均值不等式及其应用5种常见考法归类

2.2.4均值不等式及其应用5种常见考法归类1、均值不等式（1）算术平均值与几何平均值给定两个正数a，b，数eq\f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq\r(ab)称为a，b的几何平均值．多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义，例如a，b，c的算术平均值为eq\f(a＋b＋c,3)，几何平均值为eq\r(3,abc).（2）均值不等式如果a，b都是正数，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．(1)“当且仅当”的含义：当a＝b且仅当a＝b时，不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)能取到等号，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab).(2)均值不等式可变形为a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).2、均值不等式与最大(小)值已知x，y都是正数．(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.可以表述为：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．可简记为“两正数积定和最小，和定积最大”．利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”．具体理解如下：(1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．(2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值．(3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．3、利用均值不等式求最值的策略（1）利用均值不等式求最值的策略(2)拼凑法求解最值，就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用均值不等式求解最值．(3)通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．4、利用均值不等式证明不等式(1)在利用a＋b≥2eq\r(ab)时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)或eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．5、利用均值不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时，一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．考点一对均值不等式的理解考点二利用均值不等式求最值考点三利用均值不等式证明不等式考点四均值不等式的恒成立问题考点五利用均值不等式解决实际问题考点一对均值不等式的理解1．（2023秋·广东广州·高一广州市第四十一中学校考阶段练习）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】C【分析】由图形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出.【详解】解：由图形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故选：C.2．（2023秋·广东江门·高一校考期中）如果，那么下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.【详解】由已知，利用基本不等式得出，因为，则，，所以，，∴.故选：B3．【多选】（2023秋·广东惠州·高一校考阶段练习）下列不等式中正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用基本不等式可判断B选项；利用不等式的性质可判断C选项.【详解】对于A选项，当时，，A错；对于B选项，，则，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B对；对于C选项，因为，则，C对；对于D选项，取，，，则，D错.故选：BC.4．【多选】（2023秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（）A．当时，B．若，则的最小值是C．当时，D．的最小值是【答案】BC【分析】对于A，举反例即可判断A错误；对于B，利用基本不等式可得B正确；对于C，利用基本不等式可得C正确；对于D，不满足基本不等式取等号的条件，判断D错误.【详解】若，则，显然不满足，A错误；若，则，当且仅当时取等号，最小值是，B正确；若，则，当且仅当时取等号，最小值是，C正确；若，则，当且仅当即时取等号，显然无解，故取不到最小值，D错误.故选：BC.考点二利用均值不等式求最值5．【多选】（2023秋·陕西咸阳·高一武功县普集高级中学校考阶段练习）若，，且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用重要不等式的合理变形可得，即可知A正确；由基本不等式和不等式性质即可计算B正确；由即可求得C正确；根据不等式中“1”的妙用即可得出，即D错误.【详解】对于A，由可得，又，所以，即，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，由可得，即，所以，当且仅当时等号成立，即B正确；对于C，由可得，所以可得，即，当且仅当时等号成立，即C正确；对于D，易知，即；当且仅当时等号成立，可得D错误；故选：ABC6．【多选】（2023秋·重庆·高一校联考阶段练习）设正实数x，y满足，则（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值为 D．的最小值为2【答案】BC【分析】根据基本不等式一一求解最值即可.【详解】对于A，，，当且仅当，即，时等号成立，故A错误；对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；故选：BC.7．（2023秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知，则的最小值为.【答案】【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.8．（2023秋·吉林·高三校考阶段练习）设，则函数的最小值是.【答案】【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值是最小值为.故答案为：.9．（2023秋·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设，则函数，的最小值为（

