2024年大学试题(理学)-数值分析笔试参考题库含答案

“人人文库”水印下载源文件后可一键去除，请放心下载！（图片大小可任意调节）2024年大学试题(理学)-数值分析笔试参考题库含答案“人人文库”水印下载源文件后可一键去除，请放心下载！第1卷一.参考题库(共75题)1.设假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减小。2.推导下列三种矩形求积公式： 3.求矩阵 与特征值4对应的特征向量。4.设 求∥A∥∞，∥A|1，∥A∥2及cond（A）∞，cond（A）2。5.用二分法求方程f（x）=x3-x-1=0在[1.0，1.5]区间内的一个根，误差限。ε=10-26.已知y=f（x）的数据如下： 求二次插值多项式P2（x）及f（2.5）。7.n=3，用复合梯形公式求的近似值（取四位小数），并求误差估计。8.设是[0，1]区间上带权的最高次幂项系数为1的正交多项式系 1）求 2）构造如下的高斯型求积公式9.下列方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛？ 10.分别描述R2中（画图）11.试用列主元Gauss消去法解下列方程组： 12.用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）.A、B、C、D、13.试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组： 14.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？15.设A为非奇异矩阵，求证 16.求利用梯形公式的计算结果为（），利用辛卜生公式的计算结果为（）。17.则=（），=（），=（），=（）。18.如果，证明用梯形公式计算积分所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。19.观测物体的直线运动，得出以下数据，求运动方程。 20.用直接三角分解（Doolittle）法解方程组 。21.用高斯消去法解方程组 22.已知函数的一组数据： 求分段线性插值函数，并计算f（15）的近似值.23.试分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组 精确至2位有效数。24.用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 取，列表计算三次，保留三位小数。25.给定下列函数值表： 26.用n=4的复化梯形公式计算积分，并估计误差。27.考察下列求积公式具有几次代数精度： 28.通过四个互异节点的插值多项式p（x），只要满足（），则p（x）是不超过二次的多项式。29.设A∈Rn*n，证明当ρ（A）<1时，矩阵序列Sk=I+A+L+Ak（k=0，1，2，L）收敛，并求其极限。30.已知方程x3-2x-5=0在x=2附近有根，下列迭代格式中在x0=2不收敛的是（）。A、B、C、D、31.在什么情况下Gauss消去法会出现数值不稳定？如何克服？32.已知x=φ（x）在区间[a，b]内有且只有一个根，而当a<x1 （1）试问如何将x=φ（x）化为适用于迭代的形式？ （2）将x=tanx化为适用于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。</x33.就初值问题y′=ax+b，y（0）=0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解相比较。34.用牛顿法求方程x2-3x-1=0在[1,2]之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.35.用列主元三角分解法求解方程组。其中 36.给定方程x2-x-1=0 （1）试用二分法求其正根，使误差不超过0.05； （2）若在[0，2]上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次？37.用复化梯形公式求积分，问要将积分区间[a，b]分成多少等分，才能保证误差不超过ε（设不计舍入误差）？38.已知用线性插值求的近似值。（拉格朗日线性插值）39.设已知一组实验数据 40.用余弦函数cosx在三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式,并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值）41.设A∈Rn×n为对称正定阵，定义║x║A=（Ax，x）1/2，试证明║x║A为Rn上向量的一种范数。42.证明等式试依据nsin（π/n）（n=3，6，12）的值，用外推算法求π的近似值。43.若用二分法求方程f（x）=0区间[1，2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分（）次。44.将f（x）=sin（x/2）在[-1，1]上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。45.对于迭代法xn+1=φ（x），（n=0，1，...）初始近似x0，当|φ′（x0）|<1时为什么还不能断定迭代法收敛？46.计算的Newton迭代格式为（）A、B、C、D、47.由下列数据： 确定的唯一插值多项式的次数为（）A、4B、2C、1D、348.取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。49.实数a≠0，考察矩阵，试就方程组Ax=b建立Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式。讨论a取何值时迭代收敛。50.以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。 51.已知f（1）=1.0，f（2）=1.2，f（3）=1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得≈（），用三点式求得f′（x）≈（）。