专题5.4复数（原卷版）-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第五章平面向量和复数专题5.4复数1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．考点一复数概念考点二复数的四则运算考点三复数的几何意义知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中i称为虚数单位，满足i2＝－1.(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.))(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应),\s\do5())复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应),\s\do5())平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).第一部分核心典例题型一复数概念1．已知复数，则的实部是（

）A．2 B．0 C． D．2．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（

）A．5 B． C．3 D．3．已知复数为纯虚数，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．0或14．复数，则实数（

）A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或35．若（，i是虚数单位），则（

）A．5 B． C． D．1题型二复数的四则运算6．已知复数z满足，则（

）A．1 B． C． D．7．若复数满足，则（）A． B．2 C． D．8．已知是虚数单位，则复数的虚部是（

）A． B．C． D．9．已知a，，，若，则的虛部是（

）A．2 B．2 C．2i D．2i10．已知，则（

）A． B．1 C． D．2题型三复数的几何意义11．复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．设，其中为虚数单位，，是实数，则A．1 B． C． D．13．已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，则这个正方形的第4个顶点所对应的复数（

）A． B． C． D．14．已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．15．在复平面内，复数与分别对应向量和，其中为坐标原点，则（

）A．1 B．5 C． D．第二部分课堂达标一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若复数满足，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．3．若，则（

）A．6 B． C． D．74．已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（

）A．1 B． C． D．5．以下满足的虚数z是（

）A． B． C． D．6．欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（

）A．的实部为1B．在复平面内对应的点在第一象限C．D．的共轭复数为17．若复数，则（

）A．0 B． C．1 D．28．设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为（

）A．3 B． C．2 D．二、多选题9．已知复数，则下列结论正确的是（

）．A． B．z在复平面内对应的点位于第二象限C．的虚部为 D．z是方程的根10．已知均为复数，则下列结论中正确的有（

）A．若，则 B．若，则是实数C． D．若，则是实数三、填空题11．为虚数单位，则．12．复数z满足（其中为虚数单位），则复平面内对应的点的坐标为.四、解答题13．如图，已知复平面上的，是坐标原点，，分别对应复数，，是，的交点．求点，对应的复数．14．已知复数z满足，求．15．（1）已知复数z在复平面内对应的点在第一象