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文档简介

余弦理定

温顾知新相同起点，尾尾相连，指向被减向量。1、2、BAO创设情境

某公司打算参与高铁隧道建设招投标，需计算隧道实际长度BC后给出合理的报价，已知AB=4km，AC=5km，利用经纬仪（测角仪）测出A点对山脚BC的张角,求隧道BC的长度。6ABCacb

在△ABC中，已知AB=c

,AC=b，AC与AB

的夹角为∠A，求边a.深入剖析—探究新知（上述问题可转化成模型）深入剖析—探究新知即同理可证如图所示，根据向量的数量积，可以得到深入剖析—探究新知ABCacb

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理:9证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：x＝ccosA，y＝csinA，即点B为(ccosA，csinA)，又点C的坐标是(b,0)．坐标法证明余弦定理

前面用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出坐标法证明．10△ABC的顶点B或顶点C为原点，建立直角坐标系，同样可以证明

问题1：请同学们仔细观察余弦定理的公式，你能发现它有什么结构特征吗？结构：（1）三边长的平方在余弦定理中同时出现(x

)2=(y)2+(z)2-2(y)(z)cos(X)x是角X的对边深入剖析—探究新知（2）等式左边的边与等式右边的角相对应

问题2：如果已知三角形的三边，根据余弦定理如何求三角形的角？

深入剖析—探究新知余弦定理的推论：

深入剖析—探究新知勾股定理：

余弦定理发展史从勾股定理→余弦定理的推广公元三世纪前欧几里得的几何原本，将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。1953年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成三角形式。直到二十世纪，经过众多数学家的努力，余弦定理普遍使用。例1.回到引例.如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.解：由余弦定理，得因此题型一：已知两边及夹角，求其他边角(SAS)

变式训练一：ACOBDPQ80°ABDPQ80°解：经过3h，甲到达点P,乙到达点Q,在△OPQ中，依余弦定理，得因此，3h后两人相距约16.4km已知在△ABC中，根据下列条件解三角形。题型二：已知三边，求其他角(SSS)

解：例2：在△ABC中，已知a=1，b=2，c=，求最大角的度数。由大边对大角知最大内角为∠C，变式训练二：解：由余弦定理题型三：已知两边和一边对角(SSA)CBAabc由余弦定理得

即

解得解：三角形中的边角关系余弦定理定理内容定理证明定理应用向量法、坐标法２.已知三边，求三个角(SSS)１.已知两边及它们的夹角，求第三边（SAS)推论重点难点

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