52.试证{T*n（x）}是在[0，1]上带权的正交多项式。53.设 （1）试求f（x）在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足H（xj）=f（xj），j=0，，2，H′（x）=f′（x），H（x）以升幂形式给出。 （2）写出余项R（x）=f（x）-H（x）的表达式。54.证明55.用二分法和牛顿法求x-tgx=0的最小正根。56.已知f（-1）=2，f（1），f（2）=1，求的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）57.用简单迭代格式求方程x3-x-0.2=0的所有实根，精确至有3位有效数。58.用龙贝格方法计算积分，要求误差不超过10-5。59.令║·║是Rn（或Cn）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数，证明。60.证明梯形公式和辛普森公式当n→∞时收敛到积分。61.证明迭代公式是计算的三阶方法。假定初值x0充分靠近根x*，求 62.如果方阵A有aij=0（|i-j|>t），则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试推导A=LU的计算公式，对r=1，2，...，n。 63.用Gauss消去法求解下列方程组。 64.试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？65.设函数f（x）由下表给出： 66.证明解y’=f（x，y）的公式： 是二阶的，并求出其局部截断误差。67.用追赶法求解三对角方程组 68.用最小二乘法，求一个形如y=a+bx2的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差： 69.设x*是非线性方程f（x）=0的m重根，试证明：迭代法 具有至少2阶的收敛速度。（收敛速度证明）70.用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。71.应用Newton法分别导出求方程 72.已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值X（0）=（0.0.0），应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算X（1）（保留小数点后五位数字）.73.给出f（x）=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 74.给定插值点（xi，fi）（i=0，1，...，n）可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么？它们各有何优点？75.给定迭代过程，x（k+1）=Cx（k）+g，其中C∈Rn×n（k=0，1，2，...），试证明：如果C的特征值λi（C）=0（i=1，2，...），则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。第2卷一.参考题库(共75题)1.分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有（）位和（）位；又取≈1.73（三位有效数字），则（）2.下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？ 3.求f（x）=x4在[a，b]的分段埃尔米特插值，并估计误差。4.取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题： 5.已知下列函数表： （1）写出相应的三次Lagrange插值多项式；  （2）作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f（1.5）的近似值。6.设Ax=b，其中A为非奇异阵。 （a）求证ATA为对称正定阵； （b）求证cound（ATA）2=（cound（A）2）2。7.设初值问题 a）写出由Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式； b）写出由改进Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。8.解初始值问题近似解的梯形公式是yk+1≈（）。9.矩阵满足什么条件才能使A的LU分解存在唯一？如何利用A=LU分解求解不同右端项的方程组？如 10.对于f（x）=0的牛顿公式， 证明收敛到，这里x*为f（x）=0的根。11.若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都（）。12.3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A、4和3B、3和2C、3和4D、4和413.令Tn（x）=Tn（2x-1），x∈[0，1]，求T*0（x），T*1（x），T*2（x），T*3（x）。14.写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代分量形式（），迭代矩阵为（），此迭代法是否收敛（）。15.用1+x近似表示ex所产生的误差是（）误差。A、模型B、观测C、截断D、舍入16.对方程组 （1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由； （2）取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求17.用列主元消去法解线性方程组 18.取步长h=0.2，求解初值问题，用欧拉预报—校正法求y（0.2）的近似值。19.设A为对称正定矩阵，且其分解为A=LDLT=WTW，其中W=D1/2LT，求证： 20.研究求的牛顿公式 证明对一切k=1.2，...，xk≥且序列x1，x2，...是递减的。21.求f（x）=sinx在[0，π/2]上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。