）A．7 B．8 C．14 D．15【答案】D【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为15，故选:D．10．（2023春·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考开学考试）已知，若，则的最小值为.【答案】【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用计算作答.【详解】由，，得，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：11．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为．【答案】/【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为正实数a，b满足，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.12．（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，因为，，所以当且仅当，即时，等号成立．故选：D．13．（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）求解下列各题：(1)求的最小值；(2)已知，且，求的最小值．【答案】(1)8(2)10【分析】（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案；（2）化为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】（1）因为，故，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是8．（2）由，得，，所以，所以，当且仅当，结合即时，等号成立．故的最小值为10．14．（2023秋·江西·高一江西师大附中校考期中）已知正数x，y满足，则的最小值为.【答案】4【分析】根据已知条件变形，结合基本不等式求得答案.【详解】∵，∴，又，∴，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值4.故答案为：4.15．（2023秋·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）若，，则的最小值为．【答案】【分析】连续使用基本不等式计算即可.【详解】由，，所以，当且仅当且，解得：，所以的最小值为.故答案为：.考点三利用均值不等式证明不等式16．（2023·全国·高一课堂例题）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立．【答案】证明见解析【分析】运用基本不等式进行证明即可.【详解】因为，，，所以由基本不等式，得，，，当且仅当，，时成立，把上述三个式子的两边分别相加，得，即．当且仅当时等号成立．17．（2023·全国·高一课堂例题）设，为正数，证明下列不等式：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】运用基本不等式对（1）（2）进行证明即可.【详解】（1）因为，均为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立．（2）因为，为正数，所以，也为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立．18．（2023秋·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）已知，且.(1)证明：；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由，，利用基本不等式求解即可.（2）由，两边同时平方，结合基本不等式求的最小值.【详解】（1），当且仅当时取等号，所以.（2）由，得，又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，，，，当且仅当时，上述不等式等号均成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.19．（2023秋·广西南宁·高一校考阶段练习）（1）设均为正数，且，证明：若，则：（2）已知为正数，且满足，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）先对和平方化简，然后结合已知条件可证得结论，（2）利用基本不等式结合可证得结论【详解】（1）因为，又因为，则为正数，所以，因此.（2）因为，当且仅当时，取等号，又，故有.所以，当且仅当时取等号.20．（2023秋·陕西西安·高二校考期中）（1）已知，求的最大值；（2）设均为正数，且，证明：．【答案】（1）

（2）证明见解析【分析】（1）根据基本不等式求最值求解即可.（2）根据基本不等式，运用不等式的性质即可证明；【详解】解：（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最大值为；（2）证明：由，a，b，c均为正数，因为，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，相加可得，即当且仅当取得等号.考点四均值不等式的恒成立问题21．（2023秋·全国·高一专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是．【答案】【分析】依题意得，利用基本不等式“1”的代换求出的最小值，即可得解.【详解】因为且，若恒成立，则，又，当且仅当，即，时等号成立，所以，即实数的取值范围是．故答案为：．22．（2023秋·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.【详解】因为，，且，则，当且仅当，即时，等号成立，即，因为恒成立，可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.23．（2023秋·全国·高一专题练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C24．（2023秋·全国·高一专题练习）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由即可求解.【详解】因为，当且仅当且时取等号，所以，整理得，解得，故正实数的最小值为9.故选:D.25．（2023秋·吉林四平·高一校考阶段练习）已知，且(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.【答案】(1)8(2)【分析】（1）由题意可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值，（2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值.【详解】（1）因为，且，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，（2）因为（）恒成立，所以恒成立，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，所以，所以的最大值为.26．（2023秋·安徽阜阳·高二校考期中）两个正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】妙用“1”先求得的最小值为4，然后解不等式可得.【详解】正实数，满足，，当且仅当且，即，时取等号，不等式有解，，解得或，即．故选：C．考点五利用均值不等式解决实际问题27．（2023秋·浙江杭州·高一校联考阶段练习）层楼时，上下楼造成的不满意度为层楼时，环境不满意程度为.则此人应选第楼，会有一个最佳满意度.【答案】3【分析】先得到不满意程度为，利用基本不等式可得取最小值即为最佳满意度.【详解】由题意可知，当住层楼时，不满意程度为，因，且，所以，当且仅当即时等号成立，故当住楼时，不满意程度最低，故答案为：328．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．(1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；(2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.【答案】(1)(2)，118000元【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，，且，则，则（2）由（1）可知，当且仅当时，即时，等号成立，所以，当米时，元.29．（2023秋·重庆·高一校联考阶段练习）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价