.自学居2例6、例7完成练习A。1、2、3;练习B。1

2O自学修例8完成练习A。4；练习B。2

3.补充例：

3万3兀3万

证明：sin(a+----)=-cosa；cos(a+----)=sina；tan(a+—)=-cota

222o

练习：完成下面填空:

3万37r3兀

sin(------a)=cos(-----a)=；tan(------a)=

2-2'2

四、小结：

五、作业：

1。若sin(180°+a)+cos(90°+a)=-a,则cos(270°—a)+2sin(360°—a)的值是()

2a3a3a

A.-------B.------D.—

322

,71c乃八1

2.已知sin(—16)+cos(-----0)=—9G((),兀)，则，的值为()

2259tan0

4343

A.-B.一C.—D.--

3434

JI兀

3.已知f(x)=3sin(—x-\—),则下列不等式中正确的是()

23

A.f(l)<f(2)<f(3)B.f(2)<f(l)<f(3)

C.f(2)<f(3)<f(l)D,f(3)<f(2)<f(l)

4.sin2l°+sin220+sin23"+***+sin289°=()

8945

A.89B.—C.45D——

22

5.已知f(cosx)=cos3x,则f(sin30°)的值是()

RV3

A.lB.-----C.OD・-l

2

6.(2006.全国卷H)f(sinx)=3—cos2x则f(cosx)=()

A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x

1Ji3

7.已知sin(冗+a)=lgr=,且(1£(一,»),则tan(