22.l0（x），l1（x），...，ln（x），是以整数点x0，x1，...，xn为节点的Lagrange插值基函数，则=（），=（），当n≥2时，=（）。23.求一个次数小于等于三次多项式p（x），满足如下插值条件： 24.已知一组试验数据 试用直线拟合这组数据.(计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近）25.设f（x）可微，求方程x=f（x）的根的牛顿迭代格式为（）。26.设方程组 （a）考察用雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性； （b）用雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法解此方程组，要求当时迭代终止。27.试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列方程组的收敛性问题： 28.证明对于任意选择的A，序列收敛于零29.设x*的相对误差为2％，求（x*）n的相对误差（）30.给出lnx的函数表如下： 试用线性插值和抛物插值求ln0.54的近似值。31.方程组Ax=b，其中，A是对称的且非奇异。设A有误差δA，则原方程组变化为，其中δc为解的误差向量，试证明：其中λ1和λn分别为的按模最大和最小的特征值。32.设计一个计算的牛顿迭代法，且不用除法（其中a>0）。33.编出改进FFT算法的程序框图。34.为求x3-5x-3=0的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。35.给定函数f（x），设对一切x，f′（x）存在且0<m≤f′（x）≤M，证明对于范围内0<λ<2/M的任意定数λ，迭代过程xk+1=xk-λf（xk）均收敛于f（x）的根x*。36.等距二点求导公式f′（x1）≈（）A、B、C、D、37.设x0，x1，6，xn互不相同， 38.取≈1.732计算，下列方法中哪种最好？（）A、B、C、D、39.设，则A的奇异值为（）40.试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？41.设求A的LU分解。42.用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中 43.用高斯－约当方法求A的逆阵： 44.面Matlab程序所求解的数学问题是（） 45.设f（x）=4x5+2x4+3x2+1和节点xk=k/2，k=0，1，2...则f[x0，x1，...x5]=（）46.设方程组 试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。47.递推公式，如果取y0=≈1.41作计算，则计算到y0时，误差为（），这个计算公式数值稳定不稳定（）。48.什么是矩阵的条件数？如何判断A是"病态的"或"良态的"？49.牛顿插值多项式的余项是（）A、f（x，x0，x1，x2，…，xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）B、C、f（x，x0，x1，x2，…，xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）D、50.设x1=1.216，x2=3.654均具有3位有效数字，则x1+x2的误差限为（）51.证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的。 52.欲使线性插值具有4位有效数字。在区间[0，2]上列出函数esinx的具有五位有效数字的等距节点的函数值表，问步长最多可取多大？53.对于给定的线性方程组 （1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 （2）对收敛的方法，取初值，迭代两次，求出。54.设xi（i=0，1，2，3，4，5）为互异节点，li（x）为相应的五次插值基函数，则=（）。55.用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为0.5×10-5。56.设x∈Rn，证明。57.证明n阶均差有下列性质：若F（x）=cf（x），则F[x0，x1，...，xn]=cf（x0，x1，...，xn）。58.证明解y′=f（x，y）的下列差分公式 是二阶的，并求出截断误差的首项。59.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，使误差小于0.05。60.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。 61.利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h=0.1, 62.根据定义的范德蒙行列式，令 证明Vn（x）是n次多项式，它的根是x0，...，xn-1，且Vn（x）=Vn-1（x0，x1，...，xn-1）（x-x0）...（x-xx-1）63.写出求解下列方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式，并判断敛散性： 64.用欧拉方法求在点x=0.5，1.0，1.5，2.0处的近似值。65.用梯形方法解初值问题 证明其近似解为 并证明当h→0时，它原初值问题的准确解y=e-x。66.求f（x）=x4在[0，5]上的分段3次Hermite插值，并估计误差（h=1）。67.设A为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式 68.证明：当且尽当x和y线性相关xTy≤0且时，才有。69.迭代法的收敛条件是（1）（），（2）（）。70.设xj为互异节点（j=0，1，6，n）求证： 71.如果f（x）是m次多项式，记，证明f（x）的k阶差分是m-k次多项式，并且。72.设初值问题 （1）写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式； （2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解y1，y2，保留两位小数。