棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 人教A版高中数学必修第二册

人教2019A版必修第二册棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

在本节中我们会涉及到常用平面多边形面积，你能熟练地计算它们的面积吗?矩形正方形三角形┐┐┐平行四边形正六边形

在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题复习：思考探究

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的侧面积和表面积？多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱棱锥棱台知识梳理1．棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图是由若干三角形组成的平面图形．知识梳理1．棱柱的侧面展开图棱柱的侧面展开图是由若干平行四边形组成的平面图形知识梳理1．棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形知识梳理1．棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．

例1四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积．BCAP所以：解：因为是正三角形，其边长为a，

因此，四面体P-ABC

的表面积练习

1.正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.解：

如图，棱台ABCDEF-A′B′B′C′D′E′F′为正六棱台，且AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.过A′作A′H⟂AB于H，则∴此棱台的表面积为问题1长方体和正方体的体积公式是什么？探究2棱柱的体积长方体体积公式V长方体=abc

=Sh正方体的体积公式V正方体=a3(这里a为棱长)问题2取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？祖暅原理幂势既同，则积不容异.PQ祖暅原理提示：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．幂势既同，则积不容异问题3棱柱的体积是什么？提示：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S

和高h的积.h长方体h棱柱V柱体=Sh正方体、长方体，以及正棱柱的体积公式可以统一为：V=Sh（S为底面面积，h为高）一般棱柱的体积公式也是V=Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。hs柱体问题1底面积相等、高也相等的棱柱和棱锥，它们的体积也相等，那么棱锥的体积和棱柱的体积有什么联系呢？探究3棱锥的体积Sh

Sh问题1底面积相等、高也相等的棱柱和棱锥，它们的体积也相等，那么棱锥的体积和棱柱的体积有什么联系呢？探究3棱锥的体积Sh

Sh

棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。它是同底同高的棱柱的体积的

问题1

根据下图观察你能发现棱台与棱锥的区别吗？如何根据棱锥体积公式来求棱台体积？探究4棱台的体积S′Sh提示：棱台可以看成棱锥用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，剩余的部分就是棱台．台体(棱锥、圆锥)的上、下底面积分别为S、S′，高是h.

由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式(过程略)．根据台体的特征，如何求台体的体积？棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到0.01