函数的基本性质讲义-高三数学一轮复习

课题：函数的基本性质知识点一：函数的单调性（一）、单调性1．定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）.2．如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.3．判断函数单调性的方法步骤:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（1）任取x1，x2D，且x1<x2；（2）作差f(x1)－f(x2)；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；（5）下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.4．最大值和最小值定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；（2）存在x0I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值．几何意义：函数y＝f(x)的最大(小)值是其图象上最高(低)点的纵坐标.【要点诠释】1．函数单调性中：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)（3）对于两个函数f(x0)、在公共定义域内时有：①增函数增函数，新函数是增函数；②减函数减函数，新函数是减函数；③增函数减函数，新函数是增函数；④减函数增函数，新函数是减函数.2．最值：函数的最大值和最小值统称为函数的最值，则函数y＝f(x)的最值是图象上最高点或最低点的纵坐标．【典型例题】【例1】函数的单调递减区间是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞)D．(－∞，0)(0，＋∞)【例2】函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值，最小值分别为()f(2)，f(－2)B．f，f(－1)C．f，D．f，f(0)【例3】求函数y＝x＋，x＞0的单调区间．【举一反三】1．下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（）A．B．C．D．2．判断并证明函数f(x)＝＋1在(0，＋∞)上的单调性.3．已知函数f(x)对任意x，yR，总有（1）求证：f(x)是R上的减函数；（2）求f(x)在上的最大值和最小值.知识点二：函数的奇偶性（一）、奇偶函数1．定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。（如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性。如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数）.2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：①若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；②若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数.3．性质：（1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；（2）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：【奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇】【要点诠释】1．函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.【典型例题】【例1】已知函数=，那么是()A．奇函数而非偶函数B．偶函数而非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数也非偶函数【例2】若是偶函数，且当时,，则的解集是（）A．B．C．D．【例3】已知，其中为常数，试判断f(x)的奇偶性并加以证明．【例4】已知函数在R是奇函数，且当时，，则时，求的解析式.【举一反三】1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点()A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))D．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．33．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数4．若函数为奇函数，则a＝()A．B．C．D．15．函数f(x)，xR，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数.【课堂巩固】1．下列函数在区间[0，＋∞)上是增函数的是()①y＝2x②y＝x2＋2x－1③y＝|x＋2|④y＝|x|＋2A．①②B．①③C．②③④D．①②③④2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2在[－5,5]上单调，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－5]B．[5，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)3．已知函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)＜f(1)，则()A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(－1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＜f(－5)4．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于()A．0B．1C．D．55．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是___________.6．已知函数f(x)＝x2＋4x＋2在[a，b]上的值域为[a，b]，则a＝________，b＝________.7．利用函数单调性的定义，证明函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上是增函数.【课后练习】正确率：1．函数的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．2．下列函数中，在(0，2)上为增函数的是()A．y=3x+1B．y=|x+2|C．y=D．y=x24x+33．已知函数f(x)是奇函数，x＞0时，f(x)＝1，则f(－2)＝()A．0B．1C．－1D．±14．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)5．函数y=的递增区间是()A．(∞，2)B．[5，2]C．[2，1]D．[1，+∞)6．已知函数是定义在(－1,1)上的奇函数，且，求函数f(x)的解析式．7．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有