73.设detA≠0，用a，b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.74.用高斯-塞德尔方法解方程组取，迭代四次（要求按五位有效数字计算）。75.用劈因子法解方程x3-3x2-x+9=0（取ω0（x）=x2-4x+6，算至∣r0∣≤0.005，∣r1∣≤0.005）。第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案： 故t增加时S的绝对误差增加，相对误差减小。2.参考答案： 1）此差值型求积公式的余项为 3.参考答案： 设特征向量为xT=（a，b，c），则有4a=4a，3b+c=4b，b+3c=4c， 解得对应的特征向量为x1T=（1，0，0），x2T=（0，1，1）。4.参考答案：5.参考答案： 6.参考答案： 如下： 7.参考答案： 至少有两位有效数字。8.参考答案： 9.参考答案： Jacobi法的迭代矩阵是 10.参考答案： 11.参考答案：12.参考答案：D13.参考答案： 如下： 14.参考答案： Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为，后面相因子（x-xi）改为（x-xi）2即可得到Hermite插值余项。15.参考答案： 如下： 16.参考答案：2.5；2.33317.参考答案：6；7；16；1118.参考答案： 19.参考答案： 经验公式为s=at2+bt，最小二乘法解得a=2.313446，b=10.65759， 运动方程为s=2.313446t2+10.65759。20.参考答案： 如下： 21.参考答案： 22.参考答案： 23.参考答案：24.参考答案： Gauss-Seidel迭代格式为： 25.参考答案：26.参考答案： 27.参考答案：28.参考答案：满足三阶均差为029.参考答案：30.参考答案：C31.参考答案： 当消元过程中增广矩阵的元素很小时，Gauss消去法会出现数值不稳定，此时采用列主元消去法可克服这一问题。32.参考答案：33.参考答案： 如下： 34.参考答案： 35.参考答案：36.参考答案：37.参考答案： 设将积分区间分成n等分则有 38.参考答案： 39.参考答案：40.参考答案： 41.参考答案： 42.参考答案： 由泰勒展开式 43.参考答案：1044.参考答案： 如下： 45.参考答案： 迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含x0是全局收敛性，需要在包含的区间[a，b]上证明a≤φ（x）≤b且才能说明由x0出是迭代法xn+1=φ（x）收敛。 如果用局部收敛定理6.2，则要知道不动点为x*才可由φ′（x0）46.参考答案：B47.参考答案：A48.参考答案： 5个点对应的函数值 49.参考答案： 当实数a≠0时Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为 50.参考答案：51.参考答案：2.367；0.2552.参考答案： 如下： 53.参考答案： 如下： 54.参考答案： 如下： 55.参考答案：求得最小正根为4.4934。56.参考答案： 57.参考答案：58.参考答案： 首先算出T1，T2，T4，T8，然后逐次应用3个加速公式 59.参考答案： 60.参考答案： 梯形公式和辛甫森公式的余项分别为 61.参考答案： 如下： 62.参考答案： 高斯消去法公式中去掉aij=0（|i-j|>t）即可推出该公式。63.参考答案： 本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。 64.参考答案： 65.参考答案：66.参考答案：67.参考答案：68.参考答案：69.参考答案： 70.参考答案： 71.参考答案：72.参考答案： 73.参考答案： 线性插值： 二次插值：取 74.参考答案： 给定插值点后构造的Lagrange多项式为Ln（x）Newton插值多项式为Nn（x）它们形式不同但都满足条件Ln（xi）=fi，Nn（xi）=fi（i=0，1，...，n），于是Ln（xi）-Nn（xi）=0，i=0，1，...，n。它表明n次多项式[Ln（x）-Nn（x）]有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故Ln（x）=Nn（x）即Ln（x）与Nn（x）是相同的。Ln（x）是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而Nn（x）每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。75.参考答案： 第2卷参考答案一.参考题库1.参考答案： 6；7；2.参考答案： 按高斯消去法，A无法进行第二次消去，换行后可以分解，B第二次消去可乘任意系数，分解不唯一，C可唯一分解。3.参考答案： f′（x）=4x3，则Ih（x）在每个小区间[xk，xk+1]上表示为 4.参考答案： 如下： 5.参考答案： 如下： 6.参考答案： 7.参考答案： 如下： 8.参考答案： 9.参考答案： A的顺序主子式时存在唯一单位下三角阵L及上三角阵U，使A=LU，而当detA≠0则方程Ax=b存在唯一解，此时Ax=b等价于解LUx=b，于是由Ly=b及Ux=y可求得Ax=b的解x，同样解Ly＝c及Ux=y和Ly=d，Ux=y则分别得到不同右端项的方程解。10.参考答案： 迭代函数为，且有 11.参考答案：收敛12.参考答案：A13.参考答案： T*0（x）=T0（2x-1）=1， T*1（x）=T1（2x-1）=2z-1， T*2（x）=T2（2x-1）=8x2-8x+1， T*3（x）=T3（2x-1）=32x3-48x2+18x-1， 其中x∈[0，1]。14.参考答案： ；；收敛15.参考答案：C16.参考答案： 调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 17.参考答案： 